《创新设计 高考数学总复习》(全国专用)一轮复习易失分点清零(八) 不等式
【最新】创新设计高考总复习数学
【最新】创新设计高考总复习数学教学计划1. 复数、命题、充分必要条件、二次函数、不等式2. 函数的单调性、复合函数的单调性、函数图像、定义域、指数、对数、指数函数3. 函数值域、对数函数、比较大小、零点、函数周期、流程图4. 偶函数、奇函数、平均数、中位数、众数、方差、标准差5. 抽象函数、幂函数，三次函数，函数习题讲解、练习、加强6. 含绝对值的函数，反比例函数、频数、频率、概率、茎叶图、频率分布直方图、线性回归方程、曲线拟合7. 幂函数 ---二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、函数一般性质、茎叶图、频率分布直方图、线性回归方程、方差、流程图，面向高考有的放矢专项训练练习8. 习题课、检测课____-7-4 内容：复数、命题、充分必要条件、二次函数、不等式? 考点类型题目1、2、3、4、5、复数命题真假的判断命题的否定充分、必要条件不等式? 复数6、7、8、9、复数的符号是什么？有什么规定？复数的形式是什么？什么是实部？什么是虚部？复数z = a + bi,对应的点的坐标是什么？复数z = a + bi的模|z|如何计算？10、复数z = a + bi,在什么情况下是虚数？在什么情况下是实数？11、复数z = a + bi,在什么情况下是纯虚数？12、复数z = a + bi,它的共轭复数是什么？13、一个复数z _ 它的共轭复数z = ？14、两个复数相等，指的是什么？? 命题15、命题的四种形式假设原命题是：若P,则Q说出它的逆命题，否命题，逆否命题16、原命题，逆命题，否命题，逆否命题，哪两个命题互为等价命题？17、在命题中，“全部”、“有一个”分别用什么符号表示？18、命题中含有量词，它的否定形式是什么？19、你会判断一个命题的真假吗？20、 P表示一个命题，则它的否定用什么符号表示？21、“P且Q”如何否定？“P或Q”如何否定？? 充分必要条件22、如何判断P是Q的充分必要条件？23、如何判断P是Q的充分不必要条件？24、如何判断P是Q的必要不充分条件？25、 P命题为真的解集为A，Q命题为真的解集为B,则当P是Q的充分必要条件时， A、B是什么关系？当P是Q的充分不必要条件时， A、B是什么关系？当P是Q的必要不充分条件时， A、B是什么关系？26、若非P是非Q的必要不充分条件，则Q是P的什么条件？? 二次函数27、二次函数f(_)=a_2+b_+c的顶点坐标是________28、二次函数的图像与_轴有0、1、2个交点，则满足的条件分别是什么？29、二次函数有两根，写出韦达定理。
[精品]【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学
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抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[解析]
由约束条件x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
由x3＝x＋1， 5y－25＝0，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练3】 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植 面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
解得
A1，252
.
由xx＝ －14， y＋3＝0， 解得 C(1,1)，
由x3－x＋4y5＋y－3＝ 25＝0，0， 解得 B(5,2)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
Hale Waihona Puke (1)∵z＝yx＝yx－ －00.
∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．
观察图形可知 zmin＝kOB＝25.
