万有引力理论的成就

教学设计

1地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。

2.通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。

教学难点

根据已有条件求中心天体的质量。

教学方法

教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。

教具准备

多媒体课件

教学过程与方法情境导入教学法、利用现代化手段教学法、师生对话，及启发式

教学法。

教学环节教师活动学生活动设计意图教学过程

［新课导入］

天体之间的作用力主要是万有引力，引力常量的测出使万有引力定律有了实际意义，万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用，揭示了天体运动的规律。这节课我们将举例来学习万有引力定律在天文学上的应用。

［新课教学］

—、“科学真是迷人”

地球的质量是多少？这不可能用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称

量。

若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此得到

GM R^g （黄金代换式）

地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，一旦测得引力常量G,就可以算出地球的质量M卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的重量” 是不无道理的。

在实验室里测量几个铅球之间的作用力，就可以称量地球，这不能不说是一个

科学奇迹。难怪一位外行人、着名文学家马克・吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。 根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！

”

二、计算天体的质量 1中心天体质量计算的公式

应用万有引力定律还可以计算太阳等中心天体的质量。思考这个问题的出发点 是：行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供 的，由此可以列出方程，从中解出中心天体的质量。

设M 是太阳的质量，m 是某个行星的质量， 之间的距离，3是行星公转的角速度。

根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力,

2 2

Mm

2

v

4 二

F =

G —2

= ma= m ■ r = m 一 = mr 一

2

= mv ■

r

r T

行星的质量m 在方程两侧被消去，所以只能求出中心天 体的质量。将万有引力和右侧向心加速度的不同表 达式联立，得到中心天体质量的计算公式为

测出行星的公转周期 T 和它与太阳的距离r 等, 出太阳的质量。

根据已知条件的不同，应选择不同的计算公式来计算中心天体的质量。对同一 个中心天体，M 是一个定值。所以

即在幵普勒第三定律中，k 是由中心天体质量 M 决定的常量。

同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可 以算出行星的质量。目前，观测人造卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。

【课堂练习】地球质量的计算

已知月球到地球的球心距离为 r = 4X 108

m,月亮绕地球运行的周期为 30天，求 地球的质量。

解：月球绕地球运行的向心力，由月地间的万有引力提供，即有：

F = 6警=mr(2

-)2

r T

太阳质量和地球质量的数量级希望同学们能记住，在今后判断有关问题时可使

得: … 4兀2

创r 3

M

=

4 (3.14)2

创(4 108)3

6.67 仓山0-11 (30 仓眨4 24

kg= 5.89? 10 kg

行星与太阳

有：

就可以算

逐渐增大，两极处最大。

①在两极位置：G = G M

m

R 2

G 2 =G M

m -mRo 2

R 2

(2)重力加速度与高度的关系

2.天体平均密度的计算

利用环绕中心天体表面运行的行星或卫星，可以计算中心天体的平均密度。 设中心天体的半径为 R,平均密度为p ，中心天体 加速度为

g 。行星或卫星的质量为 m 轨道半径为r , 角速度为co , T 为

行星或卫星的周期。当行星或卫星

表面的重力 线速度为v , 环绕中心天

体表面运行时，轨道半径 r 近似认为与中心天体的半径 R 相等。根据万有引力提供

向心力有

由上式可得中心天体平均密度的计算公式为

由上式还可得到一个有用的结论：对环绕任何中心天体表面的行星或卫星，有 莎2= 3 n

是一个普适常量。

G

3.星球表面附近的重力加速度 (1)重力及重力加速度与纬度的关系

由于地球的自转，地面上物体将随地球一起做匀速圆周运动。 地球对地面物体的

万有引力F 的一个分力F i 提供物体做圆周运动的向心 分力表现为物体的重力 mg 所以除赤道和两极外，物

不严格指向地球的球心。同一物体的重力在赤道位置 处最大。导致赤道位置的重力加速度最小，随纬度位

F

力，另一个

置的增加而

②在赤道位置: 设中心天体的质量为 M 半径为R 。距星体表面高度为

h 处有一质量为 m 的物体。

体的重力并 --m

F

最小，两极

物体在该处的重力等于星体对它的万有引力，该处的重力加速度为g/,则

Mm

(R h)2

=R+ h 当h= 0,物体在星球表面时，g o

R2-

由此可知：物体在地球表面处的重力加速度，一方面与纬度位置有关，另一方

面还与高度有关。

三、发现未知天体

到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七个行星一一天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。有人据此认为万有引力定律的准确性有问题。但另一些人则推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。到底谁是谁非呢？

有人问李政道教授，在他做学生时，刚一接触物理学，什么东西给他的印象最深？他毫不迟疑地回答，是物理学法则的普适性深深地打动了他。

物理学基本规律的简洁性和普适性，使人充分领略了它的优美，激励着一代又一代科学家以无限热情献身于对科学规律的探索。

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶相信未知行星的存

在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力

定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23 日晚，德国

的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其

为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星命名为海王星。

用类似的方法，人们又发现了太阳系外的其它天体。1705

年英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗着名彗星

的轨道并正确预言了它的回归。

海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”最终确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯•劳厄说：“没有任何东

西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”

海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们在这

里发现了冥王星、卡戎等几个较大的天体。但是，距离遥远，太阳的光芒到达那里已经太微弱了，从地球上很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，搜寻工作从来没有停止过。

［小结］

这节课我们主要掌握的知识点是万有引力定律在天文学中的应用，解题时通常根据万有引力提供向心力、地面（或某星球表面）物体的重力等于万有引力来建立关系式。通过本节的学习，我们一方面应用了万有引力，另一方面了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义。