空间的曲线及其方程

z
o
x
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y
4
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椭圆抛物面的图形如下： z
z o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特殊地：当p=q时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
旋转抛物面
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（2）双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z 2 p 2q
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回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0 表示一张球面。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
•
x A M y
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螺旋线的参数方程还可以写为
z
x a cos
y
a
sin
z b ( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比，
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度
h 2b 螺距
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Q
螺距
0 t
P
x
M
a
y
N
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三、空间曲线在坐标面上的投影
1. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面
z
C
S
C’称为曲线C在xoy平 面上的投影曲线。
o x
S称为曲线C关于xoy平
y
面的投影柱面
C’
2. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面的方程
设空间曲线C的一般方程：
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
1 2
在坐标面上的投影。
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3 4
在 xoy面上的投影为
x
2
y2
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消去z得： h( x, y) 0
表示：以曲线C(或C’)为准线，母线平行于z轴的柱面——曲 线C关于xoy平面的投影柱面。
C
h(x, y) 0
z
0
表示：曲线C的投影柱面与xoy平面的交线——曲线C在xoy
平面上的投影曲线。
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
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1
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四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。 目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。 即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
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椭球面的几种特殊情况：
(1)
a b,
x2 y2 z2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
y2 z2
a
2
c2
1
或
b2
c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2) a b c,
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解 取时间t为参数，动点M从A(a,0,0)点出发
经过t 时间，运动到M (x, y, z)处
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
z
在圆
x2
y2
a2 上，
所以
z 0
x a cos t
y
a
sin
t
z vt
螺旋线的参数方程
t
o
M
y(t )
z z(t)
空间曲线的参数方程
注：（1）随着参数t 的变化可得到曲线上的全部点(x, y, z)。
（2）消去参数t，可得到两个柱面方程，因此空间曲线的参 数方程也可视为两张柱面的交线。
例3 设空间一动点M在圆柱面 x 2 y2 a 2上以角速度ω绕
z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升，试求 该动点M运动的轨迹方程。
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z a2 x2 y2
例2
方程组
(
x
a 2
)2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a)2 y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图。
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二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
z
o
y
x
oy x
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第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线：
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
注意：空间曲线的曲线方程 不是唯一的。 x
z
S月16日星期六
yoz 面上的投影曲线
xoz面上的投影曲线
h( y, z) 0
x
0
h( x, z) 0
y
0
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如图:投影曲线的研究过程
空间曲线
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投影柱面
投影曲线
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x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
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（二）抛物面
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（1）椭圆抛物面
x2 2p
y2 2q
z
（p与q同号）
用截痕法讨论： 设p与q都大于零。 （1）用坐标面 xoy (z=0) 去截； （2）用平面 z z1(z1 0) 去截； （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截； （4）用平面x x1或y y1去截；
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例1 下列方程组表示怎样的曲线？
(1)
x2
x
2
y2 y2
1 z2
1
x2 y2 1 (2)
z 0
x2 y2 z2 1 (3)
z 0
x cos t
(4)
y
sin t
z 0
x2 y2 1 (5)
2x 3y 3z 6
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( p与q同号 )
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0
z
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o x
y
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（三）双曲面
（1）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
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（2）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面