函数的极值点与极值.doc
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
函数的性质 函数的极值与最值
又R( x ) 0 x 350是唯一极值点且是极大值点.
350 R( x ) (350 20)(68 ) 10890 (元 ) 10
25
小结与习题
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点都是可能极值点,也称为临界点.
2
令 y 0 , 得函数有唯一的驻点 h 2r . 2 2r 2r 0 h 时, y( h) 0, h 时, y ( h) 0, 2 2 2r h 是函数的极大值点,且为最大值点, 2
2r 因而高度 h 时,桌面边缘的照度最强. 2
20
例 (补充) 铁路线上AB段
3 2 求函数 y 2 x 3 x 12 x 25 在区间 [2, 4]
上的最大和最小值. 解 函数可能的极值点是 x1 1, x2 2. 且 f ( 1) 32, f (2) 5, 又 f ( 2) 21, f (4) 57,
由此可得,函数在区间 [2, 4] 上的最大值是
例2 求函数 y (2 x 5) x
解 由上一节，已知
5 3 2 3
2 3
的极值.
2 3 1 3
10 10 y (2 x 5 x ) x x 3 3
1 0
10( x 1) 3x
1 3
,
注意: 题中有不可导点,因而不能用第二充分条件,列表
x
y
y
(, 0)
0
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
若目标函数只有唯一的极值点,则极大值 即为最大值,极小值即为最小值.
23
例
极值和极值点的概念
x0 称为 f (x) 的极小值点；
函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大 值点、极小值点统称为极值点.
显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， x2，x5 为 f (x) 的极小值点.
y y = f (x)
x1 O
x2
x3
x4
x5 x
再看下面函数曲线： y
y= f ( x )
为极大值.
运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：
(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导 数不存在的点； (2) 考察上述点两侧一阶导数的符号 ( 或考察上 述点的二阶导数的符号)，确定极值点；
(3)求出极值点处的函数值，得到极值.
补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值. 解: f '(x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)
x
0
极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而 是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定 大于极小值． 如P41书上图2-5
y
ax
1
x2
o
x3
x4
x5
x6
b
x
定理 2.6 <1> (极值的必要条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 且 f (x0) 为极 值(即 x0 为值点)，则 f (x0) = 0. 即函数的极值点必为驻点或不可导点
( x 0)
x < 0时, f '(x)<0, x > 0时, f '(x) > 0
y
y 3 x2
故得
极小值f (0)=0
0
x
补充例题3. 求 f ( x) sin x cos x 的极值. 解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间[0, 2 )
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
函数的极值点一定是函数的最值点
函数的极值点一定是函数的最值点1. 概述函数是数学中一个重要的概念，而函数的极值点和最值点更是其重要的性质之一。
在数学中，我们经常需要求解函数的极值、最值等问题，在其中函数的极值点和最值点的关系更是一个热点问题。
本文将从数学角度出发，探讨函数的极值点一定是函数的最值点这一命题，希望能够深入剖析这一命题，并对其进行全面的分析。
2. 函数的极值点函数的极值点是指在函数定义域内，函数的局部最大值或局部最小值所对应的点。
对于单变量函数来说，求解函数的极值一般通过求导数来实现。
具体来说，我们通过求函数的导数，然后找出导数为零的点，然后再通过二阶导数的正负来确定该点是函数的极大值点还是极小值点。
3. 函数的最值点函数的最值点是指在函数定义域内取得的最大值或最小值的点。
函数的最值点可以是函数的极值点，也可以是函数的在区间内的端点。
针对函数的最值点，我们一般通过找出函数在定义域内的最大值和最小值，进而确定函数的最值点所在的位置。
4. 函数的极值点是函数的最值点的证明我们来证明函数的极值点一定是函数的最值点。
对于一个单变量函数，如果我们找到了函数的极值点，那么我们可以通过导数的正负来确定函数在该点的最值。
具体来说，如果函数在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；若左侧导数为负，右侧导数为正，那么该点就是函数的极小值点。
而根据函数的最值点的定义，函数的最值点即为在定义域内的最大值或最小值的点。
函数的极值点一定是函数的最值点。
5. 函数的最值点不一定是函数的极值点接下来，我们讨论函数的最值点不一定是函数的极值点。
对于函数的最值点，可能是函数的极值点，也可能是函数在定义域内的端点。
在数学中，我们可以举一些例子来证明这一点。
例如函数f(x) = x^3，该函数在定义域[-1, 1]内取得最大值和最小值分别为1和-1，但是函数的导数f'(x) = 3x^2在x=0处不为零，所以x=0不是函数的极值点。
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。
简单来说，极值就是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
具体而言，如果在函数定义域内的某个点 x₀处，函数值 f(x₀) 大于（或小于）其在 x₀附近的所有点的函数值，那么 f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
需要注意的是，极值是局部概念，也就是说一个函数在某一点取得极值，并不意味着它在整个定义域内都是最大或最小的。
二、函数极值的必要条件为了找到函数的极值，我们首先要了解一个重要的定理——费马定理。
