极坐标与参数方程测试题(有详解答案)(最新整理)

换
x
1 3
x
后的图形为曲线
C
y
1 2
y
（Ⅰ）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程
（Ⅱ）直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ，求 PA PB 的值。
23.（本小题满分 10 分）《选修 4-4：坐标系与参数方程》 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,已 知 曲 线
坐标方程是 2 cos
（I）求圆 C 的直角坐标方程；
（II）求圆心 C 到直线 l 的距离。
21.（本小题满分 10 分）【选修 4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
M
的极坐标为
4
2,
4
，曲线 C
的参数方程为
x y
…………（2 分）
圆C的直角坐标方程为x 2 y 2 2x 2 y 0 ，
…………（3 分）
即 (x 2 )2 ( y 2 )2 1，圆心直角坐标为( 2 , 2 ) ．…………（5 分）
2
2
22
（II）方法 1：直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
( 2 t 2 )2 ( 2 t 2 4 2)2 1 t 2 8t 40 (t 4)2 24 2 6 ，
).
A.1
B.2
C.3
D.4
7.参数方程为
x
t
1 t
(t为参数)
表示的曲线是（
）
y 2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
8.
x
若直线
y
1 2t 2 3t
t为参数 与直线4 x
ky
1垂直，则常数k
（
）
1
A.-6
B. 1
C.6
1
D.
6
6
9.极坐标方程 4 cos 化为直角坐标方程是( )
因为点 P 的直角坐标（0，4）满足直线 l 的方程 x y 4 0 ，
5
所以点 P 在直线 l 上，
（II）因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos , sin ) ，
从而点 Q 到直线 l 的距离为
d |
3
cos
sin
4
|
2
cos(
6
)
4
2 cos( ) 2
为参
数，且
2
,
2
），则曲线
C1
、
C2
、
C3
所围成的封闭图形的面积是
.
三、解答题（题型注释）
17.（本小题满分 10 分）《选修 4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为
x y
3cos（为参数）
sin
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴
B、相交
C、相切
D、相离
13.在极坐标 , 0 2 中，曲线 2sin 与 cos 1的交点的极坐标为
____________.
14.在极坐标系中，圆 2 上的点到直线 cos 3 sin 6 的距离的最小值
是
.
x = 1+ cosθ
15.(坐标系与参数方程选讲选做题)
且 PA 4 ， PB 5 ，设点 A、B 到二面角 l 的棱 l 的距离为别为 x, y ．则当
变化时，点 (x, y) 的轨迹是下列图形中的
3
3
3
3
（A）
（B）
（C）
（D）
12.曲线
2
4 sin( x
4
)
与曲线
x
y
1 2 1 2
2t 2 的位置关系是（ 2t 2
）。
A、 相交过圆心 二、填空题
2
（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．
25.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
已知直线
l
的参数方程是
x
y
2t 2 2t4 2
(t是参数) ，圆 C 的极坐标方程为 2 cos( ) ． 4
2
（1）求圆心 C 的直角坐标；
（2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．
正 半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（4， ），判断点 P 与直线 l 的位置关系；
2
（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．
18.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
方程为
x
y
5 cos 3 sin
(
为参数）
x 4 2t
（Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线
从而点 Q 到直线 l 的距离为，
d
3 cos sin 4
2cos( ) 4 6
2 cos( ) 2
2
2
2
6
由此得，当 cos( ) 1 时， d 取得最小值，且最小值为 2 ……10 分 6
25.解：（I） 2 cos 2 sin ，
2 2 cos 2 sin ，
1 2
2 cos sin ,
,
（
为参数）．
（1）求直线 OM 的直角坐标方程；
（2）求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值．
22.以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 P 的极坐标
为
2,
4
，直线
l
过点
P
，且倾斜角为
2 3
x2
，方程
36
y2 16
1 所对应的切线经过伸缩变
22
22
…………（8 分）
∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6
…………（10 分）
方法 2：直线l的普通方程为x y 4 2 0 ，
…………（8 分）
| 2 2 4 2|
圆心 C 到 直线l 距离是 2 2
A．0
B．1
C．-2
D．8
3.已知 M 5, ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) 3
A、 5, 3
B、 5, 4 3
C、 5, 2 3
D、 5, 5
3
4.极坐标系中，下列各点与点 P（ρ，θ）（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线
对称的是（ ）
A．（-ρ，θ）B．（-ρ，-θ）C．（ρ，2π-θ）
A． (x 2)2 y2 4
B. x2 y2 4
C. x2 ( y 2)2 4
D. (x 1)2 ( y 1)2 4
10.柱坐标（2， 2 ，1）对应的点的直角坐标是（ ）. 3
A.( 1, 3,1 )
B.(1, 3,1 )
C.( 3,1,,1 )
D.( 3,1,1 )
11.已知二面角 l 的平面角为 ，P 为空间一点，作 PA ，PB ，A，B 为垂足，
C : sin 2 2a cos (a 0) ， 已 知 过 点 P(2,4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ：
x 2
2 t
2，
y
4
2t 2
直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N ．
（Ⅰ）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
4
（Ⅱ）若| PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,求 a 的值．
19.
