我国人口数的逻辑斯蒂增长模型

ｅ４αβ＝ ６．０２（β－ ５．４９） ５．４９（β－ ６．０２）
究”课题组的研究报告中关于到 ２０１０ 年 （ ５）
我 国 人 口 将 约 在 １３．６—１３．８ 之 间 的 估
ｅ８αβ＝ ６．５７（β－ ５．４９）
（６）
５．４９（β－ ６．５７）
由（ ５） ， （ ６） 可得：
［ ６．０２（β－ ５．４９） ］２＝ ６．５７（β－ ５．４９） ５．４９（β－ ６．０２） ５．４９（β－ ６．５７）
增长一样， 是有限度的。一个国家或较大
地区人口的增长， 往往可以看成是独立
进行的， 与别的地区无关。因此， 我们以
与外界隔绝为条件， 进行下面的讨论。
设某地区在时间 ｔ 的 人 口 数 为 Ｎ＝Ｎ
（ ｔ） ， 这 个 地 区 的 出 生 率 为 Ａ， 死 亡 率 为
Ｂ，经 过 时 间 Δｔ，在 这 段 时 间 内 出 生 的 人
αβｔ＝ｌｎＮ－ ｌｎ（β－ Ｎ）＋ｌｎＣ
则： αβｔ＝ｌｎ ＣＮ β－ Ｎ
所以：
表１
ｅαβｔ＝Ｃ ＣＮ
（ ３）
β－ Ｎ
当 ｔ＝０ 时， Ｎ＝Ｎ０， 代入（ ３） 有：
年份 １９４９ １９５３ １９５７ １９６４ １９７８ １９８２ １９９０ ２０００ 人口数 ５．４９ ６．０２ ６．５７ ７．２３ ９．７５ １０．３２ １１．６０ １２．９５ 其中 １９５３ 年、１９６４ 年、１９８２ 年、１９９０ 年、２０００ 年为全国人 口普查的结果。
Ｃ＝ β－ Ｎ０ Ｎ０
所以： ｅαβｔ＝ Ｎ（β－ Ｎ０）
Ｎ０（β－ Ｎ） 整理后得到：
数为：
Ｎ＝
１６．２８
≈９．５８
１＋ １６．２８－ ５．４９ ｅ－ １．０３３２７
５．４９
与实际 ９．７５ 亿的相对误差为 １．７％， 计算
结果还算比较准确。
Ｎ＝
β
（ ４）
１＋ β－ Ｎ０ ｅ－ αβｔ
Ｎ０
这就是人口数的逻辑斯蒂增长模
ＴＪ ＹＪ Ｃ
ＺＨＩＳＨＩＣＯ知 ＮＧＬ识ＩＮ丛林
２００７ 年 第 ４ 期（ 总 第 ２３５ 期 ）
我国人口数的 逻辑斯蒂增长模型
■张有绪 陈 伟
一 、人 口 数 的 逻 辑 斯 蒂 增 长 模 型
我们知道， 在环境资源受限制的情
况下， 生物种群的增长通常呈逻辑斯蒂
增长。而人类人口的增长与生物种群的
整理后得： １７１１β２－ ２７８４９β＝０
解 这 个 方 程 并 舍 去 β＝０ 的 情 况 ， 得
计， 以及我国人口高峰期将出现在 ２０３５—２０４８ 年间， 峰值约为 １５．５ 亿 ， 不 会 低 于 １４．５ 亿 也 不 会 超 过 １６ 亿 是 相 吻 合的。
（ 作者单位／ 东北财经大学， 辽东学院） （ 责任编辑 ／李友平）
况 ， 需 要 确 定 （ ４） 式 中 的 Ｎ０， β和 αβ以 得到计算我国人口数的逻辑斯蒂增长模
Ｎ１＝
１＋
