第6章内生解释变量.
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第六章
内生解释变量
第一节 解释变量内生性的成因与检验 第二节 解释变量内生性检测 第三节 内生性问题的解决办法
第一节 解释变量内生性的成因与检验
一、解释变量内生性及其影响
解释变量与随机误差项是线性无关的（甚至是均值独立的）， 即要求
cov( x ji , ui ) 0
( j 1,2,, k i 1,2,, n )
这称为解释量的外生性假定。
解释变量与随机误差项之间往往存在某种程度的相关性，即：
cov( x ji , ui ) 0
( j 1,2,, k
i 1,2,, n )
此时，就称模型存在内生性问题，与随机误差项相关的解释 变量称为内生解释变量。
= 内生性会对OLSE的统计性质产生不良影响
1、影响无偏性 如果假定SLR.3′（不相关假定）不成立，则一定违背古典假 定SLR.3的均值独立假定，即 E(ui | xi ) 0 一定不成立。而假 定SLR.3（均值独立）是OLSE无偏性成立的关键假定。由 （2.22）知：
（6.2）
其中v中包含了x2。显然，若是x2与x1相关，则会导致 ，
cov( x1 , v) 0
对（6.2）式进行回归， x1的系数估计量为:
ˆ1
( x x )( y y ) (x x )
1 1 2 1 1
（6.3）
ˆ1
( x x )( y y ) (x x )
考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题
y 0 1 x1 2 x2 u
u是随机误差项。
（6.1）
其中y代表工资的对数，x1代表受教育年限，x2代表个人能力， 若x2无法准确测量，将其归入随机误差项中，得到如下回归
模型：
y 0 1x1 v
从而产生内生性问题。
二、内生性产生的原因
横截面回归中解释变量内生性产生的原因主要有遗漏变量、 错误的函数形式、测量误差和联立性。 1、遗漏变量 在建立计量经济模型时，由于人们认识上的偏差，理论分析 的缺陷，或者是有关统计数据的影响，导致有意或无意地忽 略了某些重要变量，未能将其作为解释变量引入模型，这种 变量就称为遗漏变量（Omitted Variable）。被遗漏的变量虽 未引入模型，但其对因变量的影响还是存在的，其影响由随 机误差项体现出来。如果被遗漏变量和模型中现有的解释变 量存在相关，则会造成解释变量与随机误差项的相关，即产 生内生性问题。
差以及其他统计误差。测量误差出现的原因是多方面的。
首先，调查登记本身就可能产生误差； 其次，数据的加工处理过程中也可能导致一定的误差； 此外，数据的不当使用也会出现误差， 测量误差可能是被解释变量的测量误差，也可能是解释变 量的测量误差。
测量误差造成的内生性也会影响回归分析的结果。 （1）因变量存在测量误差 ，且与自变量不相关， ，则OLS 估计量具有良好的性质，是无偏和一致的。 （2）因变量存在测量误差 ，且与自变量相关， ，则产生 内生性问题，OLSE是有偏且不一致的。 （3）自变量存在测量误差 ，且与自变量测量值不相关、与 随机误差不相关，则估计值是一致的，但方差会变大。 （4）自变量存在测量误差，且与自变量测量值相关，则产 生内生性问题，OLSE是不一致的。OLSE常常会低估真实的 回归参数。 注意：回归变量的测量误差是数据问题，目前计量经济学家 们还提不出有效的解决方法。一般的做法往往是忽略测量误 差问题，主观上希望测量误差足够小，从而不破坏回归分析 假定的合理性。
2
ˆ) var( 1
2 2 ( x x ) (1 r 1 1 12 )
u2
2、测量误差 在搜集数据时，如果遇到所搜集的数据不能确实地反映变
量间经济行为的情况，就称模型中包含了测量误差
（Measurement Errors）。具体来说，测量误差是指在收集 数据过程中的登记误差、在数据加工整理过程中的整理误