费马定理指出：如果函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为 f(x) 的极值点，那么 f'（x₀) ＝ 0。
这意味着，可导函数的极值点处的导数为 0。
但要注意，导数为 0 的点不一定是极值点，比如函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但不是极值点。
三、函数极值的充分条件仅仅知道导数为 0 还不够，我们还需要一些充分条件来确定这个点到底是不是极值点。
第一种情况：如果在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，那么 x₀是极大值点。
第二种情况：如果在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，那么 x₀是极小值点。
第三种情况：如果在 x₀的两侧导数同号，那么 x₀不是极值点。
四、求函数极值的步骤接下来，我们来总结一下求函数极值的一般步骤：第一步，求出函数的定义域。
第二步，对函数求导。
第三步，令导数等于 0，求出导数为 0 的点（即驻点）以及导数不存在的点。
第四步，根据上述充分条件，判断这些点是否为极值点。
第五步，将极值点代入函数，求出相应的极值。
五、实例分析为了更好地理解函数极值，我们通过一些具体的例子来进行分析。
例 1：求函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 的极值。
首先，对函数求导得到 f'（x) ＝ 2x 4。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 2。
当 x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
函数的极值和最值
1．判断函数的单调性设函数()f x 在区间()a b ，内可导， ⑴若在()a b ，内，有()0f x '>，则函数()f x 在此区间单调递增； ⑵若在()a b ，内，有()0f x '<，则函数()f x 在此区间单调递减． <教师备案> 上面的条件只是函数单调性的充分条件，不是必要条件．即若知道可导函数单调递增（减），不一定能得到()0f x '>(0)<，在该区间上可能存在导数为零的点． 2．研究函数的极值和最值 ⑴极值的概念已知函数()f x 及其定义域内一点0x ，若存在一个包含0x 的开区间，对于该开区间内除0x 外的所有点x ，如果都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点；如果都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小值，并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． ⑵最值的概念函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）值．<教师备案> 极值针对的是一个开区间内的函数值的情况，最值只是在指定的区间上，对区间的端点不限制．⑶可导函数极值的分析方法 在0x x =处，0()0f x '=，若在0x 左侧()00f x '>，在0x 右侧()00f x '<．则0x 是()f x 的极大值点； 若在0x 左侧()00f x '<，在0x 右侧()00f x '>，则0x 是()f x 的极小值点．<教师备案> ()00f x '=只是0x 为极值点的必要条件，不是充分条件．如果在0x 的两侧导数符号不变，则()0f x '不是极值，当然0x 也就不是极值点．如3()f x x =，在0x =处．⑷求可导函数的极值的步骤： ①找函数的定义域； ②求导数()f x '；③求方程()0f x '=的所有实数根；④对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导函数()f x '的符号如何变化． ⑸求指定区间上函数的最值的步骤：①求函数在该区间上的极值；②把极值与端点的函数值作比较，最大的为最大值，最小的为最小值．知识点睛第7讲 函数的极值和最值考点：函数的单调性【例1】 ⑴ 函数2sin y x x =+的单调增区间为__________；⑵ 函数321313y x x x =--+的单调递减区间为____________；⑶ 函数216ln 2y x x x =--的单调递减区间为__________．【解析】 ⑴ ()-∞+∞，⑵ (13)-， ⑶ (03)，尖子班学案1【拓1】 ⑴ 函数214y x x=+单调递增区间是__________．⑵ 函数32()f x x ax bx c =+++，其中a b c ，，为实数，当230a b -<时，()f x （ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．是常数函数D ．即不是单调函数，也不是常函数 【解析】 ⑴ 12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，⑵ A目标班学案1【拓2】 ⑴ 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '->，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +> ⑵ 已知()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）．A ．B ．C ．D ． 【解析】 ⑴ D⑵ D考点：函数的极值与最值【例2】 设函数()327212f x x x x =-+-+，讨论()f x 的单调性和极值． 【解析】 ()f x 的定义域为R ，()()()2372231f x x x x x '=-+-=--+ 当13x <时，()0f x '<；当123x <<时，()0f x '>；当2x >时，()0f x '<．经典精讲211yxO尖子班学案2【拓1】设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴ 求b 、c 的值；⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值．【解析】⑴ 2()32f x x bx c '=++，()g x 是奇函数，则()()0g x g x +-=， 即()()()()0f x f x f x f x ''-+---=，即()()()()f x f x f x f x ''+-=+-，所以22262bx x c =+对任意x ∈R 成立，即3b =，0c =． ⑵ 由⑴知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+， 令()0f x '=，解得0x =，2x =-，'(20)-，； 在2x =-时取到极大值4；在0x =时取到极小值0．目标班学案2【拓2】设函数()2ln 33f x x x x =+-+．