第八节 常系数非齐次线性微分方程

可设Q ( x ) Qm ( x )
y Qm ( x )e x
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x ) 0 0 ( 2) 若 是特征方程的单根
可设Q( x ) x Qm ( x )
y xQm ( x )e
( i ) x
k ( i ) x ( i ) x y x Q e 设 y py qy P ( x )e , 1 m
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二阶常系数非齐次线性微分方程
f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ] 型 ( i ) x y x k Q e ( i ) x 设 y py qy P ( x )e , 2 m
x
1989年考研数学二, 7分
两端再对x求导,得 f ( x ) sin x f ( x ) 微分方程 即 f ( x ) f ( x ) sinx 即 y y sin x 这是二阶常系数非齐次线性方程.
13
cos x f ( t )dt
0
x 0 Pl ( x) cosx Pn ( x f ( x)属于e 4) sin 1x型. 0 (其中 0, 1, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 4) (1) 求对应齐次方程 y y 0 的通解
特征方程 r 2 1 0 特征根 r i
二阶常系数非齐次线性微分方程
y y sin x
特征根 r i
初始条件 y ( 0) 0, y( 0) 1. ( 0, 1, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1)
2 特征方程 y y 0 r 1 0 (1)对应齐次方程
非齐次 第八节 常系数非齐次 线性微分方程
f ( x ) e Pm ( x )型
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]型
x
x
小结
思考题
第七章 微分方程
作业
1
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、f ( x ) e Pm ( x )型
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
x
3
二阶常系数非齐次线性微分方程
x y py qy e Pm ( x ) Q( x ) ( 2 p)Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x )
0 ( 3) 若 是特征方程的重根
0
可设Q( x ) x 2 Qm ( x ) 综上讨论
1 ? 设 y x ( Ax B )e 2 x
5
二阶常系数非齐次线性微分方程
求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解. 对应齐次方程通解
y x ( Ax B )e
2x
Y C1e x C2e 2 x
将y, y, y 代入方程, 得 1 A 2 Ax B 2 A x 2 , B 1
k x ix ix x e [ Q e Q e ] y m m
欧拉公式
x e [Qm (cosx i sinx) Qm (cosx i sinx)]
(1) ( 2) x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sinx ]
解 此题 f ( x) e 3 x属于 Pm ( x)ex型. 其中 m 0, 3. (1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 r 2 2r 3 0 特征根
r1 3，r2 1
对应齐次方程通解 Y C1e 3 x C2e x
(2) 求非齐次方程的特解 ( 3是单根)
原方程通解为 y Y y
C1e
3 x
1 3 x C2e xe 4
x
8
二阶常系数非齐次线性微分方程
二、 f ( x) e [ Pl ( x)cos x Pn ( x)sin x] 型
f ( x ) e [ Pl cosx Pn sinx ]
x
y x Qm ( x )e
2
x
设 y x k e x Q m ( x ) ,
注
0 k 1 2
不是根 是单根 是重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数).
4
二阶常系数非齐次线性微分方程
例 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
其通解 Y C1 cos x C2 sinx.
i 0 i 是特征根.
(2)设原方程的特解为 y x [ A cos x B sin x ] 1 1 则 y x cos x 解得 A , B 0 2 2 1 方程的通解为 y C1 cos x C2 sinx x cos x 2 1 由初始条件,得 C1 0, C 2 1 x 所以, y f ( x ) sin x cos x . 2 2
设 y xAe 3 x
7
二阶常系数非齐次线性微分方程
3 x 求方程 y 2 y 3 y e 的通解.
对应齐次方程通解 Y C1e 3 x C2e x
设 y xAe 3 x
将y, y, y 代入方程,得
1 3 x 1 A , y xe 4 4
解 此题 f ( x) xe2 x属于Pm ( x)e x型. 其中 m 1, 2 (1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 特征根
r 2 3r 2 0
r1 1，r2 2
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x (2) 求非齐次方程的特解 2 是单根，
2
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二阶常系数非齐次线性微分方程
三、小结
待定系数法
(1) f ( x ) e Pm ( x )
x
y x k e x Qm ( x )
Fra Baidu bibliotek
( 2) f ( x ) e [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ]
y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sinx ]
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy Pm ( x )e x
设非齐方程特解为 y Q ( x )e x 求导代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x ) 0 (1) 若 不是特征方程的根
(1) m ( 2) m k x
x
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二阶常系数非齐次线性微分方程
自修作业
习题7-8(347页) 1.(4) (5) (9) 2. (1) (4) 6.
请按时完成作业
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x
欧拉公式
ix ix ix ix e e e e e x [ Pl Pn ] 2 2i
Pl Pn ( i ) x ( )e ( Pl Pn )e ( i ) x 2 2i 2 2i
P( x)e
( i ) x
P ( x )e
cos x ( 0 f ( t )dt xf ( x ) xf ( x ) )
x
0 x
0
积分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
设f ( x ) sin x ( x t ) f ( t )dt ,其中f为连续函数 , 0 求f ( x ). 即 f ( x ) f ( x ) sinx 即 y y sinx 其中y f ( x )为未知函数 . x (1 1x型. 1x Pn Pl 0 自由项属于 e0 ( x) cos x) sin (其中 0, 1, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1)
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是 m 次多项式, m maxl , n
k x
0 i不是根 注 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次 k 线性微分方程 .1 ±i 是单根
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二阶常系数非齐次线性微分方程
例 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 这是二阶常系数非齐次线性方程. 且
x
x ) sin 0 x ( x t ) f ( t )dt ,得 由f (0 0
初始条件 f (0) 0, 即y(0) 0; 初始条件 f (0) 1, 即y(0) 1.
x 0
又由f ( 0 x ) cos 0 x f ( t )dt , 得
0
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x 0
代入方程,比较系数.得 非齐次方程特解为
1 ?
y 2 x cos x
原方程通解为
y C1 cos x C2 sinx 2 x cos x
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二阶常系数非齐次线性微分方程
设f ( x ) sin x ( x t ) f ( t )dt , 积分方程 0 其中 f 为连续函数,求f (x). x 解 f ( x ) sin x ( x t ) f ( t )dt x 0 x x f ( x ) cos x x f ( t )dt tf ( t )dt x
f ( x )的类型 Pm ( x ),
Pm ( x )e x ,
x
Pm ( x )e cos x ,
通解结构 对应齐次方程
x
Pm ( x )e x sin x ,
y Y y Pm ( x)是m次多项式
y py qy 0
难点 如何求非齐次方程特解？ 方法 待定系数法.
1 于是 y x ( x 1)e 2 x 2 原方程通解为 y Y y
x
C 1e C 2 e
2x
1 x( x 1)e 2 x 2
6
二阶常系数非齐次线性微分方程
1992年考研数学一, 6分
3 x 求方程 y 2 y 3 y e 的通解.
其通解
Y C1 cos x C2 sin x
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二阶常系数非齐次线性微分方程
特征根 r i 这里 i 0 i 是特征根. 故设
0, 1
(2) 求非齐次方程 y y 4 sin x 的特解.
y x [ A cos x B sin x ]