cov( xi , ui ) ˆ cov( x , u ) P lim( 1 ) 1 1 ， 如果 i i ≠0，则， var( xi )
OLSE不再具有一致性。
3、其它影响 其它不良影响还包括，随机误差项的方差估计量是有偏的，
由此导致回归系数的方差估计量是有偏的，进而与方差相
关的假设检验、区间估计容易导出错误的结论。这些影响 需要结合内生性产生的具体的原因进行分析。
1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1
（6.3）
ˆ1 1 2 P lim
cov( x1 , x2 ) var( x1 )
（6.5）
（1）若遗漏的 x2与x1 相关，则（6.4）、（6.5）式中的第 二项在小样本的期望与大样本下的概率极限都不会为零， 使得普通最小二乘估计量OLSE是有偏的，在大样本下也是 不一致的。
（2）若 x2与x1不相关，则由（6.4）、（6.5）易知 1的估 计量满足无偏性与一致性，但这时 0 的估计却是有偏的。
2 ˆ （3） 随机误差项的方差估计 u 也是有偏的。
ˆ 的方差的有偏估计。 ˆ1 的方差是真实估计量 （4）
1
ˆ1 ) Biblioteka Baiduvar(
(x x )
1 1
v2
ˆ | x ) = E( ) E( k u | x ) k E(u | x ) E( 1 i i i i 1 i i i ≠0 1
2、影响一致性
( xi x )ui ˆ P lim( 1 ) P lim( 1 ki ui ) P lim( 1 ) P lim[ ] 2 ( xi x ) 1 P lim[ ( xi x )ui ] cov( xi , ui ) n 1 1 1 var( xi ) P lim[ ( xi x ) 2 ] n
1 1 2 1 1
将正确模型（6.1）式代入（6.3）式得
( x x )[(
1 1
0
1 x1 2 x2 u ) ( 0 1 x1 2 x2 u )]
2 ( x x ) 1 1
2
1 2
( x x )( x x ) ( x x )(u u ) (x x ) (x x )
内生解释变量
第一节 解释变量内生性的成因与检验 第二节 解释变量内生性检测 第三节 内生性问题的解决办法
第一节 解释变量内生性的成因与检验
一、解释变量内生性及其影响
解释变量与随机误差项是线性无关的（甚至是均值独立的）， 即要求
cov( x ji , ui ) 0
( j 1,2,, k i 1,2,, n )
这称为解释量的外生性假定。
解释变量与随机误差项之间往往存在某种程度的相关性，即：
cov( x ji , ui ) 0
( j 1,2,, k
i 1,2,, n )
此时，就称模型存在内生性问题，与随机误差项相关的解释 变量称为内生解释变量。
= 内生性会对OLSE的统计性质产生不良影响
1、影响无偏性 如果假定SLR.3′（不相关假定）不成立，则一定违背古典假 定SLR.3的均值独立假定，即 E(ui | xi ) 0 一定不成立。而假 定SLR.3（均值独立）是OLSE无偏性成立的关键假定。由 （2.22）知：
（6.2）
其中v中包含了x2。显然，若是x2与x1相关，则会导致 ，
cov( x1 , v) 0
对（6.2）式进行回归， x1的系数估计量为:
ˆ1
( x x )( y y ) (x x )
1 1 2 1 1
（6.3）
ˆ1
( x x )( y y ) (x x )
考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题
y 0 1 x1 2 x2 u
u是随机误差项。
（6.1）
其中y代表工资的对数，x1代表受教育年限，x2代表个人能力， 若x2无法准确测量，将其归入随机误差项中，得到如下回归
模型：
y 0 1x1 v
从而产生内生性问题。
二、内生性产生的原因
