高等数学数列与极限期末复习题汇总.ppt

证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
可用数学归纳法证
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备用题
1.设
xn1
1 2
( xn
a xn
)
( n 1, 2, ) , 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
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解： xn1
1 2
(xn
a) xn
xn
a xn
a
xn1 xn
1 (1 2
a xn 2
)
1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，故极限存在，设
数列的定义 按照自然数大小的次序排列起来的一组无穷 多个实数称为数列
数列中的每一个数称为项，
数列也可以看作是定义在自然数集上的函数
●
例如
●
共同性质
（要多近有多近）
⑤、⑥ 无此性质
●
数列极限的定义
●
注
●
逻辑形式
若数列不收敛，则称该数列发散 ●
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x
n
k
a.
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例如
证明：数列
是发散的.
思考与练习 1. 如何判断极限不存在?
找两个收敛于不同极限的子数列.
作业 P30 3 (2) , (3) , 4 , 6 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
●
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
因此 , 取
亦即 n 1 ln .
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn
0, 故
lim
n
xn
a
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2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
(1
1 a1 )(1
ak
)
存在
“拆项相消” 法
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3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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子数列
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
ln q
N 1 ln , 则当 n > N 时, 就有
ln q
qn1 0
故 lim qn1 0
n
证明
●
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数列极限的运算（证略）
求下列极限
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限是唯一的 (证略）
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2. 收敛数列一定有界.
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
● 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束