推荐高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2

6.2 垂直关系的性质

1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)

2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)

3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 直线与平面垂直的性质定理

阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.

1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

2.符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.

3.图形语言：如图1­6­18所示.

图1­6­18

4.作用：证明两直线平行.

在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.异面

D.相交或平行

【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.

【答案】 B

教材整理2 平面与平面垂直的性质定理

阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.

1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.

3.图形语言：如图1­6­19所示.

图1­6­19

4.作用：证明直线与平面垂直.

若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )

A.直线a必垂直于平面β

B.直线b必垂直于平面α

C.直线a不一定垂直于平面β

D.过a的平面与过b的平面垂直

【解析】α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.

【答案】 C

[小组合作型]

如图11111.求证：EF∥BD1.

图1­6­20

【精彩点拨】连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.

B1C，BD，B1D1，如图所示.

【自主解答】连接AB

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，

∴BD1⊥平面AB1C.