函数的极值点与极值.doc
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函数的极值点与极值
1. 已知函数.f(x) = x(\x\x-ax)有两个极值点,求实数a 的取值范围。
方法1:根据极值点与导函数的关系知:这个函数的导函数在定义域内穿过X 轴两次,即 f\x) = Inx +1
-2ax = 0有两个不同的正解。令g (兀)=lnx + l — 2ax,贝U g'(x) =丄一2a,令g'(x)=丄一2d = 0得无=丄,又定义域为XG (0,+oo),
x x 2a
(1) 当 aSO 时,恒有 g'(x)nO,此时 g(x) = lnx + 1 - 2ox 在 xw(0,+co)单调递增, 不可
能穿过x 轴两次,不成立。
(2 )当Q 〉0时,g(x)在XG(0,—)递增,在X G (—, 4-00)递减,且X 趋近于0与 2a 2a
X 趋近于正无穷时g(x)均趋近于负无穷,故要使g(x)有两个不同解,只需g (丄) 2a
Q > 0
大于0即可,故J 1 ,解得毗(0丄)
In 丄〉0
2
2a
方法2:数形结合 f f
(x) = In x +1 - Zax = 0有两个不同的 正解,即y = In x 与歹=2ax 一 1在 x G (0, +00)有两个不同的交点。设切点为(x 0,y 0),则切线方程是
y-\nx {} = —(x-x 0),它过点(0,-1),解得x 0 = 1,即切线的斜率是1,故要使 兀。
> 0 1
他们有两个不同的交点,必须彳 =>0VQV —。
2。v 1 2
2.已知a 为常数,函数/(%) = x(ln 兀-ax)有两个极值点, x 2 (< x 2),则()
解析:由题意知/r (x) = lnx + l-2a¥ = 0有两个不同的正解,即y = lnx 与y = 2ax 一1在
go,s 有两个不同的交点,作图求得兀(0,4由图知,A 、/(^)>0,/(%2)>--
C 、/(再)> 0,/(兀2)< B 、/(兀J V0,/•(兀2)V-*
D 、/(^)<0,/(%2)>-|
0< < I < x 2,且在
(0,西)上广(兀)<0, /(X)递减;在(兀],兀2)上f (兀)>0, /*(兀)递增;在(尢2,+°°)上
< 0, /(Q 递减;故 /(%,) < /(I) = -CZ < 0, /(x2) > /(I) = -a>-^o选D 3.函数/'(x) = x3 + 2bx2 4-ex+1 两个极值点分别为兀],兀2 且兀1 € [-2,-1], x2 G [1,2],
求f (_ 1)的取值范围。答案[3,12]
4.函数y = 土 + "X *"" * "两个极值点分别为Xj, x2且£ w (0,1) , x2€ (l,4-oo),
3 2
记分别以m, n为横、纵坐标的点P (m, n)表示的平面区域为D,若函= log w(x + 4)
(a>l)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为()
A. (1,3]
B. (1,3)
C. (3,+oo)
D. [3,+oo)
答案:B
因为兰+亦+伽+心+1,所以,=宀愿*竺空。依题意知,方,=0
• 3 2^2
,7? -4- H 有两个根为, x2且兀]W (0,1), x2 G (1,-K^O),构造函数f(x) = X2 + HVC +--------- ,所
以,彳,即彳,’••直线m + 72 = 0, 3加+ “ + 2 = 0的交点坐标为
[/(I) < 0 [3m + n + 2 < 0
(-1, 1),二要使函数y = log“(x + 4) (°〉1)的图象上存在区域D上的点,则必须满
1> log“ (-1 + 4),解得lvav3
考点:利用导数研究函数的极值,二元一次不等式(组)与平面区域。
点评:中档题,本题综合性较强,应用导数研究函数的极值,通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布,体现应用数学知识的灵活性。
5.设函数/(%) = x2 + a ln(% +1)有两个极值点若,兀(X] v兀2),
⑴求实数d的取值范围;(0,-)
2
(2)讨论函数/(朗的单调性;
⑶若对任意的x e (x(, 4-00),都有/(x) > m成立,求实数加的取值范围.m <------------- 。
l-21n2
(亦即3正明: /(2) >
解:(1)由/(x) = x2 +aln(x + l)可得f f(x) = 2x + —^― =+〉一]),
X+l X+1
令g(x) = 2F+2x + a(x>—l),故由题意可知兀],%是方程g(兀)=0的两个均大于一1
i “, [A = 4-86/ >0 1
的不相等的买数根,所以彳=>0 Cd V —。
[g(-l) = d〉o 2
(3)由⑵可知/(x)在区间(兀[4-oo)上的最小值为f(x2),又由于g(0) = a > 0 ,因此
< x2 v0.又由g(x2) = 2X22+2X2+ a = 0 => a =一(2兀/ + 2x2),所以/(x2) = x22 -(2X22 + 2x2)ln(x2 +1),设/z(x) = x2~(2x2+2x)ln(x + l), 一g 兀 + l)ln(x + 1).由—- 2 2 1 1 O 1 O 1 O 1 O 递增,所以,f(吃)=/z(x2) > /7(-—) = ---- n ,故实数加的取值范围m < ---------- 4门。 考点:导数的运用 点评:解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定,以及运用导数的知识来求解最值,属于中档题。 QX| 6. ------------------------------ 已知函数f{x) = 2ax + \nx有两个极值点、分别为石,吃且兀丿2〉—, 2 2 (1 )求实数a的取值范围M; (II )若3x0 e [1 ---- ,2]使/(x0) + ln(<7 + l) > b(a2 -l)-(a + l) + 21n 2 对Da € M 恒成 2 立,求实数b的取值范围. 解:(I )对函数求导可得,/z(x) = ax-2a-^-— = ———(x>0) X X -4a>0 /. \x x+x2 >0 n 1 v a v 2 令/'(X)= 0 n cix1 - 2ox +1 = 0,