讨论()f x 的单调性与极值． 【解析】 ()f x 的定义域为()0+∞，．()()()121123x x f x x x x--'=+-=． 当10x <<时，()0f x '>；当11x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．∴()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()1+∞，上单调递增；在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．极大值为17ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值为()11f =．根据()f x 的极值点和单调区间，以及()f x 在定义域边缘的趋势：0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞．可得()f x 的大致图象如下：2110.5yxO【例3】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-． ⑴ 求a ，b ，c 的值；⑵ 求函数()f x 的单调区间，并求函数()f x 在[13]-，上的最大值和最小值． 【解析】 ⑴ ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33ax bx c ax bx c --+=---，∴0c =，∵2()3f x ax b '=+的最小值为12-，∴12b =-，0a >，又直线670x y --=的斜率为16，∴(1)36f a b '=+=-，∴2a =，12b =-，0c =．⑵ 由⑴知3()212f x x x =-，2()612f x x '=-， 令()0f x '=，解得x =x =，当x 取值变化时，()f x '，()f x 变化情况列表如下：所以函数()f x 的单调递增区间为-∞，，+∞；单调递减区间为(； ∵(1)10f -=，f=-(3)18f =，∴函数()f x 在区间[13]，上的最大值是18，最小值是-【例4】 已知函数1()ln 1()af x x ax a x-=-+-∈R⑴ 当1a =-时，求曲线()y f x =在点()(22)f ，处的切线方程；⑵ 当102a <<时，讨论()f x 的单调性． 【解析】 ⑴ 当1a =-时，()2ln 1,(0,)f x x x x x =++-∈+∞，所以222122()1x x f x x x x +-'=+-=，因此()21f '=，即曲线()y f x =在点()(22)f ，处的切线斜率为1．又(2)ln 22f =+，所以曲线()y f x =在点()(22)f ，处的切线方程为(ln 22)2y x -+=-， 即ln 20x y -+=． ⑵ 因为11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以211()a f x a x x -'=-+221xa x ax -+--=，(0,)x ∈+∞， 由()0f x '=解得121111a x x a a-===-，． 当102a <<时，21x x >， ()()x f x f x '，，的变化如下表即(01)x ∈，时，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，函数()f x 单调递减． 综上所述： 当102a <<时，函数()f x 在()01，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．【例5】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴ 若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵ 求()f x 在区间[]02，上的最大值． 【解析】 ⑴ ()232f x x ax '=-，因为(1)323f a '=-=，所以0a =． 又当0a =时，(1)1f =，(1)3f '=，所以曲线()y f x =在()()11f ，处的切线方程为320x y --=． ⑵ 令()0f x '=，解得10x =，223a x =． 当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[]02，上单调递增，从而()max 284f f a ==-； 当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减，从而()max 00f f ==； 当2023a <<，即03a <<时，()f x 在203a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在223a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，又因为()284f a =-，()00f = 所以max 840<2023a a f a -⎧=⎨<<⎩，≤，．综上所述，max 84202a a f a -⎧=⎨>⎩≤．尖子班学案3【拓 1】（2012北京高考文）已知函数()()210f x ax a =+>，()3g x x bx =+．⑴ 若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，求a ，b 的值； ⑵ 当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-∞-，上的最大值．【解析】 ⑴ 由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．⑵ ∵24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；∵0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a -=-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a -=-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．目标班学案3【拓2】已知()ln a f x x x =+，1a >若()f x 在[1e]，上的最小值是32，求a 的值． 【解析】 221()a x af x x x x-'=-=，①当1e a <<时，[)1x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，(]e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，最小值为()3ln 12f a a a =+=⇒=； ②e a =时，函数在[)1e x ∈，上有()0f x '<，()f x 单调递减，最小值为()e 2f =，不合题意； ③e a >时，函数在[1e]，上单调递减，最小值()3e 12e 2a f =+>>，不合题意． 