圆周角与圆心角的关系练习题.doc
圆心角圆周角练习题
圆心角圆周角练习题圆心角和圆周角是圆内角的一种特殊形式，它们在几何学中具有重要的地位。
本文将介绍关于圆心角和圆周角的一些练习题，帮助读者加深对这一概念的理解。
一、选择题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是：A. 圆心角大于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角小于对应的圆周角2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为56°，则对应的圆周角的度数为：A. 56°B. 112°C. 224°3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为72°，则弧AB所对应的圆周角的度数为：A. 72°B. 144°C. 288°5. 在同一个圆中，圆心角和对应的弧所对应的圆周角之间的关系是：A. 圆心角小于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角大于对应的圆周角二、填空题1. 在同一圆中，一条弧的度数等于其所对应的圆周角的度数，则这条弧所对应的圆心角的度数为________。
2. 在圆O中，已知∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为________。
3. 在同一个圆中，圆心角的度数等于所对应的弧所对应的圆周角的度数，则该弧所对应的圆周角的度数为________。
三、解答题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是什么？为什么？2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为60°，则对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为90°，则弧AB所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
总结：本文通过选择题、填空题和解答题的形式，对圆心角和圆周角的概念进行了练习和探讨。
圆周角和圆心角的关系-练习题
第3章第4节圆周角和圆心角的关系同步检测一•选择题1.如图，正方形力0加的四个顶点分别在00上，点戶在 仞上不同于点C 的任意一点，则 ZBPC 的贾数是( )解析：解答：连接血，OQ•••正方形月救的四个顶点分别在O0上,A ZB0C=90° ,1• •• ZBPC 二一 ZB0C=45° .2故选A.分析：首先连接仞，0C,由正方形月血9的四个顶点分别在00上，辭ZB0C=90° ,然后 由圆周角定理，即可求得曲乞的度数.2•如图，都是O0的弦，且ABICD.若乙CDBf2° ,则Z/ld 的大小为() A. 28°A 厂/\ B. 31° C. 38° D. 62°答案：A解析：解答： ••• AB± CD、• •• ZDPB=90° 9••• ZCDB=62。
,:.ZB=180Q -90° ・62° =28° 9• •• ZACD二ZB=28° .故选A.分析：利用垂直的定义得到ZDPHX ,再根据三角形内角和定理求岀乙=180° -90° -62° =28°,然后根据圆周角定理即可得到厶仍的度数.3•如图，月〃是00的直径，若ZBAC=35° ,则ZADC=( )答案：B解析：解答：:•: AB是00的直径，:.ZACB=90D ,TZ丽035° ,:.ZABC=\80Q -90° -35° =55° ,A AADC=ZABO^ ・故选B.分析：先根据圆周角定理求出ZACB=90° ,再由三角形内角和定理得出仇?的度数，根据圆周角定理即可得出结论.4.下列命题中，正确的命题个数是( )①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等.A. 1个B. 2个C・3个D. 4个答案：A解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行.错误;②中，必须是同弧或等弧所对，错误；③正确；④中，必须在同圆或等圆中，错误.故选A.分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断.5 •如图，已知儿B, C在00 ACB为优弧,下列选项中与Z应矽相等的是（）A. 2乙CB. 4ZBC. 4ZJD. ZB+ZCA答案：A解析：解答：如图，由圆周角定理可得：ZA0B=2ZC.故选：A.分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.根据圆周角定理，可得ZA0B=2ZC.6•如图，00的弦与直径巾?相交，若ZACD=35° ,则ZBAA J）A. 55°B. 40°C. 35°D. 30°答案：A解析：解答:•:乙ACD与Z〃是月〃对的圆周角，:•乙B二ZACD=35° ,是G>0的直径，:.ZADB=90D ,A ZBAD=90D -Z伊55°・故选A.I分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得Z〃的度数，又由AB 是00的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得ZADB嘶,继而可求得Z丽〃的度数.7.如图，00是△/L%、的外接圆，若ZAB0400 ,则ZAOC的度数为（）A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°解析：解答:7 00是△旳滋的外接圆，ZABC=40Q, :.ZA0O2ZAB （=S0° ・故选:D.分析：由00是△川％的外接圆，若Z 川?040° ,根据圆周角定理，即可求得答案.8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心0在格点上，则Z/1劭 的正切值等于（ ）C. 2解析:解答：V ZE=ZABD,A tanZAED=tanZABD=—=-AB 2故选D.分析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解.9•如图，AABC 的顶点均在（90上，若ZABC+ZA0C=90° ,则ZA0C 的大小是（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°解析：VZABC =1ZAOC, 而 ZABC+ZA0C=90° ,A - ZA0C+ZA0C=90o,B2A ZA0C=60°・故选：c.分析：先根据圆周角定理得到ZABC= - ZAOC ,由于ZABC+ZAOC=90° ,所以2-ZA0C+ZA0C=90o ,然后解方程即可.210.如图，初是00的直径，m是。
初中数学 圆周角和圆心角的关系同步练习及答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余试题2:如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )A．2对 B．3对 C．4对D．5对试题3:如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．试题4:如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°试题5:如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120°试题6:下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个B、2个C、3个D、4个试题7:如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝．试题8:如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝．试题9:如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．试题10:如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 试题11:如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+24．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD7．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．已知⊙O的半径为3，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝3，AC＝3，则∠BAC的度数是（）A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°二．填空题9．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB ＝．11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为．12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE ＝．14．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝．15．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．16．已知：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，若以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE∥AB，DE与AC相交于点E，则DE＝．三．解答题17．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且＝．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB．20．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．21．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A＝∠GEF．参考答案一．选择题1．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，∵∠AOC＝80°，∴的度数是80°，∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即M为的中点，∴和的度数都是80°＝40°，∵＞，∴40°＜的度数＜80°，∴20°＜∠CED＜40°，∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；故选：C．2．解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．3．解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．4．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝90°﹣50°＝40°，延长AE交⊙O于点M，∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC＝2∠EAD＝80°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．6．解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．7．解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．8．解：分为两种情况：①当圆心O在∠BAC的内部时，如图所示，过O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，连接OA，∵OE⊥AB，OE过圆心O，AB＝3，∴AE＝BE＝，由勾股定理得：OE＝＝＝，即OE＝AE，∴∠BAO＝45°，∵OD⊥AB，OD过圆心O，AC＝3，∴AD＝CD＝，∵OA＝3，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；②当O在∠BAC的外部时，由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；故选：B．二．填空题9．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为：15°10．