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揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·陕西)设函数 f(x)＝－ln 2xx，－x1＞，0x，≤0， D 是 由 x 轴和曲线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域，则 z＝x－2y 在 D 上的最大值为________． 解析 由题知在点(1,0)处的切线的斜率
抓住2个考点
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揭秘3年高考
x＋y－1≥0， 【训练 1】 若不等式组x－1≤0，
ax－y＋1≥0a为常数
面区域的面积等于 2，则 a 的值为
《创新设计_高考一轮总复习》数学人教A(理)易失分点清零(一)集合与常用逻辑用语
易夬分点淸零（0 1»失分警示找准易失分虔失分点1集合中元示例1】A 己知集{xl lxl >2 },则( ).{xl l< x< 3} B. {xl 0< x< 3}{xl 2< x< 3} D. {xl 2< x< 3}析集合M 是函数y=足一x2 +3 x^ 0,解得N 是不等式lxl >2的解8) ,所以M Q N= (2, 3].故答案D示可能把集合M 看不出现这个问题，出来，再根据集合易失分点2示例2】》设集^A2(«+ l)x +a 2-l= 0, aG R, xG的取值范围.V A = {0, -4}, : .B ^A当B= A 时，B = {0,x2 + 2( a + l)x +a 2—1=A =4 («+ 1)2 -4(«2一系，得—2(«+ 1) =«2—1= 0,当0期A 时，8 = {0}—1) =0,解得《=—当B = 0时，J= 4(«+l)2-解得X—1.上所述，所求实数• MB OM MM ••■■ •• •••• •» •• «■ •» •• •» •» •» •• •» •••• •»•• •» •» •» •• •• •» •» ■示集合B 为方^c 21 = 0的实数根所构的集合z 由B U4可题中容易忽视方程易失分点3示例3】►己知集求实数"的取值集(1)若°+2 = 1,即a =——3+ 3= 1,元素重复；若(a +l) 2= l,即a =—2°=—2时，a+ 2=复；°=0时，a+ 2= 2, a2 +3若°2+ 3°+3 = 1,解得(1)(2) ,可知均不符合以实数。
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学(人教B版 全国专用)一轮复习：易失分点清零(十一) 解析几何(一)
易失分点清零(十一) 解析几何(一)1.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )．A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33解析 易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －4k k 2＋1≤1，得4k 2≤k 2＋1，k 2≤13，解得－33≤k ≤33，故选C. 答案 C2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x(1＋e x )2＝－4e x＋1e x ＋2，因为e x >0，所以由均值不等式，得k ≥－42e x ×1e x ＋2.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0.所以3π4≤α<π. 答案 D3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线是()．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析点(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0⇒x＋2y －3＝0.答案 D4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析根据圆自身的对称性，原圆心(－2,0)对称后的圆心(2,0)，两圆为等圆，不同处在于圆心变化了，所以对称后圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案 A5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．3 5 B．4 5 C．57 D．67解析依题意，知圆的最长弦为直径，最短弦为过点P且垂直于最长弦的弦，所以|AC|＝2×3＝6.又因为圆心到BD的距离为(2－1)2＋(2－1)2＝2，所以|BD|＝232－(2)2＝27.于是，四边形ABCD的面积为S＝12×|AC|×|BD|＝12×6×27＝67.答案 D6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y ＝0相切，则实数λ的值为()．A．－3或7 B．－2或8C．0或10 D．1或11解析由题意，可知直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为2(x＋1)－y＋λ＝0.已知圆的圆心为O(－1,2)，半径为 5.法一直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.法二设切点为C(x，y)，则切点满足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ，代入圆的方程，整理得5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*)由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，因而有Δ＝0，得λ＝－3或7.法三设平移后的直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知CO⊥l，因而斜率相乘得－1，即y－2x＋1×2＝－1，又因为C(x，y)在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点为(1,1)或(－3,3)，又C(x，y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上，解得λ＝－3或7.答案 A7．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C8．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]解析已知圆的圆心为(3，－5)，圆心到直线的距离为5，由数形结合，易得r的取值范围是(4,6)．答案 A9．(2013·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()．A．至多一个B．2 C．1 D．0解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B. 答案 B10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析 圆(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则弦MN 的长为|MN |＝24－d 2＝2 4－(3k ＋1)2k 2＋1＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥23，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.答案 A11．经过点A (3,2)且在两轴上截距相等的直线方程是________．解析 当直线过坐标原点时，直线方程为2x －3y ＝0；当直线不过坐标原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a ，由3a ＋2a ＝1，得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0.答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝012．已知l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是________．解析 由l 1∥l 2知a (a －2)－3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 检验当a ＝3时两直线重合，舍去．故a ＝－1. 答案 a ＝－113．已知直线2x sin α＋2y －5＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．解析 由题意，得直线2x sin α＋2y －5＝0的斜率为k ＝－sin α. 又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π414．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，所以C (0,1)．设圆C 的半径为r ，点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝1.因为|AB |＝6，所以r 2＝10.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案 x 2＋(y －1)2＝1015．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点． 证明 由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0， 设l AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x A ＋x B2＝k 2＋2k 2， 又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .因为CD ⊥AB ，所以k CD ＝－1k .以－1k 代k ，同理，可得N (2k 2＋1，－2k )． 所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎨⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)．。
高考数学总复习：易失分点清零(八) 不等式
答案
警示
(－∞，－3]∪(0,1]
在解出不等式后，最后在答题卡上填上“x≤-3或
0<x≤1”，没有写成集合或区间的形式，从而导致不得分.
