随机变量的数字特征

EX 2 2EX 2 EX 2 EX 2 EX 2.
方差的性质： （1）D(C) 0;
（2）DX C D(X );
（3）DCX C2DX ;
x,
例3.6 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) 2 x,
0,
0 x 1 1 x 2 . otherwise
求 X 的方差D(X ).
Y 8 9 10 pk 0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高?
二、连续型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量 X 的概率分布为：
PX
xi
pi
,
i 1, 2,
,
若 xi pi ，则称 xi pi 为随机变量 X 的数学期望或均值。
i 1
离 散 i1
连续
概率 pi
密度函数 f (x)
D(X ) 求 E(Y ), D(Y ).
解
E(Y
)
E
X EX D(X )
1 E X EX 0.
D(X )
D(Y )
D
X EX D(X )
1 D( X
)
D
X
EX
1 D( X
)
D
X
1.
称 Y 为 X 的标准化 ，它是一个无量纲的随机变量，将原
分布中心 E(X )移至原点，且方差为1个单位。
有必要找一个量，能够度量随机变量 X 相对于EX的偏离程度。
什么量，能够度量随机变量 X 相对于 EX 的偏离程度？
X EX ?
不能！ X EX 是随机变量
E(X EX)?
不能！ E(X EX) EX EX 0.
（正负偏差相互抵消）
E X EX ?
EX EX 2
不便于计算！
定义 设随机变量 X 的数学期望为 EX，则称 EX EX 2 为随
e
k 1
(k
1)!
k
k 11
e
k 0
e
k!
k
k 1
e
(k 1)!
k
k2 (k 2)!
k1 (k 1)!
0
1
2
1 x3dx+ 2 (2x2 x3)dx= 7 .
0
1
6
四、数学期望的性质
（1）若 a X b，则 a EX b ，特别地 EC C.
（2） EaX aEX .
（3）E X a EX a. （4）E aX b aEX b.
第二节 随机变量的方差
对随机变量 X ，知道了它的数学期望 EX ，虽然对该随机变
5. 几何分布：随机变量 X 的概率分布为
P X =k 1 p k1 p, k 1, 2, ,
k 1
kxk 1
1 (1 x)2
,
x 1
E X
k 1
k 1
p k1
p
p k 1
k 1
p k1
p
1 p2
1. p
E
X2
k2
k 1
1
p
k 1
p
p k2
k 1
1
p
k 1
p
2
p3
p
n
(k 1)
n!
n
pkqnk
n!
pk qnk
i 1
(k 1)!(n k)!
i1 (k 1)!(n k)!
n
n(n 1) p2 (n 2)!
p q k 2 (n2)(k 2) np
i2 (k 2)! (n 2) (k 2) !
n(n 1) p2 np.
DX E X 2 EX 2 n(n 1) p2 np np2 npq.
利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件
产品获得的期望利润是多少？ 解：
设X表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，
其概率分布为
X 2 1 1
pk 0.5 0.4 0.1
假二解设等：工品厂n2一件共，生次产品了n3N件件产品，其中一等品 n1件， 这N 件产品获得的平均利润为
2 n1 1 n2 (1) n3
（1）设
X 为离散型随机变量，概率分布为
PX
xi
pi ,i
1, 2,
,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则 Eg(X ) 存在，且
i 1
E g( X )= g(xi ) pi.
i 1
（2）设 X为连续型随机变量，密度函数为 f (x) ，若
g(x)
f
(x)dx
绝对收敛，则
Eg(X )
存在，且
量有了一定的了解，但还不够！ 例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿
命为1000小时，即 EX 1000 ，但不能完全肯定质量的好坏！
有可能产品的寿命均集中在950~1050小时！ 质量稳定！ 有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集
中在1300小时！ 质量相对不稳定！
i 1
i1
值，记为 EX ，即 EX xi pi.
i 1
注：
E度X 量了随机变量 取X 值的加权平均！
pi (i 1,为2, 权)重！
第一节 随机变量的数学期望
例 甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击
中的环数。他们命中环数的分布律分别为
X 8 9 10 pk 0.1 0.3 0.6
例3.8 对随机变量 X ，设 D(X ) 存在 ，令 l(C) E X C ，2 证明
当 C E(X ) 时， l(C) 达到最小值，且最小值为 D X .
证 l(C) E X C2 E X EX EX C 2
E
X
EX
2
2
X
EX
EX
C
EX
C 2
E
X
EX
2
E
2
求 X 的数学期望 EX 。
解 由连续型随机变量数学期望的定义，有
EX xf (x)dx
0
1
2
x 0dx+ x xdx+ x (2 x)dx x 0dx
0
1
2
1 x2dx+ 2 (2x x2 )dx 1.
0
1
三、随机变量函数的数学期望
定理 设 X 为随机变量，y g(x)为实函数，
机变量 X 的方差，记为 D(X ) ，或 Var(X ) ，并称 D(X )
为 X 的标准差。
方差的计算：
考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：g( X ) X EX 2，因此
若 X 为离散型随机变量，概率分布为 pi PX xi , i 1,2, ，则
D( X ) EX EX 2 xi EX 2 pi. i 1
在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概 率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但 在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另 一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数， 而只需知道该随机变量的某些特征。
例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析， 一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平 均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了 这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学 生成绩这一随机变量的特征。
k0 k!(n k)!
n i 1
(k
n! 1)!(n k)!
p
k
q
nk
np
n
i1
(k 1)!