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，∴CP＝4，根据相交弦定理得，16＝AP×4AP，解得AP＝2，∴AB＝10．11．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°12．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝OB＝BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．故答案为：60°或120°．13．解：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°．故答案为：60°．14．解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A+∠E＝85°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，∵∠BCD＝∠F+∠CBF，∴∠F＝125°﹣85°＝40°．故答案为40°．15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．16．解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴D为BC的中点，又∵DE∥AB，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×4＝2．三．解答题17．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连接AE，如图，∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝，∴sin∠ABD＝＝＝．18．解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．19．证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；（2）如图，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴＝，∴CD＝CB．20．（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝P A，∵∠DF A+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴P A＝PF，即：P是AF的中点；（3）解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，∴△FDA∽△ADB，∴＝，由题意可知圆的半径为5，∴AB＝10，∴＝＝＝，∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，即：tan∠ABF＝．21．（1）证明：∵AE＝EB，AD＝DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB＝∠ABF，又∵∠C＝∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF＝2AD，∴．22．证明一：（1）连接DF，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝DC＝AB，∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，∴BF＝FC，即F是BC的中点；（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠BDF＝∠GEF（圆周角定理），∴∠A＝∠GEF．证明二：（1）连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°．∵∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF＝CD，DF＝EC．∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝AB．∴△DBF≌△EFC．∴BF＝FC，即F是BC的中点．（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC．∵∠ACB＝90°（也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC），∴∠A＝∠FEC．∵∠FEG＝∠BDF（同弧所对的圆周角相等），∴∠A＝∠GEF．（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）。
圆周角和圆心角的关系
定 理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半．
D A C
O
·
B
E
1、说出图中相等的圆周角。
2、如图，已知△ABC内接⊙O，∠A=30°， BC=2.8cm，求⊙O直径长。
3、如图，AB为⊙O直径，∠ACB为多少度？
D A C O
·
B
E
【1】如图：求∠A +∠ B+∠ C+∠D+ ∠E=
.
【2】如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
【3】如图,∠A是⊙O的圆周角。 若∠B=250,∠C=200,求∠BOC的度数。
A O
B
C
定理
推 论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
A
·
O
B
【4】如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C
与⊙O 的弦AB 相交于点D.
求证:D 是AB的中点.
【5】如图，AD是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：∠BAE=∠DAC.
定理
推 论
直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
A
·
O
B
【例1】如图，AB为⊙O直径，BD是⊙O的弦， 延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么 关系？为什么？
4、如图，∠ BCD=100°，则∠BOD=___, ∠BAD=___,
四边形ABCD叫圆内接四边形。
BC AB AC 10 6 8
圆周角和圆心角的关系中考题目完整版
圆周角和圆心角的关系中考题目Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】圆周角和圆心角的关系-----中考链接能力提升题一．选择题（共12小题）1．（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A． 3 B．4 C．5 D．82．（2013珠海）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°3．（2013?湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°4．（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°5．（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A． 4 B．5 C．6 D．76．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°7．（2013?日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB?AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD8．（2013?南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）A． 4B．5 C．4 D．39．（2013?济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（）A． 2 B．3 C．4 D．610．（2013?临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（2013?红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A． AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA12．（2013?黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A． 3 B．2C．3D．2二．填空题（共6小题）13．（2013?淄博）如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=_________ ．14．（2013?黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为_________ ．15．（2013?盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD= _________ ．16．（2013?常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= _________ ．17．（2012?徐州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6．则sin∠ABD=_________ ．18．（2012?泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为_________ ．三．解答题（共4小题）19．（2013?武汉）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．20．（2013?温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．21．（2013?哈尔滨）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．（1）求证：AB=AC（2）若BD=4，BO=2，求AD的长．22．（2012?大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．参考答案一．选择题（共12小题）1． C2． A．3． B．4． C．5． B．6． C．7． D．8． B．9． C．10． B．11． D．12． A．二．填空题（共6小题）13．．14．50°．15． 4．16． 2．17．．18．．三．解答题（共4小题）19．解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，∵AB=AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连结OB，则∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，∴OD==7x，在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵点P是的中点，∴OP 垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，OE==15x，∴PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，tan∠PAE===，即tan∠PAB的值为．20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．21．解：（1）连接BE，CD，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=∠BEC=90°，∴∠ADC=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．（2）∵BO=2，∴BC=4，在Rt△BDC中，CD==8，设AD=x，则AC=AB=x+4，在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，解得：x=6．即AD=6．22．解：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，∴cos30°==，∴CD=，∵AD=CD，∴AC=3，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴AE=×3=．。
圆心角与圆周角的关系(1)
O.
