高斯光束
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r2 r2 A0 A0 E ( x , y ,0 ) exp 2 exp ik (0 0) i 0 exp 2 W0 W0 W0 W0
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
图-2-5
在 r = ∝时，高斯光束的全部光强P（∝）
2r 2 A02 P() k 2 o exp W 2 ( z ) 2r.dr W ( z)
设 N ( P) P( ) P ( )
k k
p
o
o
2r 2 exp 2 2r.dr 2 2 W ( z ) 1 exp 2 （2 8） 2 2r W ( z) exp 2 2r.dr W ( z )
图2-7
例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所
在位置Z（λ=0.6328×10-3mm） 2W02 2 0.52 Rmin 2482 .3mm 3 0.6328 10 2482 .3 1241mm 波阵面所在位置为 z
2
图2-8
dW ( z ) 2 z 2 4 W0 Z 2 2 即 dz W0
1 2
2 1 W0 2W04
z2
讨论：
2
1．当Z=0时，θ=0（即在束腰处，发散角为0平面波）
W02 2．当 Z （等于共焦参数）时 2 （2 12） 2W0 2W0 3．当 Z=∝时： W0
A0 则 E ( x, y, z ) exp[ ikz] ，与平面波矢量 E ( x, y, z ) A0 exp[ ikz]， z
有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳 光）： 即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那 么激光究竟是一种什么光呢？
场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。
dR( z ) F2 令 1 2 0 ，得：Z=±F dz z 即在Z=±F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为：
R ( z ) min 2 F z F时 （2 10） R ( z ) min 2 F z F时 2W02 ，共焦参数的由来可由图2-6解释： 即 R( z ) min 2 F 2 F 共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在 F2 R ( z ) min z z
等效于 0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远 场发散角为:
W02 3．通常将 0 Z 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
当ρ（通光孔径）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W （z），3W（z），∝时，N（ρ）值如下表：
ρ N（ρ ） W（z） 0.864 1.5W（z） 2W（z） 0.988 0.997 2.5W（z） ∝ 0.99999 1
即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能
量为全部能量的99.999%。 例：若激光输出的单脉冲能量为5mw，脉宽=5ns则瞬时功率 为1×106 瓦（兆瓦），当ρ=W（z）时损失能量为1×106× （1-0.864%）=1630瓦。
0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
对平凹稳定腔而言
（2-7）
基膜发散角亦可表示为θ0=F（W0）（以后再讲） 结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数 WO，可求光束参数W（z），R（z）。 下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=∝间的变化 规律。
其中：r=（x2+y2+z2）1/2为点光源到光矢量传播方向上任一点P （x,y,z）的距离——球面半径。 均匀球面波的特点： 1．振幅相等的面（即等幅面）为：半经相等的球面
2．位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面
3．光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。
作为 特例：当z>>x,y，即相距点光源很远的很小球面内，r≈Z
的值均为∝（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）
四、R（z）min：
W02 令F （共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh） W 2 2 F 2 F2 0 R( z ) z 1 则 z z 1 z z z （2 9）
2来自百度文库
特点：光斑半径非线性可变。
1/ 2
（2 4）
W 2 （2）在Z 点处的波阵面半径： R( z ) z 1 0 z
2
特点：波阵面半径非线性可变。
（2 5 ）
（二）膜参数W0：
以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）→膜参数
束不是均匀平面波。
二、均匀球面波 考查由原点（x=y=z=0）向自由空间辐射的球面波矢量为：
A0 E ( x, y , z ) 2 exp[ ik ( x 2 y 2 z 2 )1 / 2 ] ( x y 2 z 2 )1 / 2 （2 2） A0 exp[ ikr] r
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量 振幅为：
A0 r2 E exp 2 W ( z) W ( z)
而其光强ρ∝E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为：
第二章 高斯光束
§2-1 基模高斯光束
一、均匀平面波
如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：
E ( x, y, z ) A0 exp[ ikz]
其中：
（2 1 ）
K
2n
为波数，n为介质折射率（在空气中n≈1）
A0— 振幅
均匀平面波的特点：因为振幅A0 与（x, y, z）均无关（即为常 数），且位相仅与Z有关：
对稳定球面腔：
通用公式：
l ( R1 l )( R2 l )( R1 R2 l ) W04 ( R1 R2 2l ) 2
2
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝ 1/ 4 代入上式 2 2
W0 2 ( Rl l ) （2 6）
* 结论：
激光束通过透镜变换时，为保证充分利用能量，则
其透镜半径一般取该理论计算光斑的2~2.5倍。此结论在弱信 号检测中尤为重要，在光盘系统中，孔径还与焦深、光斑的大 小有关。 三、Z=∝时的波阵面半径： W 2 2 lin R( z ) linz1 0 z z z 上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中 心在束腰处。 可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=∝处，R（z）
（六）远场发散角 从
z W ( z ) W0 1 W 2 0
2 1/ 2
可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光 束是发散的，现在讨论其特性。 定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径 的变化率
§2-2 高斯光束的特性