易失分点4
恒成立问题错误
【示例4】► 若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实 数a的取值范围是 A．a<－1 解析 B．|a|≤1 C．|a|<1 ( D．a≥1 )．
综上可知，原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
警示 本题易出现的错误有两个： 一是不会“凑”， 不能根 据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值； 二是利 用基本不等式求解最值时， 忽视式子的取值范围，直接套用 1 基本不等式求最值．如本题易出现：由 y＝x＋ ＝x－1 x－1 1 1 ＋ ＋1≥2 x－1· ＋1＝3，得出 y∈[3，＋∞)这 x－1 x－1 一错误结果．
警示 点是定点O（0，0），另一个是可行域内的动点A（x,y）， 因此本题即求OA两点间连线的斜率最值.
解析 根据线性约束条件，画出可行域(如图)，由图可以观察 3 得到当点 A 为直线 2y－3＝0 与 x＋2y－4＝0 的交点1， 时， 2 3 OA 两点间连线的斜率最大，最大值为 . 2
3 答案 2
y 不能正确理解“ ”的含义是本题的易错原因之一， x y-0 y 本题求 的最大值是多少，可以将其转化为求k= 的最 x-0 x 大值是多少，上式其实可以看成是两点连线的斜率，一个
易失分点3
不等式解集的表述形式错误
3 1 【示例 3】► 不等式 2x－ ＋1≤ 的解集为________． x 2 3 1 3 －1 解析 由 2x－ ＋ 1≤ ＝2 可得 x－ ＋ 1≤－1， 即 x 2 x x2＋2x－3 x－1x＋3 ≤0，∴ ≤0，解之得原不等式的解 x x 集为(－∞，－3]∪(0,1]．
2023新高考数学一轮复习创新课件 第2章 第3讲 一元二次不等式的解法
解析 因为 f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，所以 Δ＝a2－4b ＝0，即 a2＝4b>0.对于 A，a2－b2≤4 等价于 b2－4b＋4≥0，等价于(b－2)2≥0，
显然成立，故 A 正确；对于 B，a2＋1b＝4b＋1b≥2 4b·1b＝4，当且仅当 4b ＝1b即 b＝12时等号成立，故 B 正确；对于 C，因为不等式 x2＋ax－b<0 的解 集为(x1，x2)，所以 x1，x2 是方程 x2＋ax－b＝0 的根，所以 x1x2＝－b<0，故 C 错误；对于 D，因为不等式 x2＋ax＋b<c 的解集为(x1，x2)，所以 x1，x2 是方程 x2＋ax＋b－c＝0 的根，所以 x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，所以(x1－x2)2 ＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c，又因为|x1－x2|＝4，所以 4c＝16，c＝ 4，故 D 正确．故选 ABD.
t
<x<t
B.x|x>1t 或x<t
C.x|x<1t 或x>t
1
D.x|t<x<
t
解析 因为
0<t<1，所以
t<1t ，所以(t－x)x－1t >0⇔(x－t)x－1t <0，解
得 t<x<1t .故选 D.
解析 答案
5．不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是－12，13，则 a＋b 的值是________.