综上，a【例6】 已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-⑴ 当2a >时，求函数()f x 的极小值；⑵ 若2a <，试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数．【解析】 ⑴22()33(2)63(1)f x ax a x a x x a ⎛⎫'=-++=-- ⎪⎝⎭，()f x 极小值为(1)2a f =-．⑵ ①若0a =，则2()3(1)f x x =--，∴()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <，则()f x 极大值为(1)02af =->，∵()f x 的极小值()22231126430a f a a aa ---⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭， 且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →-∞．()f x 图象大致如下∴()f x 的图像与轴有三个交点．③若02a <<，类似的，()f x 极大值为(1)02af =-<，极小值20f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；另外，④若2a =，则2()6(1)0f x x '=->=，()f x 单调增，∴()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，同样的，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点．已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．⑴ 求24a b -的最大值；⑵ 当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．【解析】 ⑴ 2()f x x ax b '=++，则24a b ∆=-，依题意可知()0f x '=在区间[11)-，，(13]，上有两根，设12[11)(13]x x ∈-∈，，，为()f x '的两根，则有21(04]x x -∈，，又21x x -=04<，所以24a b -的最大值为16； ⑵ 依题意，函数()f x 的切线在点()1(1)A f ，穿过函数图象， 则函数()f x 的切线的斜率在点A 单调性改变，即导函数2()f x x ax b '=++在区间(1)-∞，，(1)+∞，的单调性不同， 即()1()0x f x =''=，即20a +=，即2a =-，又248a b -=，则1b =-，所以函数()f x 的解析式为321()3f x x x x =--．【演练1】 ⑴ 下列函数存在极值的是（ ）．A ．1y x= B ．2y x = C ．3y x = D ．2y =⑵ 函数313y x x =+-有（ ）A ．极小值1-，极大值1B ．极小值2-，极大值3C ．极小值2-，极大值2D ．极小值1-，极大值3 ⑶ 下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大；B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值；C ．对于32()21f x x px x =+++，若p <()f x 无极值；D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值．【解析】 ⑴ B ⑵ D ⑶ C 实战演练【演练2】 函数2cos y x x =+在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是 ．【解析】π6【演练3】 ⑴ 函数231()23f x x x =-在区间[06]，上的最大值是________；⑵ 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[22]-，上有最大值3，那么函数在[22]-，上的最小值为________． 【解析】⑴ 323 ⑵ 37-【演练4】 （2010年高考安徽卷文科）设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02πx <<，求函数()f x 的单调区间与极值．【解析】 由已知有()cos sin 114f x x x x ⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭π，令()0f x '=，解得1πx =，23π2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 变化如下由表可知，()f x 的单调递增区间是()0π，和2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，．极大值是π+2，极小值是3π2．【演练5】 已知函数32()39f x x x x a =-+++⑴ 求()f x 的单调减区间；⑵ 若()f x 在区间[22]-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解析】 ⑴ 2()369f x x x '=-++，令()0f x '=，解得1x =-，3x =，当1x <-或3x >时，均有()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，(3)+∞，； ⑵ 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：(2)2f a -=+，(1)5f a -=-，(2)22f a =+，所以最大值为(2)2220f a =+=， 即2a =-，最小值为(1)7f -=-．（全国高中数学联赛辽宁省初赛试题） 已知函数()2ln f x x a x =+⑴ 若0a <，证明：对于任意两个正数1x ，2x ，总有1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥成立； ⑵ 若对任意[1e]x ∈，，不等式21()(3)2f x a x x +-≤恒成立，求a 的取值范围．