机械工程控制基础稳态误差与准确性分析

(a)υ= 0
essr=
R0 1+K
(b)υ≥ 1
essr=0
r(t) c(t) r(t)
r(t)
ess
c(t) r(t)
ess=0
c(t)
c(t)
0
t
0
t
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2、单位斜坡输入
当输入为单位斜坡信号时： xi (t) t
t
lim
s0
s e(s)
同理，稳态偏差的定义为： ss
lim (t)
t
lim
s0
s (s)
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4.2 输入引起的稳态误差的计算
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➢ 终值定理法
系统在输入作用下的偏差传递函数为：
即：
(s)
1
i (s)
Xi
Gk (s) s(0.04s 1)(s 1)(0.007s 10)(0.0017s 1)
试分别求出该系统对单位阶跃、单位速度、单位加速度输入 时的稳态误差。
解：变换 Gk (s) 可得，系统为K=10的II型系统，该系统的
各种稳态误差系数分别为：
Kp
lim
s0
Gk
(s)
Kv
lim
s0
sGk
(s)
Ka
✓ 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大， 稳态误差越小。
✓ 在阶跃输入作用下，0型系统的稳态误差为定值，常 称为有差系统；I型系统的稳态误差为0，常称为一阶无 差系统；
✓ 在速度输入作用下，II 型系统的稳态误差为0，常称 为二阶无差系统。
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lim
s0
s
1
1 s3 G(s)H
(s)
1
1
1
lim
s0
s2
s2
G(s)H
(s)
lim
s0
s2G(s)H
(s)
Ka
式中
Ka
lim s 2G(s)H (s) lim s 2 KG0 (s)
s0
s0
sv
K
lim
s0
s v2
称Ka为加速度无偏系数（静态加速度误差系数）。
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s0
lim
s0
s
(s)
H (s)
lim
s0
s
1 H (s)
1
G
1 (s)
H
(s)
X
i
(s
)
lim
s0
1 H (s)
ss
ss
H (0)
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怎样用终值定理法计算输入引起的稳态误差，书上写的太混
乱，应总结为：
1、写出输入端的偏差传递函数及偏差表达式的拉氏变换(s)； 2、由终值定理求稳态偏差ss； 3、由ess=ss/H(0)，求ess。
本章主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形 式、系统类型所产生的稳态误差，即原理性稳态误差的计算 方法。
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4.1 误差与稳态误差
1、控制系统的偏差与误差
➢ 偏差信号(s)
考虑图示反馈控制系统
Xi(s) (s)
(s)
1 G(s)H (s)
(s)
1
1 G(s)H
(s)
Xi
(s)
输出：偏 差信号； 输入：输 入信号。
利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：
ss
lim (t)
t
lim s (s)
s0
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
Xi (s)
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稳态误差：
ess
lim e(t)
t
lim se(s)
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对于0型系统， K P
且K愈大， 愈小。
lim K s s0 0
K ， ss
1 1 K
，为有差系统，
对于I、II型系统， K P
系统。
lim K s s0 v
， ss
0，为位置无差
阶跃输入时（比例系数为R0）不同型别系统响应曲线
e(s)
X or (s)
X o (s)
Xi (s) H (s)
X o (s)
Xi (s) Xo(s)H (s) H (s)
Xi (s) B(s) (s)
H (s)
H (s)Baidu Nhomakorabea
对单位反馈系统：e(s)＝ (s)
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lim
s0
s
2Gk
(
s)
10
所以系统对三种典型输入的稳态误差分别为：
位置误差 essp 1 (1 K p ) 0
速度误差 essv 1 K v 0
加速度误差 essa 1 Ka 0.1
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4.3 干扰引起的稳态误差
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m
若记
G0 (s)
i1(Tis 1)
n
显然
lim
s0
G0
(s)
1
(T
j 1
j
s
1)
则可将系统的开 环传递函数表示为： GK (s)
G(s)H (s)
KG0 ( s) sv
1、单位阶跃输入
当输入为单位阶跃信号 时 X i (s)
✓ 令 为输入信号拉氏变换后s的阶次，当 v时，无稳 态偏差（稳态误差）； -v=1时，稳态偏差（稳态误差） 为常数； -v=2时，稳态偏差（稳态误差）为无穷大；
✓ 对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单 位反馈系统，稳态误差可由稳态偏差求得 ess=εss/H(0)。
✓ 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（稳态误差）
G(s)
B(s) H(s)
Xo(s)
偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统反馈信号B(s)之
差（负反馈），即：
(s)= Xi(s)－B(s)＝ Xi(s)－H(s) Xo(s)
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➢ 误差信号e(s)
误差信号e(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出 Xo(s)之差，即：e(s)= Xor(s)－ Xo(s)
➢ 稳态误差与稳态偏差
稳态误差：系统的稳态误差是误差信号的稳态分量，或者
说指系统进入稳态后的误差，因此，不讨论过渡过程中的
情况。只有稳定的系统存在稳态误差。记为ess(t) ：
ess lim e(t)
t
当se(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时， 根据拉氏变换的终值定理，有：
ess
lim e(t)
控制系统的期望输出Xor(s)为偏差信号(s)＝0时的实际
输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望
