一个整数的约数个数和约数和的计算方法

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c
为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．
2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?
【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?
【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．
所以,最多可以分成14堆．
5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．
所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．
6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?
【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．
即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．
有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．
即在30分钟后,3人又可以相聚．
7.3
条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长
1
5
千米,中圈跑道长
1
4
千米,外圈跑道长
3
8
千米.甲每小时跑3
1
2
千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?
【分析与解】甲跑完一圈需
112
3
5235
÷=小时,乙跑一圈需
11
4
416
÷=小时,丙跑一圈需
33
5
840
÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为
2
35
,
1
16
,
3
40
的倍数,即它们的公倍数．
而
213
,,
351640
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
[]
()
2,1,3
35,16,4
=
6
6
1
==.
所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.
评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？
【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．
9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有
10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.
即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)
由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，
所以
21
,
01
x x
y y
==
⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或
31+0×52+4=46875；
由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以
2
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
.对应B
为31+0×52+2=1875．
只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个
12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，
且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②
综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．
第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；
第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的
q1,q2；
一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．
所以,这个两个自然数的差为33．
11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?
【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，
且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②
联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，
有(
)[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．
对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),
(30,30)．
评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．
12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?
【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；
若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，
当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．
对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．
则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×
7×13．
13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．
所以,这三个数的和为26+27+28=81．
评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即
[0,b]=a ×b．
记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．
有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)×
[a,a+2]．
因为a,a+2同奇同偶，
当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为
()22
a a ⨯+； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．
所以(a+1)×[a,a+2]=
()
()
()()
2
1
2
12
a a
a a
a a a a
⨯+
⎧
+⨯
⎪
⎨
⎪+⨯⨯+
⎩
为偶数
为奇数
.
即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或
()()
12
2
a a a
++
若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．
13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.
因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．
因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．
因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．
第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；
第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．
评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．
如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．
14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
【分析与解】由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a﹥b所以450
75
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
225
150
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
[b,c]=1050=2×3×52×7.
当
450
75
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
时有
()()
[][]
450,75,75,15
,75,1050
c c
b c c
⎧==
⎪
⎨
==
⎪⎩
，因为两个数的最大公约数与
最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；
当
225
150
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
时有
()()
[][]
225150,75,15
,150,1050
c c
b c c
⎧==
⎪
⎨
==
⎪⎩
，
,则c=105,c﹤b,满足,即
225
150
105
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
为满足
条件的为一解．
那么c是105.
15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
【分析与解】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．
将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．
综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．
评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。