自动控制原理一阶系统时域分析

1
c(t) 1 et/T
T
T
初始斜率为 1T 2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
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三、一阶系统单位斜坡响应
r(t) t
R(s)
1 s2
C (s) (s)R(s) 1 1TT s2(Ts1) s2 s s1
T
c (t) L 1 [C (s) ]t T T t/e T
c(t) 初始斜率为1/T 1 0.865 0.95 0.982 0.632 h(t)=1-e-t/T
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0
T 2T 3T 4T
t
单位阶跃响应曲线
性能指标： （1）延迟时间：td=0.69T （2） 上升时间：tr=2.20T
td
c(td)1e T 0.5
t1
c (t1 ) 1 e T 0 .1
（3）调节时间：ts=3T (△=0.05)
t2
c(t2 ) 1 e T 0 .9
ts
c(ts)1eT 0.95
tr t2 t1
（4）稳态误差ess:
e s s r ( ) c ( ) 1 1 0
时间常数T反映系统的快速性
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例3.1 某一阶系统如图,(1) 当Kh=0.1时求调节时间ts, (2) 若要求ts= 求反馈系数 Kh .
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T
T
t
c(t)1eT c(0)0 ,c( )1
c& (t) 1eTt T
c& (0)1 T
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t
c(t)1eT c(0)0 ,c( )1
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c& (t) 1eTt T
c& (0)1 T
时域
频域
输出响应
传递函数
(t)
1(t) t
1 t2 2
1
1eTt
(t 0)
T
1
t
S
1e T t 0
1
t
S2
tTTeT t 0
1
1
1t2T tT2(1eT t ) t0 TS 1
S3
2
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对 该输入信号响应的导数,该特性适用于所有线性定常系统。 因此, 研究线性定常系统的时间响应, 不必对每种输入信 号进行测定和计算, 往往以一种典型输入进行研究。
A
h
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为A。
0h
t
若h→0,A=1, 则有 δ(t)
(t)
r(t)
t
0
0 t 0
称此函数为单位脉冲函数, 又称δ函数。
脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定0义
t
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L[ (t)]=1
(5)正弦函数
r(t)A si nt ()
r (t) A
式中, A为振幅, ω为角频率。
R(s) E(s)
C(s)
100/s
(-)
0K.1h
解:
(1)
(s) G (s) 1/0 s 010 0 10
1 G (s)H (s) 1 (1/0 s) 0 0 .1s 10 1 s/10
• 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s
• (2)
(s) 10/s0 1/Kh 1Kh10/s01s/10 Kh 0
4、调节时间ts：指响应达到并保持在△=±5%c(∞)
（或±2%c(∞) ）内所需要的时间。
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5、超调量σ%：指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差 的百分比，即：
%c(tp)c()100%
c()
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以上各性能指标中，上升时间tr和峰值时 间tp描述系统起始段的快慢；超调量σ% 反映系统过渡过程的平稳性；调节时间ts 表示系统过渡过程的持续时间，总体上 反映系统的快速性。
工作条件下的性能。 （3）数学表达式简单，便于理论分析。
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2、典型输入信号
（1）阶跃函数
r (t)
r(t)
R,t 0 0,t 0
R
t
表示在t=0时刻出现了幅值为R的跳变，是最不利的外 作用。R=1时的阶跃函数叫单位阶跃函数，常用1(t)表 示。常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作 用。所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着特别 重要的作用。
引言
在建立系统的数学模型基础上，可以 采用各种方法对系统进行分析或设计。 由于多数控制系统是以时间作为独立变 量，所以人们往往关心输出对时间的响 应。对系统施加一输入信号，通过研究 系统输出的时间响应来评价系统的性能 ，这就是控制系统的时域分析。时域分 析法的特点是准确、直观。
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第三章 线性系统的时域分析法
1 0.1
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即 100Kh ,得3
Kh 0.3
• 解2020题/6/17关键：化闭环传递函数为标准形式。
二、一阶系统单位脉冲响应
r(t)(t) R(s)1 C (s) (s)R (s) 1 1/T
T s1 s1/T
c(t) 1eT1t(t 0) T
c(t)
0
ωt
L[sin(t)]s2
2
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二、动态和稳态过程 1、典型信号作用下的系统的时间响应，由动态过程 和稳态过程两部分组成 2、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典 型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态 的过程。动态过程包含了系统的稳定性、快速性、 平稳性等信息。
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3-1 系统时间响应的性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 线性系统稳态误差的计算
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3-1 系统时间响应的性能指标
一、典型外作用（典型输入信号）
1、选取原则 （1）在现场或实验中容易获取； （2）控制系统在典型信号作用下的性能代表在实际
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6、稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性 能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作 用下进行测定或计算。稳态误差是系统控制精度或抗 扰动能力的一种度量。对于单位负反馈系统，稳态误 差ess定义为：
esslim [r(t)c(t)] t
稳态误差ess反映系统输出复现输入信号的最终精度。
R(s) 1 C(s) Ts1
(a)
微分方程： 闭环传递函数：
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
(s) C(s) 1 R (s) Ts 1
(b) 标准形式
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二、一阶系统单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
1
C(s)(s)R(s)s(Ts11)s(sT 1)1 ss11
T
T
c(t)1t2T tT2(1e T 1t) (t0) 2
e (t) r(t) c (t) T T t2 (1 e T 1 t)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函பைடு நூலகம்的跟踪。
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表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 输入信号
1 2
Rt
2,t
0
0, t 0
r (t)
0
t
式中，R为常数。当R＝1时, 称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因 为d2r(t)/dt2=R, 所以加速度函数代表匀加速变化的信号。
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t2 1 L[ ]=
2 s3
(4)脉冲函数
A
r
(t)
h
0th
0 t 0或t h
r (t)
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例题：加入给定值阶跃量为2.4，响应曲线 如图所示，求超调量。
c(t)
2.7 2.5
0
0.3
t/s
%c(tp)c()100%
c()
%2.72.5100%8%
2.5
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3-2 一阶系统的时域分析
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一、一阶系统数学模型
R(s) ＋ E(s) －
1 C(s) Ts
1t
e(t)r(t)c(t)T(1eT)
一阶系统能跟踪斜坡输 入信号,但存在稳态误 差。
esslt i m e(t)T
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四、一阶系统单位加速度响应
r(t) 1 t 2 2
R(s)
1 s3
C (s )(s )R (s ) (T s 1 1 )s 1 3 s A 3 s B 2 C s s D 1 s 1 3 s T 2 T s 2 s T 2 1
3、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋 向无穷时，系统输出量的表现形式。稳态过程包含 系统的稳态误差等信息。 与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能 指标。动态性能指标是在单位阶跃信号作用下定义 的。
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1、延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值一半所 需要的时间。
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L[1(t)]= 1 s
(2)斜坡函数 （也叫速度函数）
Rt,t 0
r (t)
r(t) 0,t 0
0
t
当R＝1时, 称r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R, 所以斜坡 函数代表匀速变化的信号。
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1 L[t]= s 2
(3)加速度函数
r (t )
2、上升时间tr：对于有振荡的系统，定义为响应从零 第一次上升到终值所需要的时间。对于非周期过程，指 响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；上 升时间是系统响应速度的一种度量。
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h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
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3、峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所 需要的时间。