一、在束腰处（即Z=0处） 1．波阵面半径R（z） W 2 2 W 2 2 1 lin R( z ) lin z 1 0 lin z 0 z 0 z 0 z z 0 z 即R（z）=R0=∝，（z=0处，R0→∝）在z=0处，波阵面
2 A0 r 2r 2 A0 P kE k exp 2 k 2 exp 2 W ( z) W ( z ) W ( z) W ( z ) 2 2 2
在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
2r 2 A02 p( ) k 2 exp 2 2r.dr W ( z) o W ( z )
即，已知激光器腔参数R、l可求得膜参数W0 例，设λ=0.6328×10-3mm，R=500 mm，l=250 mm， 1/ 4 3 2 (0.6328 10 ) 2 (500 250 250 ) 0.224 mm 则 W0 2
* 基模发散角（远场发散角）——半角
此点，波阵面半径最小，具有两对称点（相对束腰）互为其波 面球心。
图2-6
（五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R（z）随传播距离Z变化
的规律：
1．在Z=0（即束腰处），R（z）=∝，即波阵面为平面波
2．在Z>0时，R（z）由∝逐渐变小
3．在Z=F时，R（z）有极小值：。 4．在Z>F时，R（z）逐渐变大。 5．Z→∝时，R（z）→∝，变为平面波。
图2-2
三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量
沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳
定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：
(x2 y 2 ) A0 x2 y2 E ( x, y , z ) exp exp i k ( z ) ( z ) 2 W ( z) 2 R( z ) W ( z) （2 3 ）
图2-1
1．在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光
强是相等的； 2．在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空 气损耗）； 3．距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向 的平面。 但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进 行多次反射后所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故 在光束截面上，边缘部分的光强必将比中心部分较弱，故激光
为平面波。
2．初位相 (z )
( z ) arctg
3．光斑半径：
W (o) Lin
z 0
z 0 ，即初位相为零 2 W0
1/ 2
即：光斑半径等于束腰半径
z 2 W0 1 W 2 0
W0
4．横截面光强分布： 在束腰处（即z=0）基尔霍夫公式变为：
结论： 1．在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为
一等相面（与平面波波阵面一致）。
2．振幅部分为一指数函数（高斯函数） 高斯光束的由来。
3．在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大
小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的
1 1 （或强度的 2）时的r值为高斯光束的半径。 e e
其中，A0—原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1） （一）光束参数：W（z），R（z）： 在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的 特征参数。
即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径：
z （1）在Z点处的光斑半径： W ( z ) W0 1 2 W0
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
图-2-5
在 r = ∝时，高斯光束的全部光强P（∝）
2r 2 A02 P() k 2 o exp W 2 ( z ) 2r.dr W ( z)
设 N ( P) P( ) P ( )
k k
p
o
o
2r 2 exp 2 2r.dr 2 2 W ( z ) 1 exp 2 （2 8） 2 2r W ( z) exp 2 2r.dr W ( z )
图2-7
例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所
在位置Z（λ=0.6328×10-3mm） 2W02 2 0.52 Rmin 2482 .3mm 3 0.6328 10 2482 .3 1241mm 波阵面所在位置为 z
2
图2-8
dW ( z ) 2 z 2 4 W0 Z 2 2 即 dz W0
1 2
2 1 W0 2W04
z2
讨论：
2
1．当Z=0时，θ=0（即在束腰处，发散角为0平面波）
W02 2．当 Z （等于共焦参数）时 2 （2 12） 2W0 2W0 3．当 Z=∝时： W0
A0 则 E ( x, y, z ) exp[ ikz] ，与平面波矢量 E ( x, y, z ) A0 exp[ ikz]， z
有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳 光）： 即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那 么激光究竟是一种什么光呢？
场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。
dR( z ) F2 令 1 2 0 ，得：Z=±F dz z 即在Z=±F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为：
R ( z ) min 2 F z F时 （2 10） R ( z ) min 2 F z F时 2W02 ，共焦参数的由来可由图2-6解释： 即 R( z ) min 2 F 2 F 共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在 F2 R ( z ) min z z
等效于 0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远 场发散角为:
W02 3．通常将 0 Z 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
当ρ（通光孔径）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W （z），3W（z），∝时，N（ρ）值如下表：
ρ N（ρ ） W（z） 0.864 1.5W（z） 2W（z） 0.988 0.997 2.5W（z） ∝ 0.99999 1
即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能
量为全部能量的99.999%。 例：若激光输出的单脉冲能量为5mw，脉宽=5ns则瞬时功率 为1×106 瓦（兆瓦），当ρ=W（z）时损失能量为1×106× （1-0.864%）=1630瓦。
0 2 ( Rl l 2 )
2 1/ 4
对平凹稳定腔而言
（2-7）
基膜发散角亦可表示为θ0=F（W0）（以后再讲） 结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数 WO，可求光束参数W（z），R（z）。 下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=∝间的变化 规律。
