经济数学基础线性代数部分重难点解析

第三部 线性代数 第1章 行列式
1．了解或理解一些基本概念
（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：
性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；
性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；
性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．
例1 设行列式2
11
20
12
31--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。

解 由代数余子式的定义ij A ij j
i M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =1
1311
131)1(3
2-=-+。

应该填写 1
131-。

例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。

A ．
a
c
b d d
c b
a -
= B ．
1
1
11
11
c b
d a d c b a +
=
++
C ．d c b a d c b
a 22222= D ．1
1
1111c b d a d c b a ⋅
=⋅⋅ 解 因为 d
c b
a d c
b a
c
d a b a b c d a c b d ≠
-==-=-，所以选项A 是错误的。

由行列式性质4可知，1
1
1111c b d a d c b a +
=++，所以选项B 是正确的。

因为d c b
a d c
b a d
c b a 2
42222≠=，所以选项C 是错误的。

因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，1
11111c b d a d c b a ⋅
≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。

例3 行列式4
321100001000
010=
D = 。

解 按第1列展开行列式，得
63
000200
01)1(4
32130000200001014-=-==
+D
故应该填写 –6。

2．掌握行列式的计算方法
化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。

降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。

例4 计算行列式 1
2
12
121211
2112
1。

解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。

121212
1211
21
1
2
1=1212212122
1
1
2=2
12
1
0021
02112-
-=2
10
02
102112-
=2
1- 例5 计算行列式9
21310016
1313121-----------
解 用降阶法求之。

12
21
513
41212
2
1
3
0001513
1412192
1
3
100161313121--------=----------=
----------- 1520
51
12005
101
412=---=------=
例6 计算行列式4
6
6
353
331
---+---x x x 解 用降阶法求之。

46
6
353
331
---+---x x x =4
16
313
3
1)2(4
26
32
33
01
------+=-+--+---x x x x x x x
=]9)1)[(2(1
33
1)
2(1
0331
3
3
1)2(2--+=----+=------+x x x x x x x x
=)10)(8)(2(--+x x x 。

3．知道克拉默法则．
第2章 矩阵
1．了解或理解一些基本概念
（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；
（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质； （3）理解矩阵可逆和逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； （4）了解矩阵秩的概念；
（5）理解矩阵初等行变换的概念。

例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）。

A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2
2
2
2)+(B B A A B A +⋅+＝
C. 若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB
D. 若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(
解 A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误； B ：2
2
2
)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即
A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；
C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；
D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确。

例2 矩阵132100
1100001000
100
0-⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。

例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 。

解 根据乘法法则可知，矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3×2＋（－1）×9＋9×0＝－3 应该填写-3
例4 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是 。

A ．T
AB B ．AB C ．A T B D ．A T B T
解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T
AB 有意义。

正确的选项是A 。

例5 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = 。

解 由XA －B =X ，得XA －X =B ，X (A －I )=B ，故X = B (A －I )－
1。

应该填写B (A －I )－
1
2． 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；
3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。

例6 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=210321B ，计算T BA I -． 解：因为 T BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=2435 所以 T BA I -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=24351001
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=1436 例7 已知矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡367601012b b a
a
，求常数a ，b 。

解 因为
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a ab b a ab b b a a
由 6,7,32
==+=ab b a a ，得a = 3，b = 2
例8 设矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解 因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1301102110015321)(I A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--→13251001
所以 ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=-13251A 且 1
-=BA X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13253221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1101．
例9 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011120A ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=110012B ，计算1
T )(-AB . 解 因为 T AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011120⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-101102=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1112 且 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10110112][T
I AB ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--→1011213
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡--→3231101011⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
-→32311031310
1 所以1T )(-AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡-32313131
例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，求逆矩阵1
)(--A I ． 解：因为)(A I -=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---201101011，且 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001
11100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11
0100121010120001110100011110010101 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)
(1
A I
例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵． 证 因为 B B A A
==T T ，，且
T
T
T
)()()(BA AB BA AB +=+T T T T B A A B +=
AB BA +=BA AB +=
所以 AB ＋BA 是对称矩阵．
例12 设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．
证 因为 0))((2
=-=+-I A I A I A ，即I A =2。

所以 A 为可逆矩阵．
第3章 线性方程组
1．了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。

2．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。

例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+02
232
21x x x x 的系数矩阵是( )。

A ．2×3矩阵
B ． 3×2矩阵
C ．3阶矩阵
D ．2阶矩阵
解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵。

正确的选项是A 。

例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( )。

A ．可能有非零解
B ．有无穷多解
C ．无解
D ．有唯一解
解 线性方程组AX =B 有唯一解，说明秩(A ) = n ，故AX = 0只有唯一解（零解）。

正确的选项是D 。

例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=412
21λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组
有无穷多解。

A ．1
B ．4
C ．2
D ．
1
2
解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛λ-λ→021021
此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即
021=λ-，从而λ＝1
2
，即正确的选项是D 。

例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解，那么有 ( )。

A ．秩(A ，
B )＝n B ．秩(A )＝n
C ．秩(A )＝秩（A ，B ）
D ．秩(A ）＝秩(A ，B )＝n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知D 正确。

例5 设线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+--=+0
522312321
32131
x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其
解的情况.
解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.
又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.
例6 求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧
=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x 的一般解．
解： 因为系数矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0000121013
01121036300111103238120111A 所以，一般解为：⎩⎨
⎧+=--=4
324
3123x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量．
例7 求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+--=+-+-=++-1
2321220234321
43214321x x x x x x x x x x x x
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=13 11
01311001
23
1123211212101231A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→001
0013010380
01002001311001231
因为 秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3， 所以 方程组有解。

一般解为
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=031833
4241x x x x x (x 4是自由未知量) 例9 设线性方程组
2121321231231
23x x x x x x x x x c
-+=--+=--+=⎧⎨⎪
⎩⎪
试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

解 ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=135013501121231112111
12c c A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→c 00
013501121 可见，当c = 0时，方程组有解。

且
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
-
→00005153
10535101A
原方程组的一般解为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=-=323
153515153x x x x （x 3是自由未知量）。