1.2 排列与组合

Yiqiang Wei <weiyiqiang@tyut.edu.cn>
1.2 排列与组合
特别，当r=n时有
显然 规定
r n
P P n!
n n n
n! Pn P nr （n r )! P
0! 1, P 1
0 n
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P(8,8)×P(3,3)=8！×3！=241920
A单位的人排法固定后A*A*A*A*A*A*A，B单位第一人有6 种选择，第二人有5种，第三人有4种，因此答案为
P(7,7)×P(6,3)=7!×6×5×4=604800
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1.2 排列与组合
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1.2 排列与组合
1 1 5
4 2
5 1 2 4
4 2
4 1 1 3
4 2
3 1
5 2
4 2
2 1
4 1
4 2
3
4
3 3
3
3 2
2
3 1
1
3 5
5
3 4
对圆周排列来说，12345,51234,45123,34512,23451是 一样的； 一般地，圆周排列数为
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1.2 排列与组合
例1.2.7 甲和乙两单位共11个成员，其中甲单位7人，乙单位4 人，拟从中组成一个5人小组： 1 要求包含乙单位恰好2人； 2 要求至少包含乙单位2人； 3 要求乙单位某一人与甲单位特定一人不能同时在这个小组 试求各有多少种方案。
4*5*6*…*12=12!/3!
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1.2 排列与组合
解法二 如果只有一个出口，则显然9辆车的不同下法为 9！；如果有两个出口，则可以加入一个分隔符F与车辆 号一起进行排列，在F的左右排列可看作是分别从两个出 口的一种下法，故此时的下法为 10！。
1.2 排列与组合
例1.2.1 由5种颜色的星状物，20种不同的花排列成如下 图案：两边是星状物，中间是3朵花，问共有多少种这 样的图案？ 两边是星状物，从五种颜色的星状物中取两个的排列的排 列数是 P(5,2)=20
20种不同的花取3种排列的排列数是 P(20,3)=20 × 19 × 18=6840 根据乘法法则，可得不同的图案数为 20 ×6840=136800
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1.2 排列与组合
例1.2.6 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3 整除，有多少种方案？
解 将[1,300]分成3类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1) 3个数同属于A; 2) 3个数同属于B 3) 3个数同属于C; 4) A,B,C各取一数. 故共有3C(100,3)+1003 =485100+1000000=1485100
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1.2 排列与组合
同理
S3=6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7) =9600+960+96=10656 S4=6(1+3+5+7)1000+6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6( 1+3+5+7)=96000+9600+960+96=106656
1.2 排列与组合
例1.2.9 n对夫妻围一圆桌而坐，若没有任何要求则有多 少种方案；若要求每对夫妻相邻而坐则有多少种方案； 若要求每对夫妻不相邻又有多少种方案? 如果没有要求，则圆周排列数为 Q(2n,2n)=(2n-1)!
若要求每对夫妻相邻而坐，则排列数为 2n×Q(n,n)=2n(n-1)! 若要求每对夫妻都不相邻，则计算不同的方案数较为 复杂，以后（第三章相容性以后）再介绍。
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1.2 排列与组合
例1.2.2 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成一列合影， 如果要求B单位的3人排在一起，问有多少种不同的排列方 案。若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻， 问有多少种不同的排列方案？
B单位3人按一个元素参加排列，则有
如果没有要求，则圆周排列数为
Q(8,8)=7！=5040
若要求男生B不和女生G相邻而坐，则排列数为 Q(8,8)-2×Q(7,7)=5040-1440=3600 若要求3个女生不相邻，则可得不同的方案数为 4！×5 × 4 × 3=1440
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r!(n-r)!
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1.2 排列与组合
例1.2.5 有5本不同的俄文书，7本不同的英文书，10本不 同的中文书。如果从中任
1)取2本不同文字的书；
2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
问各有多少种不同的取法？
解 1) 2) 3) 5×7+5×10+7×10=155; C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76; 155+76=231=C(5+7+10,2)
所有不同组合的个数记为 C(n,r)或 Cnr
若球不同，盒子相同，是从n个不同元素中取r个不重复的 组合的模型。
r Cn
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1.2 排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合的模型。 若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。 每一个组合可有r!个标号方案。 故有 C(n,r)· r!=P(n,r), n! 即 C(n,r)=P(n,r)/r!= ———
S=16+528+10656+106656=117856
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1.2 排列与组合
例1.2.4 假设一高速路口有4个出口，现有9辆车子从这4个口 下高速，问有多少种不同的下法？
解法一 假设出口编号为：K1，K2，K3，K4； 9辆车的编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 1号车选择出口有4种；2号车选择就有5种，因为当2号车与 1号车选同一出口时，两车有前后顺序的问题；同理3号 车有6种选择；依此类推，9号车应有12种选择。故不同 的下法共有
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1.2 排列与组合
例1.2.10 若有2n个人分两个圆桌而坐，每桌n个人,若没有任 何要求则有多少种方案；若有2n对夫妻分两个圆桌而坐， 每桌n对,要求每对夫妻相邻而坐则有多少种方案；若要求 每对夫妻都不座在同一张桌子上又有多少种方案?