输出： Xo(s)＝Xor(s)
由：(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0 可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)
对于单位反馈系统，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)
➢ 偏差信号(s)与误差信号e(s)的关系
r(t)
ess
c(t)
r(t)
c(t)
c(t)
0
t
0
t
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根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与
系统输入和型号的关系为（单位反馈时，稳态误差等于稳
态偏差）：
R(s)
υ
a
s
a s2
a s3
0型 a 1+K
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➢ 静态误差系传数递法函数的零点
根轨迹增益
对显于然单，位系反统馈稳系态统偏：差(e稳ss 态n误>s=s差m)取slim决0首尾s于111输型型G入1：：(信s)号1XXis(iss(s))和1
开 结环构传和递参函数数。G(s)H(s)，即决定于传输递入函信数号的的极特点性及系统的
s0
sv
lim
s0
K s v1
称Kv为速度无偏系数（静态速度误差系数）。
对于0型系统， Kv
lim
s0
K s 0 1
lim s K
s0
0,
ss
1 Kv
；
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K
对于I型系统，
Kv
lim
s0
s0
K,
对于II型系统，
Kv
lim K s0 s
,
ss
1 Kv
1 K
；
ss
1 Kv
0。
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(a)υ= 0 essr=∞
(b)υ= 1 essr= α /K
r(t) c(t) r(t)
ess
r(t)
c(t)
r(t) ess
c(t)
c(t)
0
t
0
t
斜坡输入时（比例系数为α ） 不同型别系统的响应曲线
(c)υ≥ 2 essr=0
等于多个信号单独作用下的稳态偏差（稳态误差）之和。
如： xi (t) A Bt
总的稳态偏差： ss
1 Ct2 2A 1 Kp
B Kv
C Ka
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例：某单位反馈的电液反馈伺服系统，其开环传递函数为
s 100 s
∞
∞
I型
0
a K
∞
II型 0
a
0
K
输入信号的阶次越高，稳态误差越大。系统的型次 越高，稳态误差越小。
对于Ⅲ型系统及以上系统： ess 。0
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几点结论：
✓ 不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误 差可能不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系 统，其稳态误差也可能不同。
X i (s)
1 s2
ss
lim s
s0
E(s)
lim s Xi (s) s0 1 G(s)H (s)
lim
s0
s 1 s2 1 G(s)H (s)
1
1
1
lim
lim
s0 s sG(s)H (s) s0 sG(s)H (s) Kv
式中，K v
lim sG(s)H (s) s0
lim sKG0 (s)
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此课件除了PPT内容，课件下
方附带的备注里讲解内容更
细致：备注里有很多案例可
以帮助理解；备注里有很多
重点、难点内容的详西讲解；
备注里有很多易错、易误导
内容的讲解。
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K
对于0、I型系统，
Ka
lim
s0
sv2
0,
ss
1 Ka
；
对于II型系统， Ka K ,
ss
1 K
。
抛物输入时（比例系数为α）不同型别系统响应曲线
(a)υ≤1 essr=∞
(b)υ= 2
essr=α/K
r(t)
ess
c(t)
r(t)
r(t) c(t)
r(t)
0
ess c(t)
t
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3、单位加速度（抛物线）输入
当输入为加速度信号时，
xi (t)
1 2
t2
1 X i (s) s3
ss
lim
s0
s
E(s)
lim
s0
s
1
X i (s) G(s)H (s)
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机电工程控制基础
河北工程大学 机械与装备工程学院
周雁冰
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第四章 稳态误差与准确性分析
4.1 误差与稳态误差 4.2 输入引起的稳态误差的计算 4.3 干扰引起的稳态误差 4.4 减小系统误差的途径
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控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系 统的稳态性能指标，定量描述系统的准确性。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称 为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
系统的稳态误差，应该是在系统稳定的前提下研究才有 意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的 可能性。
ss
lim
s0
s
E(s)
lim
s0
s
1
X i (s) G(s)H (s)
1 ，系统的稳态偏差为：
s
lim
1
1
s0 1 G(s)H (s) 1 KP
式中
KP
lim G(s)H (s)
s0
lim
s0
K sv
G0 (s)
lim
s0
K sv
称KP为位置无偏系数（静态位置误差系数）。
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当系统同时受到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时，由
叠加原理，系统总的稳态偏差： ss ssi ssn ，总的稳
态误差：ess essi essn。 N(s)
开环增益 时间常数
开环传递函数表示为:
m
K (Ti s 1)
GK (s) G(s)H (s)
i 1 nv
积分环节个数
sv (T s 1) j 1 j
首1型还是 尾1型？开 环增益还 是根轨迹 增益？
工程上规定：v＝0，1，2时分别称为0型，I型和II型系统。v愈 高稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此一般系统不超过III型。