直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

—
直线与平面、平面与平面平行的判定
[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
知识点一直线与平面平行的判定定理
思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗
答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.
知识点二平面与平面平行的判定定理
思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗
答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.
?
题型一直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
中点.
求证：(1)EH∥平面BCD；
(2)BD∥平面EFGH.
证明(1)∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
`
(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，
EH⊂平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.
证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，
连接PQ.
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，
所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.
>
所以MN∥PQ.
又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，
所以MN∥平面ADC.
题型二面面平行判定定理的应用
例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC 1.
证明由棱柱性质知，
B1C1∥BC，B1C1＝BC，
]
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D⊂平面ADC1，
EB⊄平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1綊BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.
！
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 所以A 1E ∥平面ADC 1.
由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，
A 1E ⊂平面A 1E
B ，EB ⊂平面A 1EB ，
且A 1E ∩EB ＝E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1.
$
跟踪训练2 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，点G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点. 求证：(1)E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)平面A 1GH ∥平面BED 1F .
证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. 又∵BG ∥A 1E ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1G ∥BE .
连接FG .∵C 1F ＝B 1G ，C 1F ∥B 1G ，
.
∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG ＝C 1B 1＝D 1A 1，FG ∥C 1B 1∥D 1A 1， ∴四边形A 1GFD 1是平行四边形， ∴A 1G ∥D 1F ，∴D 1F ∥EB . 故E ，B ，F ，D 1四点共面. (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝3
2
.
又∵B 1G ＝1，∴
B 1G B 1H ＝23
.
又FC BC ＝2
3
，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， |
∴△B 1HG ∽△CBF ，
∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .
又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .
题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用
—
例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由. 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下： 连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，
∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA . 又∵O 为DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵PO ∩PA ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO .
；
跟踪训练3 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，EC ＝是线段AC 上的动点，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF 请说明理由.
解 当M 为AC 中点时，BM ∥平面AEF .理由如下： 方法一 如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，OM . ∵O ，M 分别是AE ，AC 的中点， ∴OM ∥EC ，OM ＝1
2
EC .
又∵BF ∥CE ，EC ＝2FB ，∴OM ∥BF ，OM ＝BF ，
】
∴四边形OMBF 为平行四边形，∴BM ∥OF . 又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ， ∴BM ∥平面AEF .
方法二 如图2，取EC 的中点P ，连接PM ，PB . ∵PM 是△ACE 的中位线， ∴PM ∥AE .
∵EC ＝2FB ＝2PE ，CC 1∥BB 1，∴PE ＝BF ，PE ∥BF ，
?
∴四边形BPEF 是平行四边形，∴PB ∥EF .
又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，
∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.
又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.
面面平行的判定
*
例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.
解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：
下面以图①为例进行证明.
如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，
可知四边形ABEM是平行四边形，
所以BE∥AM.
}
又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
因为MN是△A′B′D′的中位线，
所以MN∥B′D′.
因为四边形BDD′B′是平行四边形，
所以BD∥B′D′.
所以MN∥BD.
又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，
【
所以MN∥平面BDE.
又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，
所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.
1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D.上述三种情况都存在
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
}
个或2个个或1个
个个
3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )
A.平行
B.直线在平面内
C.相交
D.以上均有可能
4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
&
5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
!
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.
A.①③
B.②④
C.②③④
D.③④
2.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内
C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥β
/
D.α内的任何直线都与β平行
3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )
对对对对
4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )
A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线
D.平面α内的任意直线与直线a都平行
5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G 分别为BC，CD的中点，则( )
；
∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.可能重合
7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β
!
∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β
二、填空题
8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平
面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，
F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面
五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；
）
③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；
其中正确结论的序号是________.
三、解答题
11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
、
…
12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N 满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D
~
￥
当堂检测答案
1.答案D
解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l 平行.
2.答案B
解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个. &
3.答案A
解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.
4.答案A
解析如图，∵EG∥E1G1，
EG⊄平面E1FG1，
E1G1⊂平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，
"
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
5.答案CD∥α
解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
课时精练答案
|
一、选择题
1.答案D
解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取
一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，
知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出
无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，
因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.
2.答案D
解析对于A项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A错误；对于B项，当a平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B错误；对于C项，当a和b都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C错误；对于D项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正确.
3.答案C
解析侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行.
4.答案B
·
解析如图，直线B1C1∥平面ABCD，B1C1∥BC，B1C1∥AD，B1C1∥EF(E，F为中点)等，平面ABCD内平行于BC的所有直线均与B1C1平行.但AB与B1C1不平行.
5.答案 B
解析 易证EF ∥平面BCD .
由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15
BD . 又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，
所以HG ∥BD ，且HG ＝12
BD . 综上可知，EF ∥HG ，EF ≠HG ，
%
所以四边形EFGH 是梯形，且EF ∥平面BCD .
6.答案 C
解析 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
7.答案 D
解析 如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，
则AB ∥平面DC 1，AB ⊂平面AC ，
但是平面AC 与平面DC 1不平行，
所以A 错误；取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，则可证EF ∥平面AC ，
:
B 1
C 1∥平面⊂平面BC 1，B 1C 1⊂平面BC 1，但是平面AC 与平面BC 1不平行，所以B 错误；可证A
D ∥B 1C 1，AD ⊂平面AC ，B 1C 1⊂平面BC 1，又平面AC 与平面BC 1不平行，所以C 错误；很明显D 是面面平行的判定定理，所以D 正确.
二、填空题
8.答案 平行
解析 如图，延长AG 交BC 于F ，连接SF ，则由G 为△ABC 的重心知AG ∶GF
＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
9.答案①②③④
解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的.
10.答案①②③④
解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.
三、解答题
11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，
AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.
因为M是AB的中点，
所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.
所以四边形MEFG是平行四边形.
因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，
所以ME∥平面BB1D1D.
在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，
所以平面MEFG∥平面BB1D1D.
在FG上任取一点N，连接MN，
所以MN⊂平面MEFG.
所以MN与平面BB1D1D无公共点.
所以MN∥平面BB1D1D.
总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，
即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。