曲线与方程 课件
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2.指出方程(2x+3y-5)( x 3 -1)=0表示的曲线是什么？
【解析】1.选A.选项A是表示直线l的方程，而B，C，D都不是 表示直线l的方程.选项B中，直线l上的点的坐标不全是方程的 解，如(－1，－1)等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程 的解”这一结论.选项C中，虽然“直线l上的点的坐标都是方程 的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上， 如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线 上”这一结论.选项D中，依照选项B，C的分析方式得出不符 合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点(－1， -1).故选A.
当Δ＝0，即－4a2－16a+48=0时，得a=－6或a=2，此时方
程组有一解；
当Δ>0，即－4a2－16a+48>0时，得－6<a<2，此时方程组
有两解；
当Δ<0，即－4a2－16a+48<0时，得a<－6或a>2，此时方 程组无实数解. 综上所述，当a=－6或a=2时有一个交点； 当－6<a<2时有两个交点； 当a<－6或a>2时无交点.
曲线与方程
曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__； (2)以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的__点__. 那么，这个方程就叫做曲线的方程；这条曲线就叫做方程的曲 线.
(2)判断点是否在曲线上，其实质就是判断点的坐标是否适合 曲线的方程. (3)判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线， 只要一一检验定义中的“两条性质”是否都满足，并作出相应 的回答即可.这是解决“曲线”与“方程”问题的关键.
【典例训练】 1.下列方程中哪一个表示的是如图所示的直线l( ) (A)x－y=0 (B) x－ y 0 (C)x2－y2=0 (D)|x|－y=0
【想一想】解答本题1，2的关键点和易错点是什么？ 提示：解答本题1，2的关键点是联立方程组，求出Δ；易错点 为解Δ的不等式时易求错.
1.曲线上点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解，能否说明曲线的 方程就是f(x,y)=0？ 提示：不能.因为曲线的方程与方程的曲线，必须同时满足两条， 而本题中只说明了曲线上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，有 可能方程的其余的解不在曲线上.
2.若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x0,y0)在曲线C上的充要 条件是什么？ 提示:充要条件是f(x0,y0)=0. 3.x2+y2=1(x>0)表示的曲线是________. 【解析】x2+y2=1(x>0)表示的是以(0,0)为圆心，以1为半径 的圆在y轴右侧的部分. 答案：以(0,0)为圆心，以1为半径的圆在y轴右侧的部分
曲线的方程与方程的曲线的概念
曲线的方程与方程的曲线两个条件的应用技巧 (1)若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上，则 f(x0,y0)=0；若f(x0,y0)≠0，则M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表 示的曲线C上.
(2)若f(x0,y0)=0，则M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C 上；若M(x0,y0)≠0.
2.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2 x ”的 ()
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】1.选C.C项是原命题的逆否命题，根据原命题与逆否
命题的关系，可知答案应选C.
2.选B.由已知条件“点M在曲线y2=4x上”不一定可以推出结 论“点M的坐标满足方程y=-x2 ”，如点(2,22 )满足在曲线 y2=4x上，但是不满足方程y=-2x ，由结论“点M的坐标满足 方程y=-2x ”可以推出条件“点M在曲线y2=4x上”，因此选 B.
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备 性),也就是说曲线上的所有点的坐标都是这个方程的解，并且 无一例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹 性),即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，二者相辅相成， 缺一不可.
(2)需要明确曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念.曲线 的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的 是数量关系所表示的图形，二者是一种对应关系，其实质是曲 线C的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0} 之间的一一对应.曲线的性质完全反映在它的方程上,方程的性 质又反映在它的曲线上.
【想一想】判定曲线的方程和方程的曲线的关键是什么？ 提示： 在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可， 是不可分割的整体.解答这类问题不要被问题的表面现象所迷惑， 应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别.
曲线与方程的判定问题
曲线与方程的判定技巧 (1)若方程f(x,y)=0无实数解，则与之对应的曲线是不存在的. 反之曲线不存在，则方程f(x,y)=0无实数解.
曲线的交点
求曲线交点的“三步曲” (1)联立方程组：把两条曲线的方程构成方程组. (2)求解方程组. (3)确定交点个数：根据方程组解的个数确定两曲线交点个数.
【典例训练】
1．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则实数m的
取值范围是________．
2.已知直线l:x－y=a及曲线x2+y2－4y－4=0，当a取何值时，分
【典例训练】 1.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，那么( ) (A)曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0 (B) 凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上 (C)不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x,y)=0 (D)不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x,y)=0，有些不适合 f(x,y)=0
别有一个交点，两个交点，无交点？
【解析】1.由
y＝x2－x得＋x22，－2x＋2－m＝0，由题意 y＝x＋m，
知，4－4(2－m)>0，∴m>1.
答案：m>1
2.由
x x
y 2 y2
a， 消去x，得
4y 4 0
2y2+(2a－4)y+a2－4=0，则
Δ=(2a－4)2－8(a2－4)=－4a2－16a+48.
2.因为(2x+3y-5)( x -31)=0，所以可得
2x 3y 5 0 x 3 0
或者 x -13=0，也就是2x+3y-5=0(x≥3)或者x=4，故方程
表示的曲线为一条射线2x+3y-5=0(x≥3)和一条直线x=4.
【思考】如何判断曲线C的方程是f(x,y)=0?又怎么求方程的曲 线？ 提示：(1)判定曲线C的方程是否为f(x,y)=0,需从以下两个方 面加以判断： ①曲线上点的坐标是否满足方程; ②判断以方程的解为坐标的点是否在曲线上. (2)求方程的曲线，只需看方程的解有何特点，将方程的解在 平面直角坐标系中标出，即可获知其轨迹.