B
y= -
1 x 2
+900
D
2.如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上， ∠C=300，AB=4cm. C 求⊙O的半径. .
O A B
作
二、能力提升：
业
一、基础演练： 课本P111习题3.4
在圆中，若一条弦所对的圆心角是500 ，求其所 对的圆周角.
三、问题解决： 当球员站在B，D， E的位置（点B、D、E在 同一个圆上）射球时,对 球门AC的张角的大小相 等吗？
练一练（一） 1.下列各图形中的角是不是圆周角？ 请说明理由.
A
B
C D
D
2.点A、B、C、D在同一个 圆上，AC、BD交于点E，请找 A 出图中的圆周角.
C E
B
做一做：
在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆 心角与圆周角。 A
A C C A C O
O B ① B ②
O
B
③
猜一猜：
∠ABC与∠AOC有什么等量关系？
1 ∠ABC= ∠AOC。 2
证明： 作直径BD ∵ ∠AOD是△ABO的外角
A D O C
∴ ∠AOD=∠A+∠ABO
∵ OA=OB
∴ ∠A=∠ABO
1 ∴ ∠ABO= ∠AOD 2 1 同理 ∠CBO= ∠COD 2 1 2 1 即∠ABC= ∠AOC 2
B ②
∴ ∠ABO +∠CBO=
（ ∠AOD+ ∠COD）
如图，在射门游戏中，球员射中球门的
难易与他所处的位置（如点B）对球门AC的
张角（∠ABC）有关.
当他站在B，D，E的位置（点B、D、E 在同一个圆上）射球时,对球门AC的张角的大 小相等吗？
3.4圆周角与圆心角的关系同步练习2023-2024学年北师大版九年级下册+
北师大版九年级下3.4 圆周角与圆心角的关系一．选择题（共10小题）1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（）A．76°B．52°C．50°D．38°2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD=41°，则∠BCD的大小为（）A．41°B．45°C．49°D．59°3．如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点E为弧AD的中点，连接AD、BE，若∠ADC=26°，则∠ABE的度数为（）A．36°B．34°C．32°D．30°4．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=125°，则∠BOD的大小是（）A．100°B．110°C．120°D．125°5．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交AB于点E，点F是劣弧AD上一点，射线AF交CD的延长线于点P，若OE=BE，且∠P=α，则∠FCP=（）A．α B．2α C．60°-α D．45°-α7．如图，已知AB是⊙O的弦，C为⊙O上的一点，且OC⊥AB于点D，若∠ABC=25°，则∠OBD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD=100°，则∠BAD的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O，分别交AB，BC于D，E，连接DE，CD，若∠B=70°，则∠CDE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°10．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O恰好经过点C，AC，DO交于点E，已知AC平分∠BAD，∠ADC=90°，CD：BC=2：√5，则CE：AE的值为（）A．2:√5B．4：5 C．√5:2√2D．5：8 二．填空题（共4小题）11．已知点A，B，C在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数为 ______ ．12．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB=46°，∠OBC=65°，则∠OAC=______ °．13．如图，在⊙O中，A是优弧BC上一点，∠BAC=α，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，则图中角度大小为2α的角是 ______ ．14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=140°，则∠BCD的度数为______ ．三．解答题（共5小题）15． 如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的两点，连结AB ，BC ，CD ，BD ，若∠A+∠D=80°，求∠ACB 的度数．16． 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，连接AC 、BD ，∠C=75°；∠D=45°．（1）求∠AEC 的度数；（2）连接OC ，若AC=2 √6 ，则⊙O 的半径为 ______ ．17． 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接OD ．（1）求证：OD ∥AC ；（2）若AE=8，CE=2，求BD 的长．18． 如图，CD 是⊙O 的直径，AC 是弦，B 是 AC ― 上一点，E 是CD 延长线上一点，连接AB ，BC ，AE ．（1）求证：∠ABC-∠ACD=90°；（2）若∠CAE=∠ABC ，⊙O 的半径为6，AE=8，求CE 的长．19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠E=∠D；（2）若AB=6，BC-AC=2，求CE的长．。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
(完整版)圆心角圆周角的经典练习
圆心角和圆周角同步练习一、填空题: 一、填空题：1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．2. 如图1，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，130AOC ∠=o， 则弧AD 的度数为 ，CAD ∠的度数为 ，ACD ∠的度数为 ．图1 图23. 如图2，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=o，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．4. 如图3，弧ACB 与弧ADB 的度数比是5:4，则AOB ∠= ，ACB ∠=，ADB ∠= ， CAD CBD ∠+∠= ．5. 如图4，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，点E ，F 分别在弧AC 和弧BC 上，若50ABC ∠=o，则BEC ∠= BFC ∠=．图图56. 如图5，已知：圆O 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=o，47ABC ∠=o，则AOB ∠=__________度．1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是»AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DDCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有______对相等的角。
3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.Ａ4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, »»BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DDCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是¼CAD上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.16.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)答案：1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD 是等边三角形,从而CD= 4cm. 14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2. 15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴»»BCBD ,∴∠COB= ∠DOB. ∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.16.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》自主达标测试(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》自主达标测试（附答案）一．选择题（共12小题，满分36分）1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（）A．150°B．120°C．105°D．85°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝45°，则∠DAC的度数为（）A．70°B．67.5°C．62.5°D．65°6．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°，则∠OBC ＝（）A．15°B．20°C．30°D．35°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝50°，则∠ADC的大小为（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为其两条对角线，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝45°，连接OA，OB，则∠OAB的大小为（）A．