x 1 （2）把
3 t
2 代入 x 2 y 2 4x ，整理得 t 2 3
3t 5 0 ，---6 分
y
1 2
t
设其两根分别为 t1, t2 , 则 t1 t2 3 3, t1t2 5 ，---8 分
所以 PQ t1 t2 7 ．----10 分
20.（1）圆 C 的直角坐标方程是 x2 +y2 -2x=0 ；
圆
C：
y
=
sinθ
(θ为参数)的圆心到直线
2
x = 2 2 + 3t
l：
y
=
1
3t
(t 为参数)的距离为
.
16. A：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，已
知曲线
C1 、
C2
的极坐标方程分别为
0,
3
，曲线 C3
的参数方程为
x
y
2 cos 2sin
（
7
解：（I）把极坐标系下的点 P (4, ) 化为直角坐标，得 P (0, 4)
2
因为点 P 的直角坐标（0，4）满足直线 l 的方程 x y 4 0 ，
所以点 P 在直线 l 上，
…………5 分
（II）因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos , sin ) ，
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程，并指明 C 是什么曲线；
（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点，求 PQ 的值．
3
x t
20.在直角坐标系
xoy
中，直线
l
的参数方程是
y
2t
(t为参数) 1
，在极坐标系（与直
角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的极
26.
已知曲线
C1
的参数方程式
x y
2 3
cos sin
（
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正
半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的极坐标方程式 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，
且
A,
B,
C
,
D
依逆时针次序排列，点
A
的极坐标为
2,
2
．
（I）求点 A, B, C, D 的直角坐标；
24.（本小题满分 10 分）《选修 4-4：坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x y 4 0 ，曲线 C 的参数方程为
x 3 cos
y
sin
(为参数）
（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 (4, ) ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；
极坐标与参数方程测试题
一、选择题
1.直线 y 2x 1的参数方程是（ ）
A、
y
x
t2 2t 2
1
（t
为参数）
B、
x y
2t 4t
1 1
（t
为参数）
C、
x t 1 （t y 2t 1
为参数）
D、
y
x
sin 2sin
1
（t
为参数）
2.已知实数 x,y 满足 x3 cos x 2 0 ， 8y3 cos 2 y 2 0 ，则 x 2 y （ ）
圆心为 A(1，0)，半径为 r 2 ．
由于点 M 在曲线 C 外，故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为
| MA | r 5 2 ．
22.
23.（Ⅰ） y2 2ax, y x 2 .
………..5 分
（Ⅱ）直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 （ t 为参数）,
y
4
2 t
2
代入 y2 2ax , 得到 t2 2 2 (4 a)t 8 (4 a) 0 ，
………………7 分
则有 t1 t2 2 2 (4 a), t1 t2 8 (4 a) .
因为 | MN |2 | PM | | PN | ，所以 (t1 t2 )2 (t1 t2 )2 4t1 t2 t1 t2 .
解得 a 1.
…………10 分
24.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
（2）圆心 C 到直线 l的距离d = 3
5
。
5
21.解：（Ⅰ）由点
M
的极坐标为
4
2,
π 4
，得点
M
的直角坐标为(4，4)，
6
所以直线 OM 的直角坐标方程为 y x ．
（Ⅱ）由曲线
C
的参数方程
x
1
2 cos , ( 为参数)，
y 2 sin
化成普通方程为： (x 1)2 y 2 2 ，
（II）设
p
为 C1 上任意一点，求
PA 2
PB
2
PC
2
PD
2
的取值范围．
试卷答案
1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.A10.A11.D12.D
13. 2, 3 14.1 15.2 4
2 16. 3
P(4, ) 17.解：（I）把极坐标系下的点 2 化为直角坐标，得 P（0，4）。
2
2
2
6
，
cos( ) 1
由此得，当
6
时，d 取得最小值，且最小值为 2.
18.（1）由已知得椭圆的右焦点为 4, 0 ，已知直线的参数方程可化为普通方程：
x 2 y 2 0 ，所以 k 1 ,于是所求直线方程为 x 2 y 4 0 。 2
（2） S 4 xy 60sin cos 30sin 2 ， 当 2 时，面积最大为 30 2
y
3
t
(t 为参数）平行的直线 l 的普通方程。
（Ⅱ）求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。
19.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重
合．直线
l
的参
2 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为：
y
1 2
t
4 cos ．
5.点 P 1, 3 ，则它的极坐标是 ( )
D．（ρ，2π+θ）
A、 2, 3
B、 2, 4 3
C、 2, 3
D、 2, 4 3
6.直角坐标系 xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点 A,B 分别在曲
x 3 cos
线
C1
:
y sin
（ 为参数）和曲线 C2 : 1上，则 AB 的最小值为(