第二章 方差分析方法(第二节)资料

(2)组间变差平方和
p r_ _
p_ _
SA
(xi x)2 r (xi x)2
i1 j1
i 1
(2 2 2)
3(90 89.6)2 (94 89.6)2 ...... (84 89.6)2 303.6
(3)组内变差平方和
pr
_
Se
(xij xi )2
i1 j1
以例2－1为例，检验其中因素A的显著性
（1）计算F=
SA / Se /
fA fe
303.6 / 4 50.0 /10
15.18
（2）查F表（P377)，对a＝0.05及a＝0.01分别有
F0.05 (4,10) 3.5
F0.01(4,10) 6.0
（3）比较FA与Fa
FA F0.05 , F0.01，因素A高度显著。
• （3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向 。
2.具体分析方法
第1.一变步差平：方变和差的平分方解 和的分解
(1)总变差平方和
pr
_
S总 ST
(xij x)2
i1 j1
(2 2 1)
(90 89.6)2 (92 89.6)2 ...... (88 89.6)2 353.6
(2 2 3)
Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80)
式中： Se (60) (90 90)2 (92 90)2 (88 90)2 8
Se (65) (97 94)2 (93 94)2 (92 94)2 14
Se (70) (96 95)2 (96 95)2 (93 95)2 6
F检验的步骤：
__
（1）计算F A
=
S
A
/
Se
（2）根据自由度fA、fe及制定的显著性水平a查F表，得Fa ( fA、fe )
（3）比较FA与Fa，作出判断
通常：
（1）对FA F0.01, 因素A高度显著，记为 ** （2）对F0.01 FA F0.05 , 因素A显著，记为 * （3）F0.05 FA F0.1, 因素A有影响，记为 ⊙ （4）F0.1 FA F0.2 , 因素A有一定影响，记为 △
第二节 正交试验方差分析法
极差分析不能估计试验中以及试验结果 测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个 缺点，可采用方差分析的方法。
一.正交试验方差分析法基本含义与必要性
• 1.方差分析法的基本含义
所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变 差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学 方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所 引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验 结果间的差异区分开来的一种数学方法。
二.单因素方差分析法 （以例2－1为例）
• 1.方差分析法的基本思路：
• （1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差 平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表 示；
• （2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一 定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素 水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大， 组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明 因素水平的变化影响很大，不可忽视；
pq
pq i1
q
xij )2
j 1
QA
1 q
p i1
Ki2
1 q
p i1
(
q j 1
xij )2
pq
W
xij 2
i1 j1
则有：
ST W P
SA QA P
Se W QA 当数据比较特殊时，还可以进行如下简化
（1）每个数据加(减)同一个数a，平方和S不变。 （2）每个数据乘(除)同一个数b，相与的平方和增大(缩小)b2倍。
第三3步.平：均平平方均（平均方方）（与均均方方期）望与值均方期望值计算
_
平方和除以自由度称为均方。记为S
则：A间均方
_
S A
SA p 1
误差均方
_
S e
SA p(r 1)
它们wk.baidu.com期望值为
_
E(
S A
)
r
2 A
e2
_
E(
S e
)
2 e
第四4步.显：著性显检著验性(F检检验验) （F检验）
_
F= SA / Se /
pr
_
(3)
ST
(xij xi )2
i1 j1
pr个成分的平方和。由于所有这些成分之和为零，独立成分
是pr－1。所以总平方和的自由度是pr－1。
用符号f 表示自由度，fT fA fe fT、f A、fe分别表示ST、SA、Se的自由度
fT pr 1 fA p 1 fe p(r 1)
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
方差分析表
方差来源 A e 总和
变差平方和 SA=303.6 Se=50.0
自由度 4 10
平方差平方和 75.9 5.0
F临 FA 3.5 15.18
6.0
显著性 **
第5五.小步结：小结
p个水平，每水平q个试验号
q
令 Ki xij j 1
pq
K= xij i1 j1
P 1 K 2 1 ( p
Se (75) (84 85)2 (86 84)2 (82 84)2 14
Se (80) (84 84)2 (86 84)2 (82 84)2 8
Se Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 50
我们发现有：
ST SA Se
第二2步.自：由度自由度计算
p_ _
(1)
SA r (xi x)2
i 1
p个成分都是对总平均值的差，而全部差相加为领，所以p个
成分的约束的个数为1，独立成分的个数为（p－1）。
pr
_
(2)
Se
(xij xi )2
i1 j1
pr个成分的平方和。由于r个成分之和为零，所以独立成分是
pr－p＝p（r－1）个。则误差平方和自由度是p（r－1）。
fA fe
SA
_
Se
F>F临 显著 F<F临 不显著
例如当FA Fa时，若a＝0.05，就有（1－a）100％即95％的 把握说因素A是显著的。若FA Fa，则在a水平下不能认为因 素A是显著的。通常是当试验精度很差时，a可取得比较大。
F表的用法：表上方横行的数字对应FA的分子的自由度，表左 侧竖列的数字对于FA分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的 数字，就是FA的临界值。