15°B．20°C．22.5°D．25°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若cos∠CBA＝，EF＝3．则AB的长为（）A．10B．12C．16D．2011．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（）A．80°B．100°C．110°D．120°12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP ＝QO，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，点C是半圆O上的点，若∠CAB＝4∠CBA，点D 是上任意一点，则∠BDC的度数为度．14．⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝．15．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC上任意一点，则∠D＝．16．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P 是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为．17．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于．18．如图，在⊙O中，∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于．20．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝．三．解答题（共10小题，满分60分）21．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．（1）求证：OC∥AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A＝15°，AB＝4．求弦CD的长．23．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．24．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．25．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．26．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．27．如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE＝2，DE＝4，求弦AB的长．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．29．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与P A•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．30．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF＝32，AD＝6．（1）求证：AE＝BE；（2）求DE的长；（3）求BD的长．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分）1．解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，∴∠B＝60°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，故选：A．2．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵⊙O的半径为，AC＝2，∴AD＝3，∴sin D＝＝，∵∠B＝∠D，∴sin B＝．故选：A．3．解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°．∴∠BOD＝2∠A＝2×75°＝150°，故选：A．4．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝140°，∴∠A＝40°，∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着，∴∠A＝BOD，∴∠BOD＝2×40°＝80°，故选：C．5．解：∵∠CBE＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝45°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝67.5°，故选：B．6．解：如图所示：∵∠ADC＝35°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴∠AOB＝70°，∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣70°＝20°，故选：B．7．解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE＝OC＝OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．8．解：∵∠CAD＝30°，∴所对的圆心角的度数是60°，∵CB＝CD，∴＝，∴所对的圆心角的度数也是60°，∵∠ACD＝45°，∴所对的圆心角的度数是90°，∴所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴∠AOB的度数是150°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣150°）＝15°，故选：A．9．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．10．解：连接BD，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°,∠ABD+∠BDE＝90°，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠EF A＝∠CBA，∵cos∠CBA＝，EF＝3，∴AF＝＝5，∴AE＝4，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴DF＝AF＝5，∴DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．故选：D．11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝80°，∴∠C＝100°，故选：B．12．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝4∠ABC，∴5∠ABC＝90°，∴∠ABC＝18°，∠A＝72°，∵∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝108°，故答案为：108．14．解：如图，连接OA，OB，∵过点P的最短的弦AB＝6cm，∴OP⊥AB，∴AP＝BP＝AB＝3（cm），∵OP＝3cm，∴tan∠AOP＝＝＝，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AQB＝AOB＝60°，∴∠AQ′B＝180°﹣∠AQB＝120°，故∠AQB＝60°或120°，故答案为：60°或120°．15．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．16．解：如图，连接AD，P A，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故答案为：2．17．解：连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4，故答案为：4．18．解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝80°，∴∠BAC＝∠BOC＝40°．故答案为：40°．19．解：∵∠BOD＝138°，∴∠A＝∠BOD＝69°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．故答案为：69°．20．解：由相交弦定理得，AP•BP＝CP•DP，则DP＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共10小题，满分60分）21．（1）证明：连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，∵点C为的中点，∴＝，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；（2）解：设BE交OC于点T．∵CD⊥AD，∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，∵OC⊥EB，∴BT＝TE＝2，设OB＝OC＝r，则r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．22．解：∵∠A＝15°，∴∠COB＝30°．∵AB＝4，∴OC＝2．∵弦CD⊥AB于E，∴CE＝CD．在Rt△OCE中，∠CEO＝90°，∠COB＝30°，OC＝2，∴CE＝1．∴CD＝2．23．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△P AD∽△PCB；（2）解：∵△P AD∽△PCB，∴＝，∵P A＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，当PD＝4时，PC＝6，当PD＝6时，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．24．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．