【解析】 ⑴121211221212()()2ln 2ln 2ln 22222f x f x x x x a x x a x x x x x f a +++++++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1212122ln ln 2x x a a a a x x ⎫+===⎪+⎭因为12x x +≥121，120， 又0a <，故120a ，所以，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥； ⑵ 因为21()(3)2f x a x x +-≤对[1e]x ∈，恒成立，故212ln (3)2x a x a x x ++-≤，21(ln )2a x x x x --≥，因为[1e]x ∈，，所以ln 0x x ->，因而212ln x x a x x--≥， 设212()ln x x g x x x-=-，[1e]x ∈，． 因为222111(1)(ln )1(1)1ln 22()(ln )(ln )x x x x x x x x x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'==-- 当(1e)x ∈，时，10x ->，11ln 02x x +->，所以()0g x '>，又因为()g x 在1x =和e x =处连续，所以()g x 在[1e]x ∈，为增函数，所以221e ee 2e 2(e)e 12(e 1)g a --==--≥．大千世界。
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
函数极值和其求法
可疑极值点：驻点、不可导点
可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决。
定理2(第一充分条件)
设f 在点x0连续，在某邻域U 0 ( x0 , )内可导
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 处取得极大值. 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ' f 有 ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
注
①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点
f(x)
0(极大）
3 3 20 （极小） 25
2 2 3 x 0 为极大点，x 为极小点，极大值 f (0) 0，极小值 f ( ) 3 20 5 5 25
定理3(第二充分条件) 设 f ( x ) 在 x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值; '' f (2)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极小值.
函数的极值知识点总结
函数的极值知识点总结函数的极值是数学中的重要概念，它可以帮助我们确定函数的最大值和最小值，以及在哪些点上达到这些值。
在实际问题中，函数的极值可以用来优化问题，找到最佳解决方案。
下面我将从定义、求解方法和应用三个方面来总结函数的极值知识点。
一、定义函数的极值是函数在定义域上的最大值和最小值。
最大值又称为最大极值，最小值又称为最小极值。
二、求解方法1. 寻找函数的极值点要求函数的极值，首先需要找到函数的极值点。
极值点是函数在定义域内使函数取得极值的点。
可以通过求函数的导数或者二阶导数来找到极值点。
2. 判断极值找到极值点后，需要判断这些点是函数的极大值还是极小值。
可以通过求导数的符号来判断，如果导数在极值点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值；如果导数在极值点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值。
3. 检验极值找到极值点并判断后，还需要进行检验。
可以通过求二阶导数来检验，如果二阶导数在极值点处的值大于0，则该点为极小值；如果二阶导数在极值点处的值小于0，则该点为极大值。
4. 边界点的考虑在求解函数的极值时，还需要考虑边界点。
边界点是函数定义域的端点，需要将边界点和极值点进行比较，找出最大值和最小值。
三、应用函数的极值在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 最优化问题：在约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量值，如生产成本最小化、利润最大化等。
2. 经济学：用函数的极值来分析供求关系、市场均衡等问题。
3. 物理学：用函数的极值来分析力学系统中的平衡点、最小能量状态等。
4. 生态学：用函数的极值来分析物种种群的最大增长率、生物多样性等。
函数的极值是数学中的重要概念，可以帮助我们确定函数的最大值和最小值。
通过求解极值点、判断极值和检验极值，可以找到函数的极大值和极小值。
函数的极值在实际问题中有广泛的应用，可以用来解决最优化问题、分析经济学和物理学等领域的现象。
掌握函数的极值知识，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
函数的极值
[跟进训练] 3．若 x＝2 是函数 f (x)＝x(x－m)2 的极大值点，求函数 f (x)的极大值． [解] ∵f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，且 f ′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0，即 m＝2 或 m＝6. (1)当 m＝2 时，f ′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由 f ′(x)＞0 得 x＜23或 x＞2；由 f ′(x)＜0 得23＜x＜2. ∴x＝2 是 f (x)的极小值点，不合题意，故 m＝2 舍去．
令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0，解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5.
当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋
0＋
0
－
0
＋
无极
极大值
y↗
↗
↘ 极小值 0 ↗
值
108
∴x＝0 不是 y 的极值点；
x＝3 是 y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108；
类型三 由极值求参数的值或取值范围
【例 3】 (1)已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处
取极值 10，则 a＝( )
A．4 或－3
B．4 或－11
C．4
D．－3
(2)若函数 f (x)＝12x2＋(a－1)x－aln x 没有极值，则(
)
A．a＝－1
B．a≥0
C．a＜－1
[解]
f
′(x)＝9x2－3，令
f
′(x)＝0，得
x1＝－
33，x2＝
3 3.
