第五章 遗传算法与组合优化

4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
可能的解释：这一方法将本已十分复杂的TSP问题更加复 杂化了。因为满足TSP问题约束条件的可行解空间规模为n!； 而按构来自百度文库惩罚函数的方法，其搜索空间规模变为nn；随着n 的增大n!与nn之间的差距是极其惊人的。 解决这一约束问题的另一种处理方法是对交叉、变异等遗 传操作做适当的修正，使其自动满足TSP的约束条件。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
若采取一点交叉，且交叉点随机选为4，则交叉后产生的两 个后代为 87655678 12344321 显然，这两个子路径均未能遍历所有8个城市，都违反TSP 问题的约束条件。 可以采取上述构造惩罚函数的方法，但试验效果不佳。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
4．基于知识的交叉方法 这种方法是一种启发式的交叉方法，按以下规划构造后代： (1)随机地选取一个城市作为子代圈的开始城市。 (2)比较父串中与开始城市邻接的边，选取最小的边添加到 圈的路径中。 (3)重复第(2)步，如果发现按最小边选取的规划产生非法路 径(重复经过同一城市)，则按随机法产生一合法的边，如此 反复，直至形成一完整的TSP圈。
∑S X
i =1 i
n
i
∑S X
i =1 i
n
i
≤ C,
X i ∈ {0,1}, 1 ≤ i ≤ n
4.1 背包问题（knapsack problem）
广义背包问题：输入由C和两个向量C＝(S1，S2，… ，Sn) 和P＝(P1，P2，… ，Pn)组成。设X为一整数集合，即X＝1， 2，3，… ，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条 件，而使获得最大的子集T，即求Si和Pi的下标子集。 数学形式： 最大化 满足
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
不同于选择交叉位置，我们从左边开始选择一个城市 C’ ＝9一一一一一一一一 D’ ＝1一一一一一一一一 再从另一父串中的相应位置，寻找下一个城市： C’ ＝9一一1一一一一一一一 D’ ＝1一一一一一一一一9一 再轮流选择下去，最后可得 C’ 2 3 1 5 4 7 8 6 1 0 ＝9 D’ 8 2 4 7 6 5 1 0 9 3 ＝1
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
常用的几种交叉方法： 1．部分匹配交叉(PMX，Partially Matched Crossover)法 PMX操作是由Goldberg和Lingle于1985年提出的。在PMX 操作中，先依据均匀随机分布产生两个位串交叉点，定义 这两点之间的区域为一匹配区域，并使用位置交换操作交 换两个父串的匹配区域。 实例：如两父串及匹配区域为 A＝9 8 4 | 5 6 7 | 1 3 2 0 B＝8 7 1 | 2 3 0 | 9 5 4 6
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
（3）TSP问题因其典型性已成为各种启发式的搜索、优 化算法的间接比较标准，而遗传算法就其本质来说， 主要是处理复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机搜 索算法。因此遗传算法在TSP问题求解方面的应用研 究，对于构造合适的遗传算法框架、建立有效的遗传 操作以及有效地解决TSP问题等有着多方面的重要意 义。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
首先交换A和B的两个匹配区域，得到 A’ 8 4 | 2 3 0 | l 3 2 0 ＝9 B’ 7 1 | 5 6 7 | 9 5 4 6 ＝8 对于A’ 、B’ 两子串中匹配区域以外出现的遍历重复，依据 匹配区域内的位置映射关系，逐一进行交换。对于A’ 有2到 5，3到6，0到7的位置符号映射，对A’ 的匹配区以外的2，3， 0分别以5，6，7替换，则得 A” 8 4 | 2 3 0 | 1 6 5 7 ＝9 同理可得： B” 0 1 | 5 6 7 | 9 2 4 3 ＝8 这样，每个子串的次序部分地由其父串确定。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
3． 间接“ 节点” 编码方式。 以消除“ 一点交叉” 策略（或多点交叉策略）引起的非 法路径问题。码串长度仍为n，定义各等位基因的取值 范围为（n –i + 1），i为基因序号，解码时，根据相 应基因位的取值，从城市号集合中不回放地取一个城 市号，直至所有城市号被取完。由于这种编码方式特 征遗传性较差，因此现行的研究中很少采用。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
4.2.2 交叉策略 问题：基于TSP问题的顺序编码（其它编码如以边的 组合状态进行编码也呈现相似特性），若采取简单的 一点交叉或多点交叉策略，必然以极大的概率导致未 能完全遍历所有城市的非法路径。 如8城市的TSP问题的两个父路径为 1234|5678 8765|4321
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
适应度函数 适应度函数常取路径长度Td的倒数，即 f＝1/Td 若结合TSP的约束条件（每个城市经过且只经过一次）， 则适应度函数可表示为： f＝1/(Td +α＊Ｎｔ)， 其中Ｎｔ是对TSP路径不合法的度量(如取Ｎｔ为未遍历的城市 的个数)，α为惩罚系数，常取城市间最长距离的两倍多一 点(如2.05*dmax)。
第四章 遗传算法与组合优化
4.1 背包问题（knapsack problem） 4.1.1 问题描述
0/1背包问题：给出几个尺寸为S1，S2，… ，Sn的物体和容 量为C的背包，此处S1，S2，… ，Sn和C都是正整数；要求 找出n个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C的背 包。 数学形式： 最大化 满足
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