25．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．26．解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据题意得AE•BE＝CE•DE，所以x（4﹣x）＝5•1，整理得x2﹣4x+5＝0，解得x＝2±，即EC的长为2+或2﹣．27．解：∵过弦AB的中点E作弦CD，CE＝2，DE＝4，∴CE×DE＝AE×BE，∴2×4＝AE2，解得：AE＝2，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝4．28．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．29．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，∠M＝∠B，∴△APM∽△NPB，∴，即PM•PN＝P A•PB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD＝P A•PB＝（5﹣3）（5+3）＝16，又CD＝，设PC＝x，则PD＝﹣x，则有x（﹣x）＝16，解得x＝3或x＝．即PC＝3或，PD＝或3．30．（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，∴∠ABE＝∠AFB．又∠AFB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB．∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．∴∠BAE＝∠ACB．∴∠ABE＝∠BAE．∴AE＝BE．（3分）（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE•EF＝32，AE•EH＝BE•EF，则（6﹣x）（6+x）＝32，解得x＝2，即DE的长为2；（5分）（3）解：由（1）、（2）有：BE＝AE＝6﹣2＝4，在Rt△BDE中，BD＝＝．（7分）。
圆心角与圆周角练习题
圆心角与圆周角练习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么对应的圆周角：A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 可能相等2. 已知圆的半径为5，圆心角为30°，求圆周角的度数：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3. 在圆中，圆心角的度数是圆周角度数的：A. 2倍B. 1/2倍C. 1/4倍D. 4倍4. 如果一个圆周角的度数是60°，那么它所对的圆心角是：A. 120°B. 60°C. 30°D. 180°5. 在同圆或等圆中，圆心角和圆周角的关系是：A. 相等B. 互补C. 互余D. 没有固定关系6. 已知圆的半径为10，圆心角为45°，求圆周角的度数：A. 22.5°B. 45°C. 90°D. 无法确定7. 圆心角和圆周角的关系可以用以下哪个公式表示：A. 圆心角= 2 × 圆周角B. 圆周角= 2 × 圆心角C. 圆心角 = 圆周角D. 圆周角 = 圆心角 / 28. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的圆心角是：A. 45°B. 90°C. 180°D. 270°9. 在圆中，圆心角和圆周角的度数之和：A. 总是等于180°B. 总是等于360°C. 总是小于360°D. 总是大于360°10. 已知圆的半径为8，圆心角为60°，求圆周角的度数：A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共20分）11. 在同圆或等圆中，如果圆心角是圆周角度数的2倍，那么圆周角的度数是圆心角的________倍。
12. 圆心角的度数是圆周角度数的________倍。
5.4+圆周角和圆心角的关系同步练习++++2023—2024学年鲁教版(五四制)数学九年级下册
4 圆周角和圆心角的关系同步练习2023-2024学年九年级下册数学鲁教版第1课时圆周角定理及其推论 1、2知识点①圆周角1.下列图形中的角是圆周角的是 ( )知识点❷圆周角定理2.如图,点A,B,C在⊙O 上,若∠C=55°,则∠AOB 的度数为 ( )A.95°B.100°C.105°D.110°3.如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,点 C在⊙O 上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )A.30°B.40°C.50°D.60°4.如图,△ABC 的三个顶点在⊙O 上,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC 的长度为 .知识点❸圆周角定理的推论15.如图,AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,连接CD,OD,AC,若∠BOD=124°,则∠ACD 的度数是( )A.56°B.33°C.28°D.23°6.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点 A, B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 .7.如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,AB∥CD,点 E是⊙O上的点,连接 BE,交 CD 于点 F,连接ED,若̂的度数.AE的度数是100°,∠CDE=30°,求BD知识点❹圆周角定理的推论28.如图,在⊙O 中,弦AB,CD相交于点 P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B 的度数是 ( )A.35°B.45°C.60°D.70°̂上的点，若AB=AC,AC=5,AD=6,则AE的长为9.如图,△ABC 的顶点都在⊙O 上,点 D 是BC.10.如图，AB，CD是⊙O 内两条相交的弦,交点为 E,若AE=DE,BC=BE,则∠AED= °.11.如图,四边形ABCD的顶点都在⊙O 上,点 E 在对角线AC上,BC=DC=EC.(1)求证:BE平分∠ABD;(2)若∠CBD=38°,求∠BAD 的度数.12.如图,OA,OB, OC 都是⊙O 的半径, ∠ACB =2∠BAC.(1)求证:∠AOB=2∠BOC;(2)若AB=4,BC= √5,求⊙O 的半径.13.船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险.如图，A，B两点表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧ACB 是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”.当船分别位于D，E，F，G四个位置时，船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB 的是 ( )A.∠ADBB.∠AEBC.∠AFBD.∠AGB第2课时圆周角定理的推论3知识点⑤圆周角定理的推论31.如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O上,CD是⊙O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )A.41°B.45°C.49°D.59°2.如图,在△ABC中,AB=AC,三个顶点A,B,C均在⊙O 上,BD过圆心O,连接AD.当∠OBC=40°时,∠ADB 的度数是 ( )A.45°B.55°C.65°D.75°3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD交AB 于点 E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.4.如图,⊙O的直径AB=2,弦AC=1,连接BC,点D在⊙O上,则∠D的度数是 .5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直径为10的⊙A经过y轴上的点C和原点O，点 B 是y轴右侧⊙A 的优弧 OBC上一点,∠OBC=30°,则点 C的坐标为 .6.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=45°.(1)求∠ABD的度数;(2)若∠CDB=30°,BC=5,求⊙O的半径.7.如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，连接BD,BC平分∠ABD.(1)求证:∠CAD=∠ABC;(2)若AD=4,求CD的长.8.如图,△ABC 的三个顶点在⊙O上,AB 为⊙O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD 的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA;(2)求 OE的长.9.如图,等边△ABC的三个顶点都在⊙O 上,点 D 是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB 最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个̂=AD̂,连接AD、AB,AC、BD 相交于点E,若10.如图,BD 是⊙O的直径,点A、C在⊙O 上, AB∠COD=126°,则∠AEB 的度数为 .11.如图,点A,C,D,B 在⊙O 上,AC = BC,∠ACB = 90°.若 CD =a, tan ∠CBD =13,则AD 的长是 .12.已知四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，对角线 BD 是⊙O 的直径. (1)如图1,连接OA,CA,若OA ⊥BD,求证:CA 平分∠BCD;(2)如图2,E 为⊙O 内一点,满足AE ⊥BC,CE ⊥AB.若BD = 3 √3,AE = 3,求弦 BC 的长.13.如图， △ABC 的三个顶点都在⊙O 上，且AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且 AD ̂= BD ̂,连接CD 交 AB 于点 E.若 tan ∠CDB =12,求 CECD 的值.14.如图，在 △ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,D 是AB 上一动点，连接CD ，以CD 为直径的⊙M 交AC 于点E,连接BM 并延长交AC 于点 F,交⊙M 于点 G,连接BE. (1)如图1,当点D 移动到使CD ⊥BE 时. ①连接DE,求证:BD=AE; ②求 BD: BC 的值.(2)如图2，当点 D 移动到使 CĜ的度数为 30°时，求证： AE ²+CF ²=EF ².。
