高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数3-1-1对函数概念的再认识学生用书湘教版必修第一册

3．1 函数
3．1.1 对函数概念的再认识
教材要点
要点一函数的概念
(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．
(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．
要点二两个函数相等
两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．
状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：
定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．
要点三常见函数的定义域和值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )
(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．( )
2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
的定义域是( )
3．函数y＝
√x−1
A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}
C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}
4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．
题型1 函数关系的判断
例1 (1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是
( )
方法归纳
(1)判断所给对应是否为函数的方法 ①首先观察两个数集A ，B 是否非空；
②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .
(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；
③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1 (1)(多选)已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2
，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
(2)图中所给图象是函数图象的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
题型2 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝√1−x +1x+3
的定义域为( )
A ．{x |－3＜x ≤0}
B ．{x |－3＜x ≤1}
C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}
D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}
(2)函数f (x )＝(x −12)0
＋√x +2的定义域为( )
}
A．{x|x≥−2且x≠1
2
B．{x|x≥－2}
}
C．{x|x＞−2且x≠1
2
D．{x|x＞－2}
方法归纳
求给出解析式的函数的定义域的基本步骤
常见函数的定义域
(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；
(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；
(4)函数y＝x0中的x不为0；
(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝√−x
的定义域为( )
2x2−3x−2
A．{x|x≤0}
}
B．{x|x≤−1
2
}
C．{x|x≤0且x≠−1
2
＜x≤0}
D．{x|−1
2
的定义域为________．
(2)函数y＝√x+3
x−2
题型3 两个函数是相等函数的判断
例3 (多选)下列各组函数是相等函数的是( )
A．f(x)＝√−2x3与g(x)＝x·√−2x
B ．f (x )＝x 与g (x )＝√x 2
C ．f (x )＝x 0
与g (x )＝1
x
D ．f (x )＝x 2－x ＋1与g (t )＝t 2
－t ＋1
方法归纳
判断相等函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断相等函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3 下列函数中与函数y ＝x 2
是相等函数的是( ) A ．u ＝v 2
B ．y ＝x ·|x |
C ．y ＝x 3
x D ．y ＝(√x )4
题型4 函数值与函数的值域
例4 (1)设f (x )＝2x 2
＋2，g (x )＝1
x+2，求： ①f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)； ②g (f (2))，f (g (2))． (2)求下列函数的值域． ①y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]； ②y ＝2x
x+1； ③y ＝x －√1−2x .
方法归纳
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±√cx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
跟踪训练4 (1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝√x B．y＝
√x
C．y＝1
x
D．y＝x2＋1
(2)已知函数f(x)＝x+1
x+2
.
求f(2)；f(f(1))．
易错辨析忽略参数取值范围致误
例5 若函数f(x)＝
√mx2−mx+2
的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝
√mx2−mx+2
的定义域为R，
即mx2－mx＋2＞0恒成立．
当m＝0时，易知成立，
当m≠0时，需满足{m＞0，
Δ=m2−8m＜0，∴0＜m＜8，
综上所述，0≤m＜8.
答案：0≤m＜8
易错警示
课堂十分钟
1．下列各图中，一定不是函数图象的是( )
2．函数f (x )＝
√1−3x
x
的定义域为( )
A ．{x|x ≤13
}B ．{x|x ＜13
}
C ．{x|0＜x ≤13}
D ．{x|x ≤1
3且x ≠0}
3．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f (x )＝√x 2，g (x )＝(√x )2
B ．f (x )＝√x 2，g (x )＝|x |
C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0
D ．f (x )＝x+1
x 2−1，g (x )＝1
x−1
4．已知函数f (x )＝1
1+x ，又知f (t )＝6，则t ＝
________． 5．已知函数f (x )＝
1x+1+√x +2.
