一维势阱和势垒问题

第一激发态(n=2)有一个节点， 0
第k激发态(n=k+1)有k个节点。 0
1 n 1
ax
2 n2
ax
3 n3
ax
4 n4
ax
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度
1 2 n 1
分布
0 2 2 n2 a x
an

1，x

a 2
处，几率最大0
3 2 n3
a
x
bn ，峰数 ，当n 时，
子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
② 图形
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
（1）一维无限深势阱的粒子波函数
n(x)
2 sin nx , 0 x a;
a a
0,
x 0, x a. 0
除端点外，
0
基态的波函数(n=1)无节点，
0 x a;
0,
x 0, x a.
讨论：
① 粒子的能量
En

2k 2
2

22n2
2 a2
,
n 1,2,3,
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1
22 2a2
0
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒
(x)
2dx

a 0

n
(x)
2dx

1
A 2 a sin2 nx dx A 2 a n sin 2tdt
0 a
n 0
A 2 a n A 2 a 1
n 2
2
波
函数： n(x)
A 2 / a 取 A为正实数
2 sin nx ,
a a
§16-3 一维势阱和势垒问题
1.一维无限深势阱
一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型
粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运 动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。
一维无限深方势阱的数学表达形式 ：
0 (0 x a) U (x) (x 0及x a )
无数峰：量子 经典均匀0分布4 2
a
n4
x
0
ax
n时
量子经典
|n | 2 n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n(x)
En ( x)

h2 8ma 2
n2
n (x)
2 sin n x
aa
n(x)

2 sin2( n
aa
x)
0
ax
例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性：
U
(x)

0,
U 0 ,
图形ຫໍສະໝຸດ Baidu式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
V
U0, 0 x a
ka n , n 1,2,3,......
En

2k 2
2

22n2
2 a2
,
n 1,2,3,
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式
给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
0,或m , m 1,2,3,......
波函数改写为： (x) A sin kx
(a) 0
ka n , n 1,2,3,......
讨论一：n不等于零
d2 k 2 0
dx2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞
U(x)
0
∞
粒子只能在宽为 a 的两个无
限高势壁间运动，这种势称为 一维无限深方势阱。
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。

2
2
2
U
(r)

(r)

E
(r)
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程

m nd 0

即不同能级的波函数是互相正交的。
解:
波函数 m 取其复共轭

m
相乘并积分，得


m
(
x)
n
(
x)d

0a(

2 mπx sin )(
aa
2 nπx sin )dx
aa

0a
1 a
[cos
(m
n)πx a

cos
(m
n)πx ]dx
a
的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
(x) Asin kx ka n , n 1,2,3,......
与能量本征值En相对应的本征波函数n (x)为：

n (x)

Asin( nx )
a
(0 x a) n 1,2,3,...
利用归一化条件



n

1
(0 x a)

(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d2 1
dx2

2E
2
1

0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2

2E
2

0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k

1 (m
n)
(mn)
0
cos udu
1 (m
n)
(mn)
0
cos vdv
0
属于不同能级的波函数是正交的。
把波函数的正交性和归一性表示在一起，

m nd δmn

1,
mn
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
d2 0
dx2
(x) Cx D
(0) 0
D0
(a) 0
C0
0
此时波函数没有物理意义，故舍去。
讨论二：n不取负数
(x) Asin kx Asin kx
此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布， 即无法给出新的波函数，故舍去。
2E
k
定态薛定谔方程变为
d 2
dx2
k 2
0
此薛定谔方程的解为
2E

(x) Asin(kx )
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
(x) Asin(kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即