求电场强度的几种特殊思维方法

求电场强度的几种特殊思维方法

电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考中考点分布的重点区域之一．求电场强度的方法一般有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等．本文讨论特殊静电场中求某点电场强度的几种特殊方法，供大家参考．

一、补偿法

求解电场强度，常用的方法是根据问题给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决．但有时由题给条件建立的模型不是一个完整的标准模型，比如说是模型A，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型．这样，求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题．

例1 如图1所示，用长为l的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d<

解析中学物理只讲到有关点电荷场强的计算公式和匀强电场场强的计算方法，本问题是求一个不规则带电体所产生的场强，没有现成公式直接可用，需变换思维角度．假设将这个圆环缺口补上，并且己补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零．根据对称性可知，带电圆环在圆心O处的总场强E＝0．至于补上的带电小段，由题给条件可视做点电荷，它在圆心O处的场强E1是可求的．若题中待求场强为E2，则E1＋E2＝0．设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ＝Q／（2πr－d），则补上的那一小段金属线的带电量Q′＝σ?d，Q′在O处的场强为E1＝kQ′／r2，由E1＋E2＝0可得 E2＝－E1，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左．评注解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决，再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O处的场强．

二、微元法

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．

例2如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L，试求P点的场强。

分析与解：设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看做点电荷。其所带电荷量为，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为：

由对称性可知，各小段带电环在P处的场强E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E的轴向分量之和即为带电环在P处的场强。

评注本题是通过“微元法”将非点电荷电场问题转化为点电荷电场问题求解．

三、等效替代法

“等效替代”方法，是指在效果一致的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，得以用有关规律解之，如以模型替代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等．

例3 如图3所示，一带＋Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的垂直距离为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．

解析本题用“等效法”来处理。MN金属板接地电势为零，相当于左边与A等距离处放等量的正电荷，而两

个点把题中的系统用电荷的场强在C点的

合场强，就等效为要求的C的场强。MN右侧表面处场强处处与表面垂直，右侧表面电场线的特点与等量异种点电荷中垂面相同，可以等量异种点电荷来等效代替，如图7所示，这样就很容易求出C点的电场强度。C点的电场强度等于点电荷A和B在C点产生的电场强度的矢量和，即E C

＝+＝，方向由C点沿BA直线指向A。

评注此题要求较高，需要类比等量异种电荷电场与所求电场的相似之处，才能发现可以替代．这种等效替代法也叫“镜像法”．

带电量分别为＋Q和－Q的两个点电荷相距R，在两点电荷连线上横放一个不带电的导体棒，如图所示。由导体棒上的感应电荷产生的电场在两点电荷连线中点O处的场强大小___________，方向是

___________。

四、极值法

物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类．物理型主要依据物理概念、定理、定律求解．数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解．

例4 如图5所示，两带电量均为＋Q 的点电荷相距2L ，MN 是两电荷连线的中垂线，求MN 上场强的最大值． 解析 用极限分析法可知，两电荷间的中点O 处的场强为零，在中垂线MN 处的无穷远处电场也为零，所以MN 上必有场强的极值点．采用最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值．由图5可知，MN 上的水平分量相互抵消，所以有

E ＝2（E1sin θ）＝（2kQ ／（L ／cos θ）2）?sin θ，

E2＝（2k2Q2／L4）cos2θcos2（2sin2θ），

因为 cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ＝2

所以 当cos2θ＝2sin2θ，即tan θ＝／2，E 有最大值为

Emax ＝kQ ／L2．评注 本题属数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用先求平方后的极值才能解得．

在等量同种点电荷连线的中垂上有A 、B 两点，如图6所示，下列结论正确的是( )。

(A)E

A < E

B 方向相同

(B) E A 不可能等于E B ，且方向相反

(C)E A 和E B 大小不可能相等，但方向相同

(D) E A 和E B 大小有可能相等，且方向相同

本题A 、B 两点场强方向相同(向上)由场强的叠加原理很容易得出，难在场强的大小是否可能相等。如果直接列出中垂线上场强的数学表达式，由函数的单调性判断增减情况来确定，较为困难且涉及到微积分中的导数知识。但如果我们把问题推向两个极端：一是两同种点电荷连线的中点O ；二是无穷远处。由点电荷场强计算公式及场的叠加原理很容易得出这两处场强均为零。这样，在要求不是很严密的情况下，我们可以断定从0点沿着中垂线到无穷远处场强的变化情况是：先增大后减小(因为中垂线上其他地方的场强均不为零)。因此A 、B 两点的场强大小有可能相等。故本题正确选项为D 。此种思维方法在解答选择题时非常有效，避免了严格的理论计算

五、转换法：

1．根据静电平衡状态下导体的特点，将求解感应电荷在导体内某点的场强问题，转换为求解场源电荷在该点的场强问题．