中考数学压轴题分类讲解

中考数学压轴题分类

一。函数与几何结合

例1、（2011•广东）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P 作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

解析：考点：二次函数综合题。

分析：（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；

（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，

∴A（0，1），

当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，

∴B（3，2.5），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则：，

解得：，

∴直线AB 的解析式为

y=x+1；

（2）根据题意得：s=MN=NP ﹣MP=﹣t 2+t+1﹣（t+1）=

﹣t 2+t （0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC

，此时，有﹣t 2+t=， 解得t 1=1，t 2=2，

∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形．

①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP ﹣

MP=，

又在Rt △MPC 中，MC=

，故MN=MC ，此时四边形BCMN 为菱

形， ②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP ﹣MP=，

又在Rt △MPC 中，MC=，故MN≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用

例2．(2011。深圳市)（本题9分）如图13，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E

的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为

点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD 。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

图13

图14

图15

解析：（1）设所求抛物线的解析式为：y ＝a (x －1)2＋4，依题意，将点B （3，0）代入，得：

a (3－1)2＋4＝0

解得：a ＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y ＝－(x －1)2＋4

（2）如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，

在x 轴上取一点H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ，则HF ＝HI …………………①

设过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），

∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x ＝2代入抛物线y ＝

－(x －1)2＋4，得

y ＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E 坐标为（2，3）

又∵抛物线y ＝－(x －1)2＋4图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D

∴当y ＝0时，－(x －1)2＋4＝0，∴ x ＝－1或x ＝3

当x ＝0时，y ＝－1＋4＝3,

∴点A （－1，0），点B （3，0），点D （0，3）

又∵抛物线的对称轴为：直线x ＝1，

∴点D 与点E 关于PQ 对称，GD ＝GE …………………② 分别将点A （－1，0）、点E （2，3）代入y ＝kx ＋b

023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩ 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝x ＋1

∴当x ＝0时，y ＝1 ∴点F 坐标为（0，1）

∴2DF =………………………………………③

又∵点F 与点I 关于x 轴对称，

∴点I 坐标为（0，－1）

∴EI === 又∵要使四边形DFHG 的周长最小，由于DF ∴只要使DG ＋GH ＋HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI

只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小

设过E （2，3）、I （0，－1）两点的函数解析式为：y ＝k 1x ＋b 1（k 1≠0）

， 分别将点E （2，3）、点I （0，－1）代入y ＝k 1x ＋b 1，得：

111231k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得：11

21k b =⎧⎨=-⎩ 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝2x －1 ∴当x ＝1时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝1

2；

∴点G 坐标为（1，1），点H 坐标为（12

，0）

∴四边形DFHG 的周长最小为：DF ＋DG ＋GH ＋HF ＝DF ＋EI

由③和④，可知： DF ＋EI ＝2+图6