垂径定理第一课时1

24.1.2 垂直于弦的直径
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB （1） AE=BE吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
7.2m
B
A
D
37.4m
方程思想
O
课堂小结
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴。
2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对
的两条弧。
3.在计算题中，垂径定理经 常结合勾股定理一起使用。
rO ad
A 2C B
4Baidu Nhomakorabea在计算过程中，要结
合方程思想解题.
r2 =d2 +
B
4.如图, 将小圆去掉,
O
已知:AC=BD
求证:△OCD是等腰三角形 A C E D B
例3:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D
E C
O
B
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
它的赵主州桥桥是坐圆落弧在形河,它北的省跨赵度县(弧。所建对于的隋 弦代已的，有长由约)著1为3名0307匠年.4师m的,李历拱春史高设。(弧计是的和当中建今点造世到，界弦距现的今存 距最离早)、为跨7.径2m最. 大、保存最完善的单孔敞 肩型石拱桥。被誉为天下第一桥。
C
·O
E
A
B
D
C
·O
E
A
B
D
CD⊥AB CD是直径 垂直于弦的直径
AE=BE 平分弦
⌒⌒ AC = BC 平分弦所对的
⌒⌒ AD = BD
两条弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
（3）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ )
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
判断下列图形那些符合垂径定理？
C
C
B
O
O
O
O
D
A D
BA D
BC A
A
B
D
C
不符合 不符合
符合 符合
C
C
AC B O
E
O
A
B
O
ADB
D
符合
符合
符合
例1. 如图,已知AB是⊙O的弦, OC⊥AB于C, 且AB=8, OC=3,求⊙O的半径。
O
练习：
ACB
1.⊙O的半径为8，OC⊥弦AB于C，且OC=6，求 弦长AB. 2.⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
3.如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC
互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
O
r
a
d
a
2
r2 =d2 + 2
A
2
C
B
小结：①作“弦心距”是很重要的一条辅助线， 它可以和垂径定理相联系。
②圆的半径,弦的一半及弦心距可构成直角三角 形。因此只要知道圆中半径(或直径),弦,弦心距 中任意两个量，就可以求出第三个量。
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
拱高 跨度
赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
主桥拱半径
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
赵州桥的主桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗? C
如果把（2），（3）互换呢？
命题:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
C
.O
E B
D
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且
平分弦所对的两条弧.
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 两条弧……………………………………( × )
a 2
2
思考: 已知：在半径为5㎝的⊙O中， 两条平行弦AB,CD分别长8㎝， 6㎝.求两条平行弦间的距离.
1.以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径 AB交小圆C,D两点,问（1）AC与BD相等吗?
AC O D B
O A CED B
第1题图
第2题图
（2）若将直径向下移动,变为非直径的弦AB, 交小圆于C,D两点,是否仍有AC=BD呢?
3.如图, 将大圆去掉，
O
已知： OA=OB
求证： AC=BD
A C ED