圆周角圆心角练习题
圆周角圆心角练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是同弧所对圆心角的度数的______。
A. 1/2B. 2倍C. 3倍D. 4倍2. 若圆心角为40°，则同弧所对的圆周角为______。
A. 20°B. 40°C. 80°D. 120°3. 在圆中，若一条弦所对的圆心角为60°，则这条弦所对的圆周角是______。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠B的度数为______。
A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°5. 已知圆的半径为5，圆心角为120°，那么这个圆心角所对的弧长为______。
A. 5πB. 10πC. 15πD. 20π二、填空题6. 若圆周角为45°，则同弧所对的圆心角为______。
7. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为100°，则弦AB所对的圆周角为______。
8. 已知圆的半径为10，圆心角为150°，则这个圆心角所对的弧长为______。
9. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=90°，则∠B的度数为______。
10. 若圆的半径为8，圆心角为90°，则这个圆心角所对的弧长为______。
三、简答题11. 解释什么是圆周角，并说明它与圆心角的关系。
12. 给出一个圆内接四边形的例子，并说明其对角互补的性质。
13. 解释如何计算一个圆心角所对的弧长。
14. 在圆中，如果知道圆周角的度数，如何计算同弧所对的圆心角的度数？15. 圆内接四边形的对角互补性质在实际问题中有哪些应用？四、解答题16. 已知圆的半径为6，圆心角为60°，求这个圆心角所对的弧长。
17. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB所对的圆周角的度数。
《圆周角定理典型例题及练习》
《圆周角定理典型例题及练习》圆周角定理典型例题及练
引言
圆周角定理是解决与圆相关的几何问题的重要工具之一。
本文将介绍一些典型的圆周角定理例题，并提供相关练，以帮助读者加深对圆周角定理的理解和应用。
例题
例题 1
已知圆 O 的半径为 r，圆心角为α 度，求圆周角的大小。
解答
根据圆周角定理，圆周角的大小等于圆心角的两倍，即圆周角= 2 * α 度。
例题 2
已知弧 AB 的长度为 l，圆心角为α 度，求弧 AC 的长度。
解答
根据圆周角定理，圆心角所对应的弧长与圆心角成正比。
设弧AC 的长度为 x，则根据比例关系有l / α = x / 360°。
解得 x = l * (360° / α)。
练
1. 已知圆 O 的半径为 5 cm，圆心角为 60°，求圆周角的大小。
2. 已知弧 BC 的长度为 8 cm，圆心角为 120°，求弧 AB 的长度。
请在纸上计算后，再比较答案。
总结
圆周角定理是解决与圆相关的问题的重要定理。
通过学习典型
例题和进行相关练习，可以加深对圆周角定理的理解和应用能力。
希望读者通过本文的学习，能够更好地掌握圆周角定理，并能够灵
活运用到实际问题中去。
圆周角与圆心角的关系
圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时， 则 1o= 360（） ，而此时AB的度数=360（）∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ，角的两边 ，叫圆周角 练习：判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系：圆周角与弧的度数的关系：在等圆或同圆中，弧、圆周角、圆心角的关系：1、等弧所对的圆周角、圆心角 ；2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ，90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°，则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°，则它所对的弧是___________． 三、练习：1、在下列图形中找出相等的角D2、如图，已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。
4、如图，点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点，且点D 是弧AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中，∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。
6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．7、如图AB 为直径，∠BED ＝40°则∠ACD ＝______．8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径，∠AOB ＝40°，∠OBC ＝50°， 则∠ACB ＝______∠OAC ＝______． 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为12、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠D 的度数为13、如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为13、1如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为14、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于OBABO。
圆周角和圆心角的关系练习题-基础
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（基础）一、选择题1．（2016•张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC 的度数是（）A．75°B．60°C．45° D．30°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8. （2016•嘉定区一模）在⊙O中，已知=2，那么线段AB与2AC的大小关系是．（从“＜”或“=”或“＞”中选择）9．如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H ，BD∥OC，则∠B的度数是 .10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝ .（第11题图）（第12题图）ODA BC（第10题图）12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．（2015•嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB ﹣∠ABC=30°．故选D ．2.【答案】D ；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A ；【解析】∵弦AB ∥CD ，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B ；【解析】 ∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A ；【解析】 ∠BAD=∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D ；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°． 12∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】＜【解析】如图，∵=2，∴=，∴AC=BC，在△ABC中，AC+BC＞AB，∴AB＜2AC，故答案为：＜．9．【答案】60°；10．；11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²，x＝, 即AB的长＝.第11题 第12题12．【答案】90° ； 【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF ．理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE=90°=∠ADC ，又∠AEB=∠ACB ，∴∠BAE=∠CAF ，∴．∴BE=CF ．14.【答案与解析】BE CF解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，∴（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ， 所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ，即AE=BF ．(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则， ＝54(cm 2)．11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯。
圆心角与圆周角的专题练习2
