弹性力学4-物理方程、边界条件

xy
1
yx
y
几何方程： 应变和位移的关系
x
u x
,
y
v y
,
xy
v x
u y
物理方程： 应力与应变的关系
x
1 E
x y
y
1 E
y x
21
xy E xy
x
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
xy
2 1
E
xy
平面问题简化为8个未知数，8个方程 x , y , xy , x, y , xy , u, v
平面应力问题的物理方程
平面应变问题的物理方程·
x
1 E
x y
y
1 E
y x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
21
xy E xy
xy
2 1
E
xy
在平面应力问题的物理方程中，将 E 和作如下变
换，可得平面应变问题的物理方程
E
E 1 2
应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，
也称为本构方程。
在完全弹性的各向同性体内， 应变分量与应力分量之间的关系由 虎克（Hooke）定律给出。
E 是弹性模量，G 是剪切弹性
模量， 是泊松比，是材料自身
的特性，不随点的坐标值及方向
改变。
G
2
E
1
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
第二章 平面问题的基本理论 O
x
2.6 边界条件
xb
xa
应力边界条件可采用两种表达形式：y fx y
fx y
1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得
出应力边界条件—常用于斜边界面，用式（2-15）给出；
2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（ 数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给定的 ，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力 的数值，而面力的方向就是应力的方向，然后再按照应力 的正负号规定写出应力条件。—常用于坐标面上的应力边 界条件，直接写出。
第二章 平面问题的基本理论
本章内容
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.5物理方程
左侧面： x cos xy sin y cos xy cos y sin y sin
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.3：如图，为上、下边分别受均布力作用的三
角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不
写）。
上边界：
( y ) y0 0 ( )xy y0 q
y ，可以用来求得薄板厚度
计算得出，不作为独立的未知函数。
因为在平面应力问题中有 yz 0和 zx 0 ，所以有 yz 0 和 zx 0
第二章 平面问题的基本理论
2.5 物理方程
平面应变问题的物理方程
在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移
动，即w = 0，所以z方向的线段都没有伸缩，即 z 0
1
同样，在平面应变问题的物理方程中，将 E 和作如下变
换，可得平面应力问题的物理方程
E 1 2 E 1 2
1
第二章 平面问题的基本理论
平面问题三大方程小结
平衡微分方程： 应力与体力之间的关系
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
O P
xy x
y
x
yx y
1
2
x
2
1
2. 应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之 间的关系， 它是边界面坐标的函数方程,必须把边界 坐标表达式带入到边界条件式左边的应力分量中去， 该式才成立；
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
O
x
xb
xa
对于边界面为坐标面的情形，
y fx y
fx y
应力边界条件(2-15)可进行简化如下：
若x=a为正x面， ( x )xa fx , ( xy )xa f y 若x=b为负x面， ( x )xb fx , ( xy )xb f y
由于面力和应力具有不同的正负号规定，带入式（2-15） 左右两边应力与面力分量的正负号确定方法不同。因此， 在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的，可以看出 ：在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面 上，应力分量与面力分量异号。
由于是微分方程，所以还需考虑弹性体边界上的条件，才能定解。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
边界条件：表示边界上 y 位移与约束，或应力与 面力之间的关系式，又 分为位移边界条件、应 力边界条件和混合边界 条件。
o
S
.a
Su
.M
C AB
b.
x
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移分量 ，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件
(u)s u (s), ()s (s)
其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界上 的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全 固定的边界，其约束位移分量均为0。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
(l xy m y )s f y (s) xy yh 2 q
y yh 2 0
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
例2.2：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水 坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。
右侧面： x cos xy sin 0 xy cos y sin 0
其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边 界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为 该点处边界面外法线的方向余弦。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
应力边条件较为复杂，比较常用，需要说明的几点： 1.应力边界条件中的面力和应力具有不同的正负号规 定，且分别作用于通过边界点的不同面上。
由虎克定律第三式，得 z x y ，代入虎克定律，得
平面应变问题的物理方程
x
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
21
xy
E xy
因为在平面应变问题中也有 yz 0 和 zx 0 ，所以有
yz 0 和 zx 0
第二章 平面问题的基本理论
2.5 物理方程
应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由 边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应 力与面力的关系式。可将[P13式(2-3）]应力分量px和py
分别用面力分量 fx (s), fy (s) 代替可得：
(l x m xy )s fx (s)
(l xy m y )s f y (s)
x y
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
第二章 平面问题的基本理论
2.5 物理方程
平面应力问题的物理方程
在平面应力问题中， z 0
x
1 E
x y
y
1 E
y x
xy
2 1
E
xy
由虎克定律，得
的改变， z 可以由
z
x
E
和
x
y
下边界：
x sin xy cos 0 xy sin y cos p
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
作业：如图所示，薄板条在y方向受均匀拉力作 用（视为平面应力问题），试证明在板中间突出 部分的尖端A处无应力存在(注：Ox是角平分线) 。
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
混合边界条件：
一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如 式（2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力 边界条件，如式（2-15）； 另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即 两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力 边界条件，课本图2-7。
这两种方法应用见后面的例子。
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.1：悬臂梁受力如图，试写出其上、下两边应
力边界条件。
p
上表面：y h l 0 , m 1
x
2
q y
xy yh 2 0
y yh 2 p
下表面：y h
(l x m xy )s fx (s)
2
l 0 , m 1