解析 答案
2．不等式 4x2＋4x＋1≤0 的解集为( )
A．∅
B．R
C.x|x＝12
D．x|x＝－21
解析 因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以 4x2＋4x＋1≤0 的解集为
2023新高考数学一轮复习创新课件 第2章 第2讲 基本不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 04 __a_＝__b____时等号成立．
a＋b (3)其中 2 叫做正数
a，b
的
05
__算__术__平__均__数_____，
ab叫做正数 a，b
的 06 ___几__何__平__均__数__x_＝__y__最__小__值_____.
3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 07 ___2__P____时，x＋y 有 08 ____x_＝__y____.(简记：“积定和最 小”) (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝SS2(定值)， 那么当 09 __最__大__值___时，xy 有 10 ___4_____.(简记：“和定积最大”)
A．1 B．3 C．6 D．12 解析 ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝3－2xx2，∴2x＋y＝2x＋3－2xx2＝3x22＋x 3＝32x ＋23x≥2 32x·23x＝3，当且仅当32x＝23x，即 x＝1 时取等号．故选 B.
解析 答案
4．(2022·海南调研)已知a，b均是正实数，则
a a＋2b
答案 4 解析 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，又ab＝1，∴21a＋21b＋a＋8 b＝a2ba＋
a2bb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，当且仅当a＋b＝4，即a＝
2－ 3，b＝2＋ 3或a＝2＋ 3，b＝2－ 3时，等号成立．故21a＋21b＋a＋8 b
的最小值为4.
解析 答案
1．常数代换法求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本 步骤如下： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学(人教B版 全国专用)一轮复习：易失分点清零(八) 不等式
易失分点清零(八) 不等式1.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由a >b 且c >d 不能推知a －c >b －d ，如取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1；反过来，由a －c >b －d 与c >d 可得a －c ＋c >b －d ＋c >b －c ＋c ，即有a >b .综上所述，选B. 答案 B2．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )．A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析 若a <b ，可取特殊值验证A ，B ，D 均不正确，∵1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b ，故应选C. 答案 C3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(3，＋∞)D ．(0,1)解析 不等式f (a )<a 等价于⎩⎪⎨⎪⎧23a －1<a ，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a<a ，解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞)． 答案 A4．对x∈R，下列不等式恒成立的是()．A．lg(x2＋1)≥lg 2x B．x2＋1>2xC.1x2＋1<1 D．x2＋4≥4x解析选项A中当x<0时无意义，选项B中当x＝1时不成立，选项C中当x ＝0时不成立．选项D成立．答案 D5．已知a>b>c>0，若P＝b－ca，Q＝a－cb，则()．A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D．P<Q解析P－Q＝b－ca－a－cb＝b2－bc－a2＋acab＝(b＋a－c)(b－a)ab.因为a>b>c>0，所以P－Q<0，即P<Q. 答案 D6．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()．A．2 B．2 2 C．4 D．5解析依题意得1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥41ab·ab＝4，当且仅当1a＝1b，即a＝b时，取等号，故应选C.答案 C7．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()．A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M解析不等式(1＋k2)x≤k4＋4可变形为x≤k4＋4k2＋1.即得M＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k4＋4k2＋1.∵k4＋4 k2＋1＝(k2＋1)＋5k2＋1－2≥25－2>2，∴2∈M，0∈M，故应选A.答案 A8．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab＋1ab ≥2＋2＝4.等号成立，当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22，所以式子的最小值为4. 答案 D9．(2013·衡阳六校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的最小值是( )．A ．2B ．5C.255D.45解析 根据题意作出的不等式组表示的平面区域如图所示，注意到x 2＋y 2＝[(x －0)2＋(y －0)2]2，故x 2＋y 2可视为该平面区域内的点(x ，y )与原点的距离的平方．结合图形可知，该平面区域内的所有点与原点的距离的最小值等于原点到直线2x ＋y －2＝0的距离，即为|2×0＋0－2|22＋12＝25.因此，x 2＋y 2的最小值是⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，选D.答案 D10．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－1的最小值为________． 解析 y ＝x ＋22x ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－32≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－32＝12，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为12.答案 1211．不等式|2x －1|－x <1的解集是________．解析 |2x －1|－x <1⇒|2x －1|<x ＋1⇒－x －1<2x －1<x ＋1⇒0<x <2.答案 {x |0<x <2}12．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________． 解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案25413．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6，则z ＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．