问题描述： 寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索整数子集X ＝{1，2，… ，n}（X的元素表示对n个城市的编号）的一个 排列π(X) = {v1，v2，… ，vn}，使
取最小值。式中的d(vi, vi+1)表示城市vi到城市vi+1的距离。
4.1 背包问题（knapsack problem）
4.1.2 遗传编码 采用下标子集T的二进制编码方案是常用的遗传编码 方法。串T的长度等于n(问题规模)，Ti(1≤i≤ｎ)＝1表 示该物件装入背包，Ti＝0表示不装入背包。基于背包 问题有近似求解知识，以及考虑到遗传算法的特点 （适合短定义距的、低阶的、高适应度的模式构成的 积木块结构类问题），通常将Pi，Si按Pi/Si值的大小依 次排列，即P1/S1≥P2/S2≥… ≥Pn/Sn。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
2．顺序交叉法(OX，Order Crossover) 与PMX法相似，Davis(1985)等人提出了一种OX法，此方法 开始也是选择一个匹配区域： A＝9 8 4 | 5 6 7 | 1 3 2 0 B＝8 7 1 | 2 3 0 | 9 5 4 6 并根据匹配区域的映射关系，在其区域外的相应位置标记H， 得到 A’ 8 4 | 5 6 7 | 1 H H H ＝9 B’ H 1 | 2 3 0 | 9 H 4 H ＝8
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
再移动匹配区至起点位置，且在其后预留相等于匹配区域的空间(H数 目)，然后将其余的码按其相对次序排列在预留区后面，得到 A” 6 7 H H H 1 9 8 4 ＝5 B” 3 0 H H H 9 4 8 1 ＝2 最后将父串A，B的匹配区域相互交换，并放置到A” ，B” 的预留区内， 即可得到两个子代： A” ＝5 6 7 | 2 3 0 | 1 9 8 4 ’ B” ＝2 3 0 | 5 6 7 | 9 4 8 1 ’ 虽然，PMX法与OX法非常相似，但它们处理相似特性的手段却不同。 PMX法趋向于所期望的绝对城市位置，而OX法却趋向于期望的相对 城市位置。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
3．循环交叉（CX，cycle crossover）法 Smith等人提出的CX方法与PMX方法和OX方法有不同之处。 循环交叉的执行是以父串的特征作为参考，使每个城市在 约束条件下进行重组。 设两个父串为 C＝9 8 2 1 7 4 5 0 6 3 D＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
4.2.1 编码与适应度函数 编码 1． 以遍历城市的次序排列进行编码。 如码串1 2 3 4 5 6 7 8表示自城市1开始，依次经城市2，3， 4，5，6，7，8，最后返回城市1的遍历路径。显然，这是 一种针对TSP问题的最自然的编码方式。这一编码方案的 主要缺陷在于引起了交叉操作的困难。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
使用这一方法，可获得较好的结果。在200个城市的TSP优 化方面，已产生接近由模拟退火程序计算出的最优结果。 不过，这一方法使用了基于问题的一些知识，损失了遗传 算法的通用性和鲁棒性。 关于TSP问题的遗传交叉方法还有各种各样的变形方法， 一般来说，交叉方法应能使父串的待征遗传给子串，子串 应能部分或全部地继承父串的结构特征和有效基因。
4.1 背包问题（knapsack problem）
惩罚函数可构造如下:
式中Em为Pi/S(1≤i≤ｎ)i的最大值，β为合适的惩罚系数。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
在遗传其法研究中，TSP问题已被广泛地用于评价不 同的遗传操作及选择机制的性能。之所以如此，主要 有以下几个方面的原因： (1) TSP问题是一个典型的、易于描述却难以处理的NP 完全（NP-complete）问题。有效地解决TSP问题在 可计算理论上有着重要的理论价值。 (2) TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概 括和简化形式。因此，快速、有效地解决TSP问题有 着极高的实际应用价值。
4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem— — TSP）
2． 采用“ 的组合方式进行编码。 边” 例如码串2 4 5 3 6 8 7 1的第1个码2表示城市1到城市2 的路径在TSP圈中，第2个码4表示城市2到城市4的路 径在TSP圈中，以此类推，第8个码1表示城市8到城市 1的路径在TSP圈中。这一编码方式有着与前面的“ 节 点” 遍历次序编码方式相类似的缺陷。
∑PX
i =1 n i
n
i
∑S X
i =1 i
i
≤ C,
X i ∈ {0,1}, 1 ≤ i ≤ n
4.1 背包问题（knapsack problem）
在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资 源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每 项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资 源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问 题。 背包问题在计算理论中属于NP— 完全问题，其计算复杂 度为O(2n)，若允许物件可以部分地装入背包，即允许X 可取从0.00到1.00闭区间上的实数，则背包问题就简化为 极简单的P类问题，此时计算复杂度为O(n)。
4.1 背包问题（knapsack problem）
4.1.3 适应度函数 在上述编码情况下，背包问题的目标函数和约束条件可表 示如下。 目标函数： J (T ) = ∑ Ti Pi 约束条件：
n
∑T S
i =1 i
n
i =1
i
≤C
按照利用惩罚函数处理约束条件的方法，我们可构造背包 问题的适应度函数f(T)如下式： f(T) = J(T) + g(T) 式中g(T)为对T超越约束条件的惩罚函数。