乘法公式的常用方法和技巧

乘法公式的常用方法和技巧

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y

2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y

4 ④ 系数变化，(2a +3b )(2a -3b )=4a 2-9b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(xy )2-(z +m )

2 =(x -y )2-z 2 =x 2y 2

-(z +m )(z +m ) =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2-xy -xy +y 2-z 2

=x 2y 2-z 2-2zm -m

2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2

-(x +y -z )2 =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]

=x 4-y 4 =2x (-2y +2z )

二、乘法公式的用法 =-4xy +4xz

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时提高观察能力。 例1. 计算：()()53532222x y x y +-

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两种以上公式解题。（同一个公式不会超过2次）

例2计算：()()z y x z y x 523523-+--+ ()()()2222492332++-a a a

(三)、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例3. 计算：()()22875875c b a c b a +---+ (a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2

(四)、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的公式：

()()()()()()()ab b a b a b a b a b a b a ab b a b a ab b a 4///2///2///2222222222222=--++=-+++=+-+=-+ 例4.已知m+n=7，mn=－18，求m 2+n 2，m 2－mn+ n 2

的值．

三、乘法公式常用方法技巧

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例5. 运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2(2m-1)2

注意：-(a+b)2与[-(a+b)]2的区别

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例6. 计算： (x-2)(x 2+4)(x+2)

③巧添括号：运用添括号法则，改变某些因式的符号，可以使公式的特征更加明显。

例7. 计算：(2x-y +5)(2x+y -5)

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，为一组；符号相反的项放在后面，为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。分组后要加上括号（注意括号前面是“-”时，括号里的各项要改变符号），使公式的特征更明显

例8. 计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+3y-z)(2x-3y+z)

⑤拆项和添项：

例9.计算：()()232236x y x y ++-+

分析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

例10. 计算：

1)13)(13)(13)(13(248+++++ 分析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。注意添项后要去项（添项是为了计算简便，去项是为了不改变原来式子的值。）

四、整式乘法运算中常用的数学思想方法

(一)、整体代入的数学思想

例11、已知a+b=2，求2

22121b ab a ++的值．

分析:将所求的代数式变形，使之成为a+b 的表达式，然后整体代入求值．

例12、已知,610,510==b a 求b a 3210+的值．

分析:由于,210,410==b a 我们不便将a ，b 分别求出，但我们从问题b a 3210+入手，不难发现， ,)10()10(10323-2b a b a ÷=利用整体代入，将问题解决．

(二)、化归的数学思想

例13、已知.6,3,2===z y x a a a 求z y x a -+23的值．

分析:求解本题的关键在于寻找所求式子（目标）与已知条件的关系，可以用下面两种解法．

解法一（已知→目标）:

解法二（目标→已知）:

(三)、逆向思维的思想方法

1、逆用幂的运算法则

2、逆用乘法公式

例14、计算：.)8()125.0(1716-⨯ ）（221-1 ）（231-1 ）（241-1…）（2

101-1 (四)、构造公式模型的思想方法

例15、计算：1022×982

11×101×10001

(五)、数形结合的思想方法

例16、已知一个长方形的长为（2a+3b ），宽为（3a+2b ），若用如图所示的3种图

形拼成这个长方形，则需要A 个，B 个，C 个。

例17，图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四

块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的面积为

（2）观察图②，三个代数式（m+n ）2，（m-n ）2，mn 之间的等量关系是：

（3）若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=

（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n ）（m+3n ）=m 2+4mn+3n 2．