【解析】1.选A.选项A是表示直线l的方程，而B，C，D都不是 表示直线l的方程.选项B中，直线l上的点的坐标不全是方程的 解，如(－1，－1)等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程 的解”这一结论.选项C中，虽然“直线l上的点的坐标都是方程 的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上， 如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线 上”这一结论.选项D中，依照选项B，C的分析方式得出不符 合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点(－1， -1).故选A.
当Δ＝0，即－4a2－16a+48=0时，得a=－6或a=2，此时方
程组有一解；
当Δ>0，即－4a2－16a+48>0时，得－6<a<2，此时方程组
有两解；
当Δ<0，即－4a2－16a+48<0时，得a<－6或a>2，此时方 程组无实数解. 综上所述，当a=－6或a=2时有一个交点； 当－6<a<2时有两个交点； 当a<－6或a>2时无交点.
曲线与方程
曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__； (2)以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的__点__. 那么，这个方程就叫做曲线的方程；这条曲线就叫做方程的曲 线.
(2)判断点是否在曲线上，其实质就是判断点的坐标是否适合 曲线的方程. (3)判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线， 只要一一检验定义中的“两条性质”是否都满足，并作出相应 的回答即可.这是解决“曲线”与“方程”问题的关键.
【典例训练】 1.下列方程中哪一个表示的是如图所示的直线l( ) (A)x－y=0 (B) x－ y 0 (C)x2－y2=0 (D)|x|－y=0
【想一想】解答本题1，2的关键点和易错点是什么？ 提示：解答本题1，2的关键点是联立方程组，求出Δ；易错点 为解Δ的不等式时易求错.
1.曲线上点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解，能否说明曲线的 方程就是f(x,y)=0？ 提示：不能.因为曲线的方程与方程的曲线，必须同时满足两条， 而本题中只说明了曲线上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，有 可能方程的其余的解不在曲线上.
2.若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x0,y0)在曲线C上的充要 条件是什么？ 提示:充要条件是f(x0,y0)=0. 3.x2+y2=1(x>0)表示的曲线是________. 【解析】x2+y2=1(x>0)表示的是以(0,0)为圆心，以1为半径 的圆在y轴右侧的部分. 答案：以(0,0)为圆心，以1为半径的圆在y轴右侧的部分
曲线的方程与方程的曲线的概念
曲线的方程与方程的曲线两个条件的应用技巧 (1)若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上，则 f(x0,y0)=0；若f(x0,y0)≠0，则M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表 示的曲线C上.
(2)若f(x0,y0)=0，则M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C 上；若M(x0,y0)≠0.
2.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2 x ”的 ()
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】1.选C.C项是原命题的逆否命题，根据原命题与逆否
命题的关系，可知答案应选C.
2.选B.由已知条件“点M在曲线y2=4x上”不一定可以推出结 论“点M的坐标满足方程y=-x2 ”，如点(2,22 )满足在曲线 y2=4x上，但是不满足方程y=-2x ，由结论“点M的坐标满足 方程y=-2x ”可以推出条件“点M在曲线y2=4x上”，因此选 B.
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备 性),也就是说曲线上的所有点的坐标都是这个方程的解，并且 无一例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹 性),即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，二者相辅相成， 缺一不可.
(2)需要明确曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念.曲线 的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的 是数量关系所表示的图形，二者是一种对应关系，其实质是曲 线C的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0} 之间的一一对应.曲线的性质完全反映在它的方程上,方程的性 质又反映在它的曲线上.
【想一想】判定曲线的方程和方程的曲线的关键是什么？ 提示： 在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可， 是不可分割的整体.解答这类问题不要被问题的表面现象所迷惑， 应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别.
曲线与方程的判定问题
曲线与方程的判定技巧 (1)若方程f(x,y)=0无实数解，则与之对应的曲线是不存在的. 反之曲线不存在，则方程f(x,y)=0无实数解.
曲线的交点
求曲线交点的“三步曲” (1)联立方程组：把两条曲线的方程构成方程组. (2)求解方程组. (3)确定交点个数：根据方程组解的个数确定两曲线交点个数.
【典例训练】
1．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则实数m的
取值范围是________．
2.已知直线l:x－y=a及曲线x2+y2－4y－4=0，当a取何值时，分
【典例训练】 1.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，那么( ) (A)曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0 (B) 凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上 (C)不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x,y)=0 (D)不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x,y)=0，有些不适合 f(x,y)=0
别有一个交点，两个交点，无交点？
【解析】1.由
y＝x2－x得＋x22，－2x＋2－m＝0，由题意 y＝x＋m，
知，4－4(2－m)>0，∴m>1.
答案：m>1
2.由
x x
y 2 y2
a， 消去x，得
4y 4 0
2y2+(2a－4)y+a2－4=0，则
Δ=(2a－4)2－8(a2－4)=－4a2－16a+48.
2.因为(2x+3y-5)( x -31)=0，所以可得
2x 3y 5 0 x 3 0
或者 x -13=0，也就是2x+3y-5=0(x≥3)或者x=4，故方程
表示的曲线为一条射线2x+3y-5=0(x≥3)和一条直线x=4.
【思考】如何判断曲线C的方程是f(x,y)=0?又怎么求方程的曲 线？ 提示：(1)判定曲线C的方程是否为f(x,y)=0,需从以下两个方 面加以判断： ①曲线上点的坐标是否满足方程; ②判断以方程的解为坐标的点是否在曲线上. (2)求方程的曲线，只需看方程的解有何特点，将方程的解在 平面直角坐标系中标出，即可获知其轨迹.