当 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学中，我们经常会遇到寻找函数的极值和最值的问题。
本文将介绍函数的极值和最值的概念、求取方法以及相关的应用。
一、函数的极值和最值概念函数的极值指的是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在该区间内取得的最大值，而极小值则是函数在该区间内取得的最小值。
极大值和极小值统称为极值。
而最大值和最小值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。
二、求取函数极值的方法有多种方法可以求取函数的极值，下面介绍常用的两种方法：导数法和二阶导数法。
1. 导数法导数法是一种基于函数导数的方法，它通过求取函数的导数来判断函数在某一点的递增或递减性，从而确定极值的存在和位置。
具体步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）求取导数为零的点，即导数为零的点可能是函数的极值点；（3）求取导数为零点的二阶导数，并判断二阶导数的正负性；（4）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。
2. 二阶导数法二阶导数法是基于函数的二阶导数来判断函数极值的存在和位置。
通过求取函数的二阶导数，我们可以确定函数的凹凸性，并进而确定极值的存在和位置。
具体步骤如下：（1）求取函数的二阶导数；（2）求取二阶导数为零的点，即二阶导数为零的点可能是函数的极值点；（3）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。
三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 最优化问题最优化问题是函数极值与最值的常见应用之一。
在实际问题中，我们常需要寻找一个函数的最大值或最小值，以满足特定的条件。
例如，生产厂家为了最大化利润，需要确定产量的最优值，这就是一个最优化问题。
2. 经济学应用函数的极值和最值在经济学中也有广泛的应用。
例如，生产函数和效用函数都需要求取最大值或最小值来确定最佳生产方案或消费方案。
3. 物理学应用在物理学中，函数的极值和最值也有很多应用。
第6讲 函数的极值与最值
第6讲函数的极值与最值一．基础知识回顾1．极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的，其函数值f(x0)为函数的．2．极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的，其函数值f(x0)为函数的．3．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是，f(x0)是；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是，f(x0)是 .4．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图，函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得．5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的，(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是．二．问题探究探究点一：函数的极值与导数的关系例1：求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值与极值点．跟踪训练1：求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值与极值点．探究点二：利用函数极值确定参数的值例2：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．跟踪训练2：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三：函数极值的综合应用例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．跟踪训练3：若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．探究点四：含参数的函数的最值问题例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练4：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．探究点五：函数最值的应用例3：已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．跟踪训练5：设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．四．课时小结1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.4.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值5．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．6．.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.7.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．五．作业设计一．选择题1. 函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图像如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于函数的极值的说法正确的是( )A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数3．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有( )A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值4．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<08．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．99．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A ．1<a <2B ．1<a <4C ．2<a <4D ．a >4或a <110． 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 ( )A ．1 B.12 C.52 D.22二．填空题11． 若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ . 12． 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a的值为 ．13. 如果函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是 ．(填序号)14． 已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是 ．15．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是 ．三．解答题16．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1；(2)f (x )＝x 2e x .17．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．18．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？19．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．20．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．21．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．。
高等数学《函数的极值与最大、最小值》
y
o
x0
x
y
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤: (1) 求驻点及不可导点 (2) 检查 f ( x)在这些点左右的符号,判断
是否为极值点
(3) 求极值
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
(2) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极小值 . (3) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )可能是也可能不是
f ( x)的极值 . 此时 f ( x)在点x0处是否取极值, 仍用定理1 判定 .
证
(1)
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 即为所求的最大(或最小)值．
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48.
