九年级二次函数讲义全

二次函数

一．知识梳理

1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0）

其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项

a是二次项系数，b是一次项系数

2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：

“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac

△=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2

△=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2

△=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。

注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0

3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。

ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：

因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。

5、一元二次方程的求根公式：

注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c，（已知三个点）

顶点坐标（－2b

a

，244ac b a -）

2.顶点式：y=a （x －h ）2

+k ，（已知顶点坐标对称轴）

顶点坐标（h ，k ）

3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）

与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2

对称轴为2

2

1x x h +=

二、a b c 作用分析

│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，

a ，

b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b

同号时，对称轴x=－

2b

<0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b

a

>0，即对称轴在y 轴右侧，c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，

c=0c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax 2+bx+c (a<0)

由a,b 和c 的符号确定

由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上

a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. .

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在

.

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22a

b

x 2-

=直线a

b

x 2-

=直线

二．专题精练

专题一：二次函数与一元二次方程的关系

本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.

考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的围

一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的围是（ ）

Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x << 考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.

二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.

例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.

考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况

当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax

2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程

ax 2+bx+c=0

没有实数根.反之亦然.

例3 在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x

=-与x 轴的交点的个数是（ ）

A.3

B.2

C.1

D.0

专项练习3

1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值围是________.

图2

图1