C(12,3)*9!=12!/3! 注意 本解法用到了组合的概念，它也可以作为基本的组 合模型
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1.2 排列与组合
1.2.2 组合
定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用 C(n,r) 表示，
1.2 一一对应原理
1.2 排列与组合
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序 排列，称为从n个中取r个的无重排列。 排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 所有不同排列的个数称为排列数，也记为P(n,r)。或Prn， 或Arn。 当r=n时称为全排列。所有不同全排列的个数记为Pn或An。
例1.2.3 求由{1,3,5,7}组成的不重复出现的整数的总和 解：这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数, 若设 Si，i=1,2,3,4，是i位数的总和，则
S=S1+S2+S3+S4,
于是我们只需要计算Si即可。 显然，一位数之和 S1=1+3+5+7=16； 两位数有：13,15,17,31,35,37,51,53,57,71,73,75, 所以 S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528
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1.2 排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是(取球模型): 从n个有区别的球中,取出r个,放入r个有标志的盒子里,且无 一空盒。 第1个盒子有n种不同选择； 第2个有n-1种选择； · · · · · · ， 第r个有n-r+1种选择。故由乘法原理有 P(n,r)=n(n-1)· · · · · · (n-r+1) =n!/(n-r)!
本题有4个出口，应加入三个分隔符，所以不同的下法有 12!/3!. 注意到，分隔标记F是无区别的
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1.2 排列与组合
解法三 在9辆车的标号与3个分隔符共同组成的12个标记中， 首先选出3个作为分隔符，不同选法有C(12,3)，然后余 下的9个作为车辆标号进行排列，应有9!种不同方案，故 总的下法有
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1.2 排列与组合
1.2.4 允许重复组合与不相邻组合
定义 从n个不同的元素中，可重复地取r个元素，作为一 组，称为从n个中取r个的可重组合。 例如，从A={1,2,3}中，可重复取2个的组合有{1,1}、{1,2}、 {1,3}、{2,2}、{2,3}、{3,3}，共6个。 可重组合的模型是r个球是无区别的，n个盒子是有标记的， 将r个球放入n个盒子，每个盒子允许多于一个球。 注意：做允许重复组合时，r可以小于也可以大于n；每个 盒子允许多于一个球，也允许空盒；r表示球的个数，n表 示盒子的个数。
Q(n,r)=P(n，r)/r
=n!/((n-r)!· r) 特别，Q(n,n)=(n-1)!
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1.2 排列与组合
例1.2.8 5个男生，3个女生围一圆桌而坐，若没有任何要 求则有多少种方案；Biblioteka Baidu要求男生B不和女生G相邻而坐则 有多少种方案；若要求3个女生不相邻又有多少种方案
2n个人分别坐在两张圆桌上的方案数为 C(2n,n)(n-1)!(n-1)!=(2n)!/n2 若是2n对夫妻且要求每对夫妻相邻而坐，则方案数为 C(2n,n)(n-1)!2n(n-1)!2n=(2n)!22n/n2 若要求每对夫妻都不在同一张桌子上，则不同的方案 数为 C(2,1)n(n-1)!(n-1)!=2n((n-1)!)2
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1.2 排列与组合
定理 从n个不同的元素中，可重复地取r个元素，作可重 组合，其组合数为 C(n+r-1,r)。 只要证明：从n个不同元素中取r个作允许重复的组合和从 n+r-1个不同元素中取r个作不允许重复的组合是一一对应 的即可。 假设n个不同元素集合A={1,2，…，n}，从中允许重复地取 出r个元素：a1，a2，…，ar，并且满足 1≤a1≤a2≤…≤ar≤n。 记：bi=ai+i-1，i=1,2，…，r，则 1≤b1<b2<…<br≤n+r-1. 即{bi}构成B={1,2，…，n+r-1}上的一个不允许重复组合。 显然，{ai}与{bi}是一一对应的。
1 C(4,2)×C(7,3) 2 C(4,2)×C(7,3)+C(4,3)×C(7,2)+C(4,4)×C(7,1) 3 C(10,5)+C(9,4)，或C(11,5)-C(9,3)，
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1.2 排列与组合
1.2.3 圆周排列
定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排 列在一个圆周上，称为从n个中取r个的无重圆周排列。 圆周排列的全体组成的集合用 Q(n,r)表示。 所有不同圆周排列的排列数，也记为Q(n,r)。或Qrn。 注意：圆周排列的特点是没有起点与终点