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。
简单来说，极值就是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
想象一下，我们有一个函数的图像，就好像是一座山峰和山谷组成的地形。
山峰的顶点就是极大值点，山谷的底部就是极小值点。
具体地，如果在函数定义域内的某个点 x₀处，函数值 f(x₀) 大于（小于）其在 x₀附近的所有点的函数值，那么 f(x₀) 就是函数的一个极大值（极小值）。
需要注意的是，极值是一个局部的概念，也就是说，它只是在某个小范围内是最大或最小的，不一定是整个函数定义域内的最大或最小值。
二、函数极值的判定条件1、必要条件若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为极值点，则 f'（x₀) ＝ 0。
这意味着，如果一个点是极值点，那么在该点处的导数为 0。
但要记住，导数为 0 的点不一定是极值点。
例如，函数 f(x) ＝ x³，它的导数 f'（x) ＝ 3x²，当 x ＝ 0 时，f'（0) ＝ 0，但 x ＝ 0 不是极值点。
2、第一充分条件设函数 f(x) 在点 x₀的某邻域内可导。
当 x 在 x₀的左侧邻域时，f'（x) ＞ 0；当 x 在 x₀的右侧邻域时，f'（x) ＜ 0，那么 x₀为极大值点。
反之，当 x 在 x₀的左侧邻域时，f'（x) ＜ 0；当 x 在 x₀的右侧邻域时，f'（x) ＞ 0，那么 x₀为极小值点。
以函数 f(x) ＝ x²为例，导数 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 0 时，f'（x) ＞ 0，所以 x ＝ 0 是极小值点。
3、第二充分条件设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
若 f'＇（x₀) ＜ 0，则 x₀为极大值点；若 f'＇（x₀) ＞ 0，则 x₀为极小值点。
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函数的极值点与极值
1. 已知函数.f(x) = x(\x\x-ax)有两个极值点，求实数a 的取值范围。
方法1:根据极值点与导函数的关系知：这个函数的导函数在定义域内穿过X 轴两次，即 f\x) = Inx +1
-2ax = 0有两个不同的正解。
令g (兀)=lnx + l — 2ax,贝U g'(x) =丄一2a,令g'(x)=丄一2d = 0得无=丄，又定义域为XG (0,+oo),
x x 2a
(1) 当 aSO 时，恒有 g'(x)nO,此时 g(x) = lnx + 1 - 2ox 在 xw(0,+co)单调递增， 不可
能穿过x 轴两次，不成立。
(2 )当Q 〉0时，g(x)在XG(0,—)递增，在X G (—, 4-00)递减，且X 趋近于0与 2a 2a
X 趋近于正无穷时g(x)均趋近于负无穷，故要使g(x)有两个不同解，只需g (丄) 2a
Q > 0
大于0即可，故J 1 ,解得毗(0丄)
In 丄〉0
2
2a
方法2：数形结合 f f
(x) = In x +1 - Zax = 0有两个不同的 正解，即y = In x 与歹=2ax 一 1在 x G (0, +00)有两个不同的交点。
设切点为(x 0,y 0),则切线方程是
y-\nx {} = —(x-x 0),它过点(0,-1),解得x 0 = 1,即切线的斜率是1,故要使 兀。
> 0 1
他们有两个不同的交点，必须彳 =>0VQV —。
2。
v 1 2
2.已知a 为常数，函数/(%) = x(ln 兀-ax)有两个极值点, x 2 (< x 2),则()
解析：由题意知/r (x) = lnx + l-2a¥ = 0有两个不同的正解，即y = lnx 与y = 2ax 一1在
go,s 有两个不同的交点，作图求得兀(0,4由图知,A 、/(^)>0,/(%2)>--
C 、/(再)> 0,/(兀2)< B 、/(兀J V0,/•(兀2)V-*
D 、/(^)<0,/(%2)>-|
0< < I < x 2,且在
(0,西)上广(兀)<0, /(X)递减；在(兀］，兀2)上f (兀)>0, /*(兀)递增;在(尢2，+°°)上
< 0, /(Q 递减；故 /(%,) < /(I) = -CZ < 0, /(x2) > /(I) = -a>-^o选D 3.函数/'(x) = x3 + 2bx2 4-ex+1 两个极值点分别为兀],兀2 且兀1 € [-2,-1], x2 G [1,2],
求f (_ 1)的取值范围。
答案[3,12]
4.函数y = 土 + "X *"" * "两个极值点分别为Xj, x2且£ w (0,1) , x2€ (l,4-oo),
3 2
记分别以m, n为横、纵坐标的点P (m, n)表示的平面区域为D,若函= log w(x + 4)
(a>l)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为()
A. (1,3]
B. (1,3)