(1)求f (x )的定义域； (2)若a ＞0，求f (a －1)的值．
第三章 函数的概念与性质
3．1 函数
3．1.1 对函数概念的再认识
新知初探·课前预习
要点一
实数集 唯一确定 x 要点三 1．R R 2．R [
4ac−b 24a
，+∞) (−∞，
4ac−b 24a
]
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由函数的定义可知D 正确． 答案：D
3．解析：要使函数y ＝
√x−1
有意义，
则必须{x −1≥0，
√x −1≠0.∴x >1，
故选C. 答案：C
4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，
不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都有唯一确定的y 与之对应，是函数关系．故选D.
答案：(1)A (2)D
跟踪训练1 解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42
＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．故选ABC.
(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B. 答案：(1)ABC (2)B
例2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{1−x ≥0，x +3≠0，
解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，即{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}．故选D. (2)要使函数f (x )有意义，
则{x ≠1
2，
x +2≥0，
解得x ≥－2且x ≠1
2，故选A. 答案：(1)D (2)A
跟踪训练2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－1
2，故选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3
x−2， ∴x ＋3≥0且x ≠2， ∴x ≥－3且x ≠2.
答案：(1)C (2){x |x ≥－3且x ≠2}
例3 解析：A 中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B 中，g (x )＝√x 2＝|x |与f (x )＝x 解析式不同；C 、D 是相等函数．
答案：CD
跟踪训练3 解析：函数y ＝x 2
的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2
的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2
一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2
不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3
x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4
的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.
答案：A
例4 解析：(1)①f (2)＝2×22
＋2＝10；
f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；
g (a )＋g (0)＝1a+2+1
2；
②g (f (2))＝g (10)＝1
10+2＝1
12；
f (
g (2))＝f (1
4)＝2×(14)2
＋2＝17
8.
(2)①因为x ∈(－1，3]，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)． ②因为y ＝2x
x+1＝
2(x+1)−2x+1
＝2－2
x+1≠2，
所以函数y ＝2x x+1的值域为{y |y ≠2}． ③设√1−2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1−t 22
，
所以y ＝
1−t 22
－t ＝1
2(－t 2
－2t ＋1)＝－1
2(t ＋1)2
＋1，
因为t ≥0，所以y ≤1
2，
所以函数y ＝x －√1−2x 的值域为(−∞，1
2].
跟踪训练4 解析：(1)A 中，由x ≥0得y ＝√x ≥0，∴y ＝√x (x ≥0)的值域为[0，＋∞)，A 不符合；B 中，设√x ＝t ，由x >0得t ＝√x >0，由y ＝1
t (t >0)的图象知其值域为(0，＋∞)，
B 符合；
C 中，由y ＝1x (x ≠0)的图象知，y ＝1
x 的值域为(－∞，0)∪(0，+∞)，C 不符合；D 中，y ＝x 2
＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．
(2)①f (2)＝2+1
2+2＝3
4； ②∵f (1)＝
1+11+2＝2
3；
∴f (f (1))＝f (2
3)＝2
3+123
+2＝5
8.
答案：(1)B (2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：对于A 选项，由图象可知，存在x 同时对应两个函数值y ，A 选项中的图象不是函数图象；对于B 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，B 选项中的图象是函数图象；对于C 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，C 选项中的图象是函数图象；对于D 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，D 选项中的图象是函数图象．故选A.
答案：A
2．解析：要使f (x )有意义，只需满足{1−3x ≥0，
x ≠0，
即x ≤1
3且x ≠0.故选D.
11 答案：D
3．解析：对于选项A ：f (x )＝√x 2的定义域为R ，g (x )＝(√x )2
的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A 不正确；对于选项B ：f (x )＝√x 2＝|x |，g (x )＝|x |是相等函数，故B 正确；对于选项C ：f (x )＝1定义域为R ，g (x )＝x 0＝1，定义域为{x |x ≠0}，定义域不同不是相等函数，故C 不正确；对于选项D ：f (x )＝x+1
x 2−1
的定义域为{x |x ≠±1}，g (x )＝1x−1的定义域为{x |x ≠1}，定义域不同不是相等函数，故D 不正确；故选B.
答案：B
4．解析：由f (t )＝6，得11+t ＝6，即t ＝－56.
答案：－56
5．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1，
故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；
(2)若a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。