１６．２８ １６．２８－ １２．９５
ｅ－ ０．３５６３
≈１３．７９
１２．９５
Ｎ２＝
１＋
１６．２８ １６．２８－ １２．９５
ｅ－ １．７８１５
≈１５．６０
１２．９５
从计算来看， 到本世纪中叶按现行
这 显 然 不 符 合 实 际 。由 于 受 到 环 境 资 源 ，
空间因素以及其他因素的限制， 人口数
的增加不可能是无限制的。一个地区的
出生率和死亡率也不是不变的。根据统
计数字我们可以假设它们都是人口数的
线性函数， 即：
Ａ＝ｍ－ ｎＮ（ｔ）， Ｂ＝ｐ＋ｑＮ（ｔ）
式 中 ｍ、ｎ、ｐ、ｑ 均 为 正 常 量 ， 由 此 方
现 在 我 们 来 预 测 一 下 ２０１０ 及 ２０５０ 年我国人口的自然增长数。我们以 ２０００ 年第五次全国人口普查的全国人口数为
型。
Ｎ０＝１２．９５， 分 别 有 ｔ１＝１０， ｔ２＝５０， 分 别 计 算
二、我国人口数的逻辑斯蒂增长模 得：
型 以下是我国自建国以来历年人口调
查的部分数字（ 见表 １） 。 为了计算我国人口自然增长的情
数为 ＡＮΔｔ， 死亡的人数为 ＢＮΔｔ， 总 人 数
的改变量为：
ΔＮ＝（ Ａ－ Ｂ） ＮΔＴｔ
当时间 Δｔ→０ 时， 得到：
ｄＮ＝（ Ａ－ Ｂ） Ｎｄｔ
（ １）
在 方 程 （ １） 中 ， 当 Ａ＞Ｂ 时 ， 总 人 口 数
增加； 当 Ａ＜Ｂ 时 ， 总 人 口 数 减 少 ； 按 方 程
（ １） 当 Ａ＞Ｂ 时 ， 人 口 数 将 无 限 制 的 增ห้องสมุดไป่ตู้加 ，
程（ １） 化为：
ｄＮ ＝（ｍ－ ｑ）Ｎ－ （ｎ＋ｑ）Ｎ２ ｄｔ
即：
" # ｄＮ ＝（ｎ＋ｑ）Ｎ
ｄｔ
ｍ－ ｐ ｎ＋ｑ
－Ｎ
记
：
α＝ｎ＋ｑ，
β＝
ｍ－ ｐ ｎ＋ｑ
则有：
ｄＮ ＝αＮ（β－ Ｎ）
（ ２）
ｄｔ
变量分离后得：
αｄｔ＝ １ ｄＮ Ｎ（β－ Ｎ）
即： αβｄｔ＝ １ ｄＮ＋ １ ｄＮ Ｎ β－ Ｎ
积分后为：
口 数 为 Ｎ０， 则 １９７８ 年 的 ｔ＝２９， 所 以 人 口
１３１
统计与决策
型。以 １９４９ 年的人口数为 Ｎ０＝５．４９， 则有 ｔ１＝４， Ｎ１＝６．０２； ｔ２＝８， Ｎ２＝６．５７， 分别代入（ ３） 得：
的人口政策基本可以将人口数稳定在 １５—１６ 亿 之 间 ， 这 与 国 家 计 划 生 育 委 员 会的 “中 国 未 来 人 口 发 展 与 生 育 政 策 研
到 β＝１６．２８
将 β值代入（ ５） ， 有：
αβ＝ １ ｌｎ ６．０２（β－ ５．４９） ≈０．０３５６３ ４ ５．４９（β－ ６．０２）
因此， 我国人口增长的逻辑斯蒂模
型为：
Ｎ＝
１６．２８
（ ７）
１＋ １６．２８－ Ｎ０ ｅ－ ０．０３５６３ｔ
Ｎ０
下面我们利用上式来计算一下
１９７８ 年 我 国 的 人 口 数 ， 以 １９４９ 年 的 人