(n 1)! (n 1) (k 1)
p q k 1 (n1)(k 1) !
np p q n1 np.
E
X2
n i0
k 2 Cnk pk qnk
n i 1
k
n!
pk qnk
(k 1)!(n k)!
若 X 为连续型随机变量，概率密度函数为 f (x) ，则
D(X ) EX EX 2
x
EX
2
f
( x)dx.
在很多场合，计算方差经常用到如下公式：
D( X ) E X 2 EX 2.
D(X ) EX EX 2 E X 2 2XEX EX 2 EX 2 E 2XEX E EX 2
,
k 0,1,
, min n, M .
EXnM ,
N
D(X )
nM (N M )(N N 2 (N 1)
n) .
（证明略）
7. 泊松分布：随机变量 X 的概率分布为 P X k k e , k 0,1, ,
k!
E
X
k
k
e
e
k1 ee ,
E
X2
k 0
k
2
k!
k
解 由例3.3的结果， E(X ) 1.
E X 2 x2 f (x)dx
0 x2 0dx 1 x2 xdx 2 x2 (2 x)dx x2 0dx 7 .
0
1
2
6
D(X ) E X 2 EX 2 1 .
6
例3.7 对任意随机变量 X ，设D(X ) 0 ，令 Y X EX ，
X
EX
EX
C
E
EX
C 2
D(X ) EX C2
因此当 C E(X ) 时， l(C) 达到最小值，且最小值为 D X .
第三节 常用分布的数学期望和方差
一、常用离散型分布的数学期望和方差
1. 退化分布：离散型随机变量 X 只取常数 c ，即P X c 1 ，
因此
E(X ) c 1 c, D(X )=E X EX 2 E c c2 0.
E g(X )
+
g(x) f (x)dx.
-
为求 Y g(的X数) 学期望，可以不必通过求 的概Y率分布（离散）或密度函数 （连续），而只需直接利用 的概X率分布或密度函数。
例3.4 设随机变量 X 的概率分布为
X
0 12
求E X EX 2 .
P 0.1 0.6 0.3
解 EX =00.1+10.6+20.3=1.2，
2
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p2
p
,
D(X ) E
X2
EX 2
2 p p2
1 p2
q p2
.
6. 超几何分布：
k 2 xk 1
1+x
,
k 1
(1 x)3
x 1
随机变量 X 的概率分布为
P
X k
C C k nk M NM CNn
,
k 0,1,
, min n, M .
P
X k
C C k nk M NM CNn
xi2
n i 1
xi
2
.
4. 二项分布： X ~ b(n, p)，即离散型随机变量 X 的概率分布为
P X k Cnk pkqnk , k 0,1, , n,
P X k Cnk pkqnk , k 0,1, , n,
则
EX
n
k Cnk pk qnk
k 0
n
k
n! pk qnk
N
或者写为 2 n1 1 n2 (1) n3
NN
N
n1 、n2 、n3 分别为N 件产品中一等品、二等品、
NNN
次品出现的频率
而在大量重复试验下当N无限增大时，频率的稳
定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋 近于
2 p1 1 p2 (1) p3
2 0.5 1 0.4 (1) 0.1 1.3
2. 0-1分布：离散型随机变量 X 的概率分布为
P X 1 p, P X 0 1 p q,
因此 E(X ) 1 p 0 q p, E( X 2 ) 12 p 02 q p,
D(X ) E(X 2) EX 2 p p2 pq.
3. n 个点上的均匀分布：离散型随机变量 X 的概率分布为
用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。 常用的数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方 差、相关系数。
第一节 随机变量的数学期望
例1 某工厂生产一批产品，一等品占50%，二等
品占40%，次品占10%。如果生产一件次品，工
厂要损失 1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元
钱的利润，生产一件二等品，工厂获得 1 元钱的
定义 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) , 若
+
xf (x)dx
绝对收
-
敛，则 称
+
xf
-
( x)dx
为随机变量
X
的数学期望或均值，记为
+
EX xf (x)dx. -
例3.3 设随机变量 X 的密度函数为
x, 0 x 1
f (x) 2 x, 1 x 2 .
0,
otherwise
或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每 件产品获得1.3元的利润。
数值1.3称为随机变量X的数学期望或均值。
第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量 X 的概率分布为：
P X xi pi ,
i 1, 2,
,
若 xi pi 绝对收敛，则称 xi pi 为随机变量 X 的数学期望或均
因此
PX
xi
1 n
,
i 1, 2,
, n.
E(
X
)
x1
1 n
x2
1 n
xn
1 n
1 n
n i 1
xi ,
E(
X
2
)
x12
1 n
x22
1 n
xn2
1 n
1 n
n i 1
xi2 ,
D(X ) E(X 2)
EX
2
1 n
n i 1
xi2
1 n
n i 1
xi
2
=
1 n2
n n i1
E X EX 2 =(0 1.2)2 0.1+(11.2)2 0.6+(2 1.2)2 0.3=0.36.
例3.5 对例3.3中的随机变量 X ，求 EX 2.
解 EX 2 =
x2 f (x)dx
x, f (x) 2 x,
0,
0 x1 1 x2 . otherwise
0 x2 0dx+ 1 x2 xdx+ 2 x2 (2 x)dx x2 0dx