C. (3,+oo)
D. [3,+oo)
答案：B
因为兰+亦+伽+心+1,所以，=宀愿*竺空。
依题意知，方,=0
• 3 2^2
,7? -4- H 有两个根为, x2且兀]W (0,1), x2 G (1,-K^O),构造函数f(x) = X2 + HVC +--------- ,所
以，彳，即彳，’••直线m + 72 = 0, 3加+ “ + 2 = 0的交点坐标为
[/(I) < 0 [3m + n + 2 < 0
(-1, 1),二要使函数y = log“(x + 4) (°〉1)的图象上存在区域D上的点，则必须满
1> log“ (-1 + 4),解得lvav3
考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式(组)与平面区域。
点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。
5.设函数/(%) = x2 + a ln(% +1)有两个极值点若，兀(X] v兀2),
⑴求实数d的取值范围；(0,-)
2
(2)讨论函数/(朗的单调性；
⑶若对任意的x e (x(, 4-00),都有/(x) > m成立，求实数加的取值范围.m <------------- 。
l-21n2
(亦即3正明: /(2) >
解：(1)由/(x) = x2 +aln(x + l)可得f f(x) = 2x + —^― =+〉一］),
X+l X+1
令g(x) = 2F+2x + a(x>—l),故由题意可知兀］,%是方程g(兀)=0的两个均大于一1
i “, ［A = 4-86/ >0 1
的不相等的买数根，所以彳=>0 Cd V —。
［g(-l) = d〉o 2
(3)由⑵可知/(x)在区间(兀［4-oo)上的最小值为f(x2),又由于g(0) = a > 0 ,因此
< x2 v0.又由g(x2) = 2X22+2X2+ a = 0 => a =一(2兀/ + 2x2),所以/(x2) = x22 -(2X22 + 2x2)ln(x2 +1),设/z(x) = x2~(2x2+2x)ln(x + l), 一g<x<0, 则R(兀)=—2(2
兀 + l)ln(x + 1).由—-<x< 0 知：h\x)〉0,故h(x)在(—丄,0)上单调
2 2
1 1 O 1 O 1 O 1 O
递增，所以，f(吃)=/z(x2) > /7(-—) = ---- n ,故实数加的取值范围m <
---------- 4门。
考点：导数的运用
点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求解最值，属于中档题。
QX|
6. ------------------------------ 已知函数f{x) = 2ax + \nx有两个极值点、分别为石，吃且兀丿2〉—，
2 2
(1 )求实数a的取值范围M;
(II )若3x0 e ［1 ---- ,2］使/(x0) + ln(<7 + l) > b(a2 -l)-(a + l) + 21n 2 对Da € M 恒成
2
立，求实数b的取值范围.
解：(I )对函数求导可得，/z(x) = ax-2a-^-— = ———(x>0)
X X
-4a>0
/. \x x+x2 >0 n 1 v a v 2
令/'(X)= 0 n cix1 - 2ox +1 = 0,
(II )由cix2一2必 + 1 = 0、解得兀]=1一七=1 --- --- —，且f (兀)在(0, X])
递
即a的取值范B)M=(1,2).
增；在(兀i，%2)上递减；在(尢2，+°°)上递增。
T l<d<2，
1 + 1 < 1 + —— , /(X)在［1 +——,-HX))上递增。
a 2 2
• - f(x)在［1+ Q-,2］上,f (x)max= f (2) = -2a + In 2,
若Hr。
w［l +J，2］使/(兀o)+ ln(d + l)>"/—l) -(Q + l) + 21n2 对Da € M 恒成立2
等价于不等式一2a +In2+ln(d + l)>b(/_l)_(d +l) + 21n2恒成立，即不等式
ln(Q + l) — ba2—a + b — ln2 + l〉0对任意的a ( l<a<2 )恒成立.
令g(o) = \n(a + })-ba2 - a + /? — In 2 +1,则g(l) = 0, g\a) = -a( ------- + 2b),
Q + l
①当b》0时，g@)<0, g(c)在(1, 2)上递减• g(a)vg(l) = O,不合题意.
②当b<0时，(1 )当一丄vbv 0时，则g(a)在(1, 2)上先递减，v g(l) = O,
4
l<a<2时，g (a) >0不能恒成立；(2)当b<-丄时，则g(a)在(1, 2)上递增, 4 g(a) > g(l) = 0恒成立，「.b的取值范围为(-oo,--］。
4
考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题.
点评：本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值。