圆周角和圆心角的练习题一、选择题1．圆周角是24°，那么它所对的弧是________ A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．2．在⊙O中，∠AOB=84°，那么弦AB所对的圆周角是________A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．〔〕A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，那么∠AOD=___[ ] A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题6．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．7．：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°〔如图〕．求BD的长．8．如图，半圆的直径AB =13cm ，C 是半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，并且CD =6cm ．求AD 的长．、9．如图，圆内接△ABC 的外角∠MAB 的平分线交圆于E ，EC =8cm ．求BE 的长．10．：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，且AB =a ．求DE 的长．11．如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CFA =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小． 12．如图，⊙O 的内接正方形ABCD 边长为1，P 为圆周上与A ，B ，C ，D 不重合的任意点．求PA 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2的值．13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =135°，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A 交AD ，BC 于E ，F 两14．如图，⊙O 的半径为R ，弦AB =a ，弦BC ∥OA ，求AC 的长．15．如图，在△ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的平分线交△ABC 的外接圆于D ，E 和F ，如果，，分别为m °，n °，p °，求△ABC 的三个内角．16．如图，在⊙O 中，BC ，DF 为直径，A ，E 为⊙O 上的点，AB =AC ，EF =21DF ．求∠ABD +∠CBE 的值．17．如图，等腰三角形ABC 的顶角为50°，AB =AC ，以数．第二页18．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．19．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1〔如图〕．求CE的长．21．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD 的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE 的度数．27．：如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =38°，以C 为圆心，BC 为半径作圆，交AB 于D ，求的度数．第三页28．如图，△ABC 内接于圆O ，AD 为BC 边上的高．假设AB =4cm ，AC =3cm ，AD =2．5cm ，求⊙O 的半径．29．设⊙O 的半径为1，直径AB ⊥直径CD ，E 是OB 的中点，弦CF 过E 点〔如图〕，求EF 的长．30．如图，在⊙O 中直径AB ，CD 互相垂直，弦CH 交AB 于K ，且AB =10cm ，CH =8cm ．求BK ∶AK 的值．31．如图，⊙O 的半径为40cm ，CD 是弦，A 为的中点，弦AB 交CD 于F ．假设AF =20cm ，BF =40cm ，求O 点到弦CD 的弦心距．32．如图，四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD =4cm ，AB =CB =1cm ，求CD 的长． 三、证明题33．如图，△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，A 为锐角． 求证：ABCsin =2R34．：如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．35．如图，D为等边三角形ABC外接圆上的上的一点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC的中点．第四页37．：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OA D．38．：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=C D．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．41．如图，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EO A．42．：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．第五页46．：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．〔1〕求证：△ADE是等边三角形；〔2〕求S△ABC∶S△ADE．48．：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．〔1〕求证：AC⊥BE；〔2〕求AB的长．一、填空题:1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),那么∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 3.,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,那么∠BOC=_______度. 4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，假设∠OAB=46°,那么∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,那么∠BOD 的度数为________.第六页 6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 那么点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题: 7,圆心角∠BOC=100°,那么圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DCBA(7) (8) (9) (10)8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )9,D 是AC 的中点,那么图中与∠ABD 相等的角的个数是( )10,∠AOB=100°,那么∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,那么该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°三、解答题:13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.A14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,假设∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,假设CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.16.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.第七页17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B，如下图,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素) 18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?。
初三数学圆周角和圆心角的关系试题
初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A．50°B．100°C．130°D．200°【答案】A【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵∠BOC=100°∴∠BAC=50°故选A.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC="140°," ∠CBD的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°【答案】C【解析】先求得弧ABC所对的圆周角的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC的度数，即可求得结果.∵∠AOC=140°∴弧ABC所对的圆周角的度数为70°∴∠ABC=110°∴∠CBD=70°故选C.【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.9.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.【答案】(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°【解析】(1)连接OD,根据垂径定理可得∠COB=∠DOB，再结合圆周角定理即可得到结果；(2)连接P′P,则可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，从而可以得到结果.从而∠CP′D+∠COB=180°.(1)连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,∴,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠C P′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.【考点】垂径定理，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.。
