[VIP专享]数理经济学课后题第2章

第二章 习题答案

1．假设教材《数理经济学》的需求集为：，其中，为需求量{

}

6000|),(2

==q p q p D q （万册），为价格（元）。如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？p 解：2

2202060002121600015

13.61

p q p q q q ======当时，，得；当时，，得所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为，证明，其边际成本总是正的。

3

23151500)(q q q q C +-+=证明：因为边际成本函数，

()()2

2

C'156331120q q q q =-+=-+> 所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为

，求边际成本函数。

q q q q C +++=1201000)(

解：边际成本函数为()C'20q =++

4．设某一商品的需求函数为：

，其中：为需求量，为价格。若

18000

)(2+=

=p p q q D q p 价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？

解：22

8000

8000

997.568.5109.2291

8.51

p q p q =====

=++当时，；当时，

所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.

5．若某人的效用函数取下述形式：，其中：为总效用函

3

22121)3()2(),(++=x x x x u u 数，，为所消费商品的数量，要求计算：1x 2x （1）每一商品的边际效用函数；

（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。解：（1）商品1的边际效用函数：()()3

112223MU x x =++

商品2的边际效用函数：()()

2

2

212323MU x x =++ （2），123

x x ==当时()()3

1232332160

MU =++=6．假定某厂商的生产函数为：

，其中：及。证明：αα-=1),(L AK L K Q 0>A 10<<α劳动的边际产出是正的，且关于单调递减（固定时）。

L K

证明：劳动的边际产出 ()()11L Q Q

MP AK L L L

αααα-∂=

=-=-∂10,0,0

Q L α->>> 0

L MP ∴>()21210

Q

AK L L

αααα--∂=--<∂ 又L

L MP ∴关于单调递减7．对某一商品的如下需求集或需求函数

，计算需求弹性：D )(p q D

)(p ε（1）

，并确定为何值时，需求缺乏弹性？{}

100)1(|),(2

=+=p q p q D p （2）

，并确定为何值时，需求缺乏弹性？p p q D 470)(-=p （3）

，并确定为何值时，需求具有弹性？{}

200)2(|),(32=+=p q p q D p 解：（1）()

()22212221001211001qp

p dq p p p p q dp p p ε---⎡⎤=⋅=-+⋅=⎢⎥⎣⎦++ 2

2

2||1,011qp p p p

ε=<<<+则当即时，需求缺乏弹性 （2）44704704qp p dq p p q dp p p ε-=

⋅=⋅-=+- 470||=107048

qp p p p

ε<<<

-则当，即时，需求缺乏弹性 （3

）()3

332231323242qp

p dq

p p p q dp

p ε-⎤=⋅=-+⋅=-

⎥+⎦

2

3

3

3

3||=1242qp p p p

ε>>+则当，即时，需求具有弹性8．求证：若需求函数为

，其中与为正的常数，则当时，bp a p q D -=)(a b b a p 2/0<<需求是缺乏弹性的。

证明：，()D

q p a bp =-qp p dq bp

q dp a bq

ε-=

⋅=

-则

||1

12qp bp p a bq a

b

ε<<<<-时需求缺乏得0弹，性当，即问题得证。

9．令是1度的齐次函数，证明),(21x x f 0

112111≡+x f x f 证明：

()()12121212

,,f x x f f x x f x x x x ∂∂∴

+=∂∂ 是一次齐次函数

上式两边对x 1求偏导得：

2212

211121

f f f f x x x x x x x ∂∂∂∂++=∂∂∂∂1111220

f x f x ∴+=证毕。

10．某商品的供给函数为，其中：，，而是降雨量，

2

/12R P Q ++=βα0<α0>βR 求：供给的价格弹性及降雨量弹性

。

Qp

εQR

ε解：2

1

12

2

2

2

22QP

P dQ

P

P P Q dP

P R

P R

βεβαβαβ=⋅=⋅=

++++

1122

112

2

2

2

112

2

QR R dQ R

R

R Q dR

P R

P R

εαβαβ-=

⋅=⋅=

++++11．外国对我国出口的需求取决于外国的收入

及我国的价格水平，并有关系式成

X f

Y P 立：，求：外国对我国出口的需求相对于我国价格水平的偏弹性。

2

2

/1-+=P Y X f

解：231/22

1/2

2

22XP

f f P dX P P P X dP Y P Y P ε----=⋅=⋅-=-++12．证明下列函数是齐次函数，并证明欧拉定理成立。

(1)2

2

121),(x x x x f =(2)

222121),(x x x x x f +=(3)

)2()(),(22212121x x x x x x f -+=