勾股定理和轴对称

综合运用

【知识要点】

1、勾股定理及其逆定理

2、直角三角形HL全等判定定理

3、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

4、角平分线的性质定理及其逆定理

5、等腰三角形、等边三角形的性质定理及其逆定理

【典型例题】

例1、公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。

例2、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC

例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.

例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.

求证：D在∠BAC的平分线上.

例5、如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.

例6、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．

一、选择题

1、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）

A30° B 36°C45°D54°

2、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）

A.45°

B.55°

C.60°

D.75°

3、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4、如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（）

A.2个

B.4个

C.6个

D.8个

5、如图，△ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，则∠ADB的度数是（）

A.36°

B.45°

C.60°

D.72°

6、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD、BE是△ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有（）

A.6个

B.7个

C.8个

D.9个

7、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）

A.36°

B.45°

C.60°

D.72°

8、等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为（）

A.a 23

B.a 2

C.2

a D.a 42 9、下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）

A 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形

B 两个等边三角形

C 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形

D 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

二、填空题

1、在△ABC 中，∠A －∠C ＝ 25°，∠B －∠A ＝ 10°，则∠B ＝____________；

2、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 ____________；

3、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝

____________，∠DAC ＝____________，BD ＝ ____________cm ；

4、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝____________；

5、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结

BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为____________.

6、已知，如图（1），O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC

于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10 cm ，则△ODE 的周长_________ .

7、如图（2），在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交

于D 点，则∠BCD 的度数是_________ .

8、如图（3），∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，

则PD 的长为_________ .

图（1） 图（2） 图（3）

三、解答题

已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC =BD ，BC ，AD 相交于点E ．

(1) 求证：AE =BE ； (2) 若∠AEC =45°，AC =1，求CE 的长．

E D

C B A

1、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为（ ）

A 35°

B 40°

C 70°

D 110°

2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ）

A 1 个

B 2 个

C 3个

D 不确定

3、适合条件∠A =∠B =3

1∠C 的三角形一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形

4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；

②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）

A ①②④

B ②④

C ①④

D ②③

5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定

△

ABE ≌△ACD 的是

（ ）

A AD ＝AE

B ∠AEB ＝∠AD

C C BE ＝C

D D AB ＝AC

(第5题图) (第6题图)

6、如图，⊿ABC ⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ） A EC = BD B EF ∥AB C DE = BD D AC ∥ED

二、解答题

已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。

当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.

A