数学3.3圆心角练习(浙教版九年级上)
第1题. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．答案：圆周角度数等于圆心角度数的一半第2题. 如图，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，130AOC ∠=，则AD 的度数为 ，CBD 的度数为，CAD ∠的度数为，ACD ∠的度数为．答案：13010050 65第3题. 如图，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．答案：3156 4330'第4题. 如图，:5:4ACB ADB =，则AOB ∠=，ACB ∠=，ADB ∠=，CAD CBD ∠+∠=．答案：16080100180第5题. 如图，△ABC 内接于O ，AB AC =，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若50ABC ∠=，则BEC ∠=，∠答案：80100第6题. 下列说法正确中的是（）Ａ．顶点在圆周上的角称为圆周角 Ｂ．相等的圆周角所对的弧相等Ｃ．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径 Ｄ．圆周角等于圆心角的一半 答案：Ｃ第7题. 在同圆中，同弦所对的两个圆周角（）Ａ．相等Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．互余答案：Ｃ 第8题. 在O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的16，有以下结论：①AB 为60，②60AOB ∠=，③60AOB AB ∠==，④△ABO 为等边三角形，⑤弦AB 的长等于这个圆的半径．其中正确的是（）Ａ．①②③④⑤ Ｂ．①②④⑤Ｃ．①②Ｄ．②④⑤答案：Ｂ第9题. A ，B ，C ，D ，依次是O 上的四个点，AB BC CD ==，弦AB ，CD 的延Ｂ长线交于P 点，若60ABD ∠=，则P ∠等于（ ）Ａ．40 Ｂ．10Ｃ．20Ｄ．30答案：Ｃ第10题. 如图，△ABC 为锐角三角形，△ABC 内接于圆O ，60BAC ∠=，H 是△ABC 的垂心，BD 是O 的直径．求证：12AH BD =答案：连结AD，CD ，CH ．BD 是O 直径，90BAD BCD ∠=∠=．又60BAC ∠=，30CAD ∴∠=，30DBC CAD ∠=∠=．在Rt △BCD 中，12CD BD =，H 是△ABC 的垂心，AH BC ⊥，CH AB ⊥．又DC BC ⊥，DA AB ⊥，∴四边形AHCD 为平行四边形．AH CD =，12AH BD ∴=． 第11题. 如图，BC 为O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，BA AF =，BF 与AD 交于E ．（1）求证：AE BE =；（2）若A ，F 把半圆三等分，12BC =，求AE答案：（1）连AC ．90ACB ABC ∠+∠=，90BAD ABD ∠+∠=，ACB BAD ∴∠=∠．BA AF =，ACB ABF ∴∠=∠，BAE ABE ∴∠=∠，AE BE =．（2）连AO ．BA AF FC ==，30ABF FBC ∴∠=∠=，60ABO ∠=．OA OB =，60ABC ∠=，∴△AOB 为正三角形．AD BO ⊥，D ∴为BO 中点，162BO BC ==，3BD =．在Rt △BDE 中，30EBD ∠=，3BD =，cos BDBE EBD==∠，AE BE ∴==第12题. 如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，B ，C ，D ．求证：12P ∠=（BD 的度数AC -的度数）．答案：连结BC ，BCD P ABC ∠=∠+∠，P BCD ABC ∴∠=∠-∠．BCD ∠的度数等于12BD 的度数，ABC ∠的度数等于12AC 的度数，12P ∴∠=（BD 的度数AC -的度数）． 第13题. 如图，AD 是△ABC 的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC ． （1）求证：FB FC =； （2）求证：2FB FA FD =；（3）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ∠=，6cm BC =，求AD 的长．答案：（1）EAD FAB ∠=∠，FAB FCB ∠=∠，EAD FCB ∴∠=∠．ＤFBC FBA CBA ∠=∠+∠， CAD ACF AFC ∠=∠+∠，FBA ACF ∠=∠，CBA AFC ∠=∠， CAD FBC ∴∠=∠．EAD CAD ∠=∠， FCB FBC ∴∠=∠，FB FC ∴=．（2）FAB FCB ∠=∠，FCB FBC ∠=∠，FAB FBC ∴∠=∠．又AFB BFD ∠=∠，∴△AFB ∽△BFD ，FA FBFB FD∴=， 即2FB FA FD =．（3）AB 是直径，90ACB ∠=．1602CAD EAC ∠=∠=，30D ∴∠=，18060BAC EAC ∠=-∠=．在Rt △ABC 中，tan AC BAC BC ∠=，tan 606AC =，AC =Rt △ACD中，2AD AC ==．第14题. 如图，D ，E 在以AB 为直径的半圆上，F ，C 在AB 上，CDEF 为正方形，若正方形边长为1，AC a =，BC b =，则下列式子中，不正确的是（ ）Ａ．1a b -=Ｂ．1ab =Ｃ．a b +=Ｄ．225a b +=答案：Ｄ第15题. 求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积． 答案：已知：O 是△ABC 的外接圆，AD 是△ABC 中BC 边上的高，AE 是O 直径．求证：AB AC AD AE =．证明：连BE ．AE 是直径，90ABE ∠=．AD BC ⊥，90ADC ∠=，ABE ADC ∠=∠，C E ∠=∠，△ADC ∽△ABE ，AC ADAE AB=，即AB AC AD AE =．第16题. 如图反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是 ．答案：180第17题. 如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（ ）Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对 答案：Ｄ第18题. 如图，AC 是O 的直径，AB ，CD 是O 的两条弦，且AB CD ∥．如果32BAC ∠=，则AOD ∠的度数是（ ）Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．48 Ｄ．64Ｂ答案：Ｄ第19题. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若100BOD ∠=，则DAB ∠的度数（ ） Ａ．50 Ｂ．80 Ｃ．100 Ｄ．130 答案：Ｄ第20题. 如图，已知：O 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=，47ABC ∠=，求AOB ∠的度数． 答案：100。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随堂练习 1. 如图，在⊙O 中，∠BOC=50°，求∠BAC 的大小解：在⊙O 中，∠BOC=50°
1 1 BAC BOC
2 2
0 0 50 25
2. 如图，哪个角与∠BAC 相等，你还能找到那些相等的角？
解：∠BAC=∠BDC
A D ∠ADB=∠ACB
∠CAD=∠CBD
C ∠ABD=∠ACD
B
习题
1. 如图，OA、OB、OC 都是⊙O 的直径，∠AOB=2 ∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的
大小有什么关系，为什么？
解：∠BAC= 2 ∠ACB，理由:
1
Q 1 AOB
2 O 1
C
2 1
2
BOC
2
A B
又∵∠AOB=2 ∠BOC
1 1
1 AOB
2 BOC BOC 2 2
2 2
即∠BAC= 2∠ACB
2. 如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD 与∠BAD
的大小 A
解：∵∠BCD=100°
O
∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200°
∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160°B D
1 BAD BOD
2
o
80
C
3. 为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视
角相等.
4. 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，
如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A、B 两点的一个圆形
区域内，优弧AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，
∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”
有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外），与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.。