其中：r=（x2+y2+z2）1/2为点光源到光矢量传播方向上任一点P （x,y,z）的距离——球面半径。 均匀球面波的特点： 1．振幅相等的面（即等幅面）为：半经相等的球面
2．位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面
3．光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。
作为 特例：当z>>x,y，即相距点光源很远的很小球面内，r≈Z
的值均为∝（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）
四、R（z）min：
W02 令F （共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh） W 2 2 F 2 F2 0 R( z ) z 1 则 z z 1 z z z （2 9）
2来自百度文库
特点：光斑半径非线性可变。
1/ 2
（2 4）
W 2 （2）在Z 点处的波阵面半径： R( z ) z 1 0 z
2
特点：波阵面半径非线性可变。
（2 5 ）
（二）膜参数W0：
以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）→膜参数
束不是均匀平面波。
二、均匀球面波 考查由原点（x=y=z=0）向自由空间辐射的球面波矢量为：
A0 E ( x, y , z ) 2 exp[ ik ( x 2 y 2 z 2 )1 / 2 ] ( x y 2 z 2 )1 / 2 （2 2） A0 exp[ ikr] r
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量 振幅为：
A0 r2 E exp 2 W ( z) W ( z)
而其光强ρ∝E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为：
第二章 高斯光束
§2-1 基模高斯光束
一、均匀平面波
如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：
E ( x, y, z ) A0 exp[ ikz]
其中：
（2 1 ）
K
2n
为波数，n为介质折射率（在空气中n≈1）
A0— 振幅
均匀平面波的特点：因为振幅A0 与（x, y, z）均无关（即为常 数），且位相仅与Z有关：
对稳定球面腔：
通用公式：
l ( R1 l )( R2 l )( R1 R2 l ) W04 ( R1 R2 2l ) 2
2
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝ 1/ 4 代入上式 2 2
W0 2 ( Rl l ) （2 6）
* 结论：
激光束通过透镜变换时，为保证充分利用能量，则
其透镜半径一般取该理论计算光斑的2~2.5倍。此结论在弱信 号检测中尤为重要，在光盘系统中，孔径还与焦深、光斑的大 小有关。 三、Z=∝时的波阵面半径： W 2 2 lin R( z ) linz1 0 z z z 上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中 心在束腰处。 可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=∝处，R（z）
（六）远场发散角 从
z W ( z ) W0 1 W 2 0
2 1/ 2
可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光 束是发散的，现在讨论其特性。 定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径 的变化率
§2-2 高斯光束的特性
一、在束腰处（即Z=0处） 1．波阵面半径R（z） W 2 2 W 2 2 1 lin R( z ) lin z 1 0 lin z 0 z 0 z 0 z z 0 z 即R（z）=R0=∝，（z=0处，R0→∝）在z=0处，波阵面
2 A0 r 2r 2 A0 P kE k exp 2 k 2 exp 2 W ( z) W ( z ) W ( z) W ( z ) 2 2 2
在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
2r 2 A02 p( ) k 2 exp 2 2r.dr W ( z) o W ( z )
即，已知激光器腔参数R、l可求得膜参数W0 例，设λ=0.6328×10-3mm，R=500 mm，l=250 mm， 1/ 4 3 2 (0.6328 10 ) 2 (500 250 250 ) 0.224 mm 则 W0 2
* 基模发散角（远场发散角）——半角
此点，波阵面半径最小，具有两对称点（相对束腰）互为其波 面球心。
图2-6
（五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R（z）随传播距离Z变化
的规律：
1．在Z=0（即束腰处），R（z）=∝，即波阵面为平面波
2．在Z>0时，R（z）由∝逐渐变小
3．在Z=F时，R（z）有极小值：。 4．在Z>F时，R（z）逐渐变大。 5．Z→∝时，R（z）→∝，变为平面波。
图2-2
三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量
沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳
定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：
(x2 y 2 ) A0 x2 y2 E ( x, y , z ) exp exp i k ( z ) ( z ) 2 W ( z) 2 R( z ) W ( z) （2 3 ）
图2-1
1．在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光
强是相等的； 2．在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空 气损耗）； 3．距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向 的平面。 但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进 行多次反射后所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故 在光束截面上，边缘部分的光强必将比中心部分较弱，故激光
为平面波。
2．初位相 (z )
( z ) arctg
3．光斑半径：
W (o) Lin
z 0
z 0 ，即初位相为零 2 W0
1/ 2
即：光斑半径等于束腰半径
z 2 W0 1 W 2 0
W0
4．横截面光强分布： 在束腰处（即z=0）基尔霍夫公式变为：
结论： 1．在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为
一等相面（与平面波波阵面一致）。
2．振幅部分为一指数函数（高斯函数） 高斯光束的由来。
3．在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大
小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的
1 1 （或强度的 2）时的r值为高斯光束的半径。 e e
其中，A0—原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1） （一）光束参数：W（z），R（z）： 在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的 特征参数。
即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径：
z （1）在Z点处的光斑半径： W ( z ) W0 1 2 W0