经济数学基础线性代数部分重难点解析

第三部 线性代数 第1章 行列式

1．了解或理解一些基本概念

（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：

性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；

性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；

性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．

例1 设行列式2

11

20

12

31--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。 解 由代数余子式的定义ij A ij j

i M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =1

1311

131)1(3

2-=-+。

应该填写 1

131-

。

例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。 A ．

a

c

b d d

c b

a -

= B ．

1

1

11

11

c b

d a d c b a +

=

++

C ．d c b a d c b

a 22222= D ．1

1

1111c b d a d c b a ⋅

=⋅⋅ 解 因为 d

c b

a d c

b a

c

d a b a b c d a c b d ≠

-==-=-，所以选项A 是错误的。 由行列式性质4可知，1

1

1111c b d a d c b a +

=++，所以选项B 是正确的。 因为d c b

a d c

b a d

c b a 2

42222≠=，所以选项C 是错误的。 因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，1

11111c b d a d c b a ⋅

≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。

例3 行列式4

321100001000

010=

D = 。

解 按第1列展开行列式，得

63

000200

01)1(4

32130000200001014-=-==

+D

故应该填写 –6。

2．掌握行列式的计算方法

化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。

降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。

例4 计算行列式 1

2

12

121211

2112

1。 解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。

121212

1211

21

1

2

1=1212212122

1

1

2=2

12

1

0021

02112-

-=2

10

02

102112-

=2

1- 例5 计算行列式9

21310016

1313121-----------

解 用降阶法求之。

12

21

513

41212

2

1

3

0001513

1412192

1

3

100161313121--------=----------=

----------- 1520

51

12005

101

412=---=------=

例6 计算行列式4

6

6

353

331

---+---x x x 解 用降阶法求之。

46

6

353

331

---+---x x x =4

16

313

3

1)2(4

26

32

33

01

------+=-+--+---x x x x x x x

=]9)1)[(2(1

33

1)

2(1

0331

3

3

1)2(2--+=----+=------+x x x x x x x x

=)10)(8)(2(--+x x x 。 3．知道克拉默法则．

第2章 矩阵

1．了解或理解一些基本概念

（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；

（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质； （3）理解矩阵可逆和逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； （4）了解矩阵秩的概念；

（5）理解矩阵初等行变换的概念。

例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）。 A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2

2

2

2)+(B B A A B A +⋅+＝

C. 若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB

D. 若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(

解 A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误； B ：2

2

2

)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即

A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；

C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；

D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确。

例2 矩阵132100

1100001000

100

0-⎡⎣⎢⎢

⎢⎢⎤⎦

⎥⎥

⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。

例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 。

解 根据乘法法则可知，矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3×2＋（－1）×9＋9×0＝－3 应该填写-3

例4 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是 。

A ．T

AB B ．AB C ．A T B D ．A T B T

解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T

AB 有意义。正确的选项是A 。

例5 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = 。

解 由XA －B =X ，得XA －X =B ，X (A －I )=B ，故X = B (A －I )－

1。

应该填写B (A －I )－

1

2． 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；