人教版九年级数学下册第28.2： 解直角三角形及应用讲义

讲义主题：解直角三角形

一：课前纠错与课前回顾

1、作业检查与知识回顾

2、错题分析讲解

（1）

（2）

（3）

二、课程内容讲解与课堂练习

【题模1】：解直角三角形

1.如图，在四边形ABCD中，90

BC=，4

AB=，2

B D

∠=∠=︒，3

A=，

tan

3

则CD=__________．

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

3.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）

C+1D

A．2B．

4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC的周长．

5.将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠

ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，

，DE=6，则EB=____．

【讲透例题】 1.【答案】65

【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ．

Rt ABE ∆在中，4

tan 3

A =，3A

B =， 4BE ∴=，

422EC BE BC ∴=-=-=，

ABE ∆和CDE ∆中，90B EDC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，

DCE A ∴∠=∠，

Rt CDE ∴∆中，4

tan tan 3

DE DCE A DC ∠==

=，

∴

设4DE x =，则3DC x =，

在Rt CDE ∆中，222EC DE DC =+，224169x x ∴=+， 解得：25

x =，则65

CD =．

2.【答案】C

【解析】∵sinA=

=，

∴设BC=4x ，AB=5x ， 又∵AC 2+BC 2=AB 2，

∴62+（4x）2=（5x）2，

解得：x=2或x=﹣2（舍），

则BC=4x=8cm，

3.【答案】D

【解析】

在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，

则AD=CD=1，

在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，

则

．

故

故选D．

4.【答案】10+3+．

【解析】在Rt△ADC中，tanC==，

设AD=k，CD=2k，

AC==k，

∵AC=3，

∴k=3，解得k=3，

∴AD=3，CD=6，

在Rt△ABD中，

BD===，

∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3++6=10+3+．5.【答案】

【解析】 在Rt △ABC 中， ∵

，∠A=45°， ∴

×

2

=4 在Rt △EDC 中， ∵∠EDC=60°，DE=6，

∴CE=DE•sin ∠EDC=6×2

∴．

故填空答案：． 【讲透考点】

一．解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形． 二．解直角三角形要用到的关系

1．三边之间的关系

222a b c +=

2．两锐角之间关系

90A B ∠+∠=︒

3．边角之间的关系

sin =A a A c ∠=的对边斜边， sin =B b

B c ∠=的对边斜边； cos =A b A c ∠=的邻边斜边， cos =B a

B c ∠=的邻边斜边； tan =A a A b ∠=

的对边邻边， tan =

B b

B a

∠=的对边邻边．

三．圆中的相关计算

1．利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题；

2．利用直径所对圆周角为90︒，构造直角三角形； 3．利用切线的性质求解线段长度．

【相似题练习】

1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若1BC =，2AC =，则sin A 的值为（ ）

A

B

C ．12

D ．2

2.如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sinA=35

，则下列结论正确的个数有（ ）

①DE=3cm ；②BE=1cm ；③菱形的面积为15cm 2；④

． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3.已知：如图，线段AB 、DE 表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB ＝3m ，∠ABC ＝45°，要使∠EDC ＝60°，则需BD ＝__________m ．

4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点（AF ＞BF ）．

（1）求证：△ACE ≌△AFE ；

（2）求tan ∠CAE 的值．

【题模2】：锐角三角函数的实际应用

1.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离8CE =m ，测得旗杆的顶部A 的仰角30ECA ∠=︒，旗杆底部B 的俯角45ECB ∠=︒，那么，旗杆AB 的高度是（ ）

A ．(

m

B ．(8m +

C ．

m ⎛

⎝⎭

D ．8m ⎛+ ⎝

⎭

2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，

为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i=1：5，则AC 的长度是____cm ．

3.有一轮船在A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P ，轮船沿正南方向航行至B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则A ，B 之间的距离是（ ）海里．