横截面回归中解释变量内生性产生的原因主要有遗漏变量、 错误的函数形式、测量误差和联立性。 1、遗漏变量 在建立计量经济模型时，由于人们认识上的偏差，理论分析 的缺陷，或者是有关统计数据的影响，导致有意或无意地忽 略了某些重要变量，未能将其作为解释变量引入模型，这种 变量就称为遗漏变量（Omitted Variable）。被遗漏的变量虽 未引入模型，但其对因变量的影响还是存在的，其影响由随 机误差项体现出来。如果被遗漏变量和模型中现有的解释变 量存在相关，则会造成解释变量与随机误差项的相关，即产 生内生性问题。
差以及其他统计误差。测量误差出现的原因是多方面的。
首先，调查登记本身就可能产生误差； 其次，数据的加工处理过程中也可能导致一定的误差； 此外，数据的不当使用也会出现误差， 测量误差可能是被解释变量的测量误差，也可能是解释变 量的测量误差。
测量误差造成的内生性也会影响回归分析的结果。 （1）因变量存在测量误差 ，且与自变量不相关， ，则OLS 估计量具有良好的性质，是无偏和一致的。 （2）因变量存在测量误差 ，且与自变量相关， ，则产生 内生性问题，OLSE是有偏且不一致的。 （3）自变量存在测量误差 ，且与自变量测量值不相关、与 随机误差不相关，则估计值是一致的，但方差会变大。 （4）自变量存在测量误差，且与自变量测量值相关，则产 生内生性问题，OLSE是不一致的。OLSE常常会低估真实的 回归参数。 注意：回归变量的测量误差是数据问题，目前计量经济学家 们还提不出有效的解决方法。一般的做法往往是忽略测量误 差问题，主观上希望测量误差足够小，从而不破坏回归分析 假定的合理性。
2
ˆ) var( 1
2 2 ( x x ) (1 r 1 1 12 )
u2
2、测量误差 在搜集数据时，如果遇到所搜集的数据不能确实地反映变
量间经济行为的情况，就称模型中包含了测量误差
（Measurement Errors）。具体来说，测量误差是指在收集 数据过程中的登记误差、在数据加工整理过程中的整理误
cov( xi , ui ) ˆ cov( x , u ) P lim( 1 ) 1 1 ， 如果 i i ≠0，则， var( xi )
OLSE不再具有一致性。
3、其它影响 其它不良影响还包括，随机误差项的方差估计量是有偏的，
由此导致回归系数的方差估计量是有偏的，进而与方差相
关的假设检验、区间估计容易导出错误的结论。这些影响 需要结合内生性产生的具体的原因进行分析。
1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1
（6.3）
ˆ1 1 2 P lim
cov( x1 , x2 ) var( x1 )
（6.5）
（1）若遗漏的 x2与x1 相关，则（6.4）、（6.5）式中的第 二项在小样本的期望与大样本下的概率极限都不会为零， 使得普通最小二乘估计量OLSE是有偏的，在大样本下也是 不一致的。
（2）若 x2与x1不相关，则由（6.4）、（6.5）易知 1的估 计量满足无偏性与一致性，但这时 0 的估计却是有偏的。
2 ˆ （3） 随机误差项的方差估计 u 也是有偏的。
ˆ 的方差的有偏估计。 ˆ1 的方差是真实估计量 （4）
1
ˆ1 ) Biblioteka Baiduvar(
(x x )
1 1
v2
ˆ | x ) = E( ) E( k u | x ) k E(u | x ) E( 1 i i i i 1 i i i ≠0 1
2、影响一致性
( xi x )ui ˆ P lim( 1 ) P lim( 1 ki ui ) P lim( 1 ) P lim[ ] 2 ( xi x ) 1 P lim[ ( xi x )ui ] cov( xi , ui ) n 1 1 1 var( xi ) P lim[ ( xi x ) 2 ] n
1 1 2 1 1
将正确模型（6.1）式代入（6.3）式得
( x x )[(
1 1
0
1 x1 2 x2 u ) ( 0 1 x1 2 x2 u )]
2 ( x x ) 1 1
2
1 2
( x x )( x x ) ( x x )(u u ) (x x ) (x x )