解析 作出满足x ≥1，y ≥1，x ＋y ≤6，x －y ＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A (1,1)、B (1,2)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72、D (5,1)，将目标函数变形为z ＝x ＋2y 2x ＋y＝1＋2y x2＋y x＝1＋2k 2＋k ，而k ＝yx 表示可行域中的点(x ，y )与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D 、B 与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k ＝y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，2，再由函数的性质易得z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，54.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，5414．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇔(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇔x ≤－1； (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇔x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.15．已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0，f (m )＋f (n )m ＋n>0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上是增函数； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若不等式f (x )≤4t －3·2t ＋3对所有x ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． (1)证明 设任意x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则由函数y ＝f (x )为奇函数，知 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)．因为f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x <－1. (3)解 由(1)，知f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (1)＝1，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )≤1.因为不等式f (x )≤4t －3·2t ＋3对所有x ∈[－1,1]恒成立， 所以4t －3·2t ＋3≥1恒成立．所以(2t )2－3·2t ＋2≥0，即2t ≥2或2t ≤1. 所以t ≥1或t ≤0.。
《创新设计 高考总复习》高考数学（人教B版 全国专用）一轮复习：易失分点清零(一)
易失分点清零(一) 集合与常用逻辑用语1.设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的子集的个数为4.答案 A2．设集合A ＝{x ||x －2|≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝( )．A ．RB ．{x |x ∈R ，x ≠0}C ．{0}D ．∅ 解析 A ＝{x ||x －2|≤2}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}＝{y |－4≤y ≤0}，∴A ∩B ＝{0}，则∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，x ≠0}．答案 B3．若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2<5x －6，则綈p 是綈q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 p ：A ＝{x ||x ＋1|≤4}＝{x |－5≤x ≤3}，q ：B ＝{x |x 2<5x －6}＝{x |2<x <3}，则q 是p 的充分不必要条件⇔綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案 A4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a n ＋1>|a n |，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }为递增数列，但是{a n }为递增数列不一定能得到a n ＋1>|a n |，如数列为－4，－2，－1，….虽然为递增数列，但是不满足a n ＋1>|a n |.故选A.答案 A5．下列命题的否定中真命题的个数是( )． ①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；②q ：存在 一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个正确的，故选B.答案 B6．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }＝B ，则x ＋y ＝________.解析 由A ＝B 知需分多种情况讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.答案 －27．已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a －b ＝________.解析 由b a 可得a ≠0，又a ≠1，故a ≠a 2，从而a ＝a ＋b ，有b ＝0，{a,0,1}＝{a 2，a,0}，从而由a 2＝1且a ≠1得a ＝－1.故a －b ＝－1.答案 －18．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，则实数p 的取值范围为________．解析 A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，∵B ⊆A ，分两种情况：①当B ＝∅时，即2p －1<p ＋1，解得p <2；②当B ≠∅时，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2p －1≤5，p ＋1≥－2，2p －1≥p ＋1，解得2≤p ≤3.故实数p 的取值范围是(－∞，3]．答案 (－∞，3]9．已知命题p ：幂函数y ＝x 1－a 在(0，＋∞)上是减函数；命题q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解 若命题p 真，1－a <0⇔a >1，那么p 假时，a ≤1；若命题q 真，则⎩⎨⎧ a >0，a 2－4a <0或a ＝0⇔0≤a <4， 那么q 假时，a <0或a ≥4.∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴命题p 与q 一真一假．当命题p 真q 假时，⎩⎨⎧ a >1，a <0或a ≥4⇔a ≥4. 当命题p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤1，0≤a <4⇔0≤a ≤1. ∴所求a 的取值范围是[0,1]∪[4，＋∞)．10．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．解存在．假设存在实数x，使得B∪(∁A B)＝A，则B是A的真子集，若x ＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x＝－1，不满足集合元素的互异性，∴x＝1，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}满足题意．。
不等式及其性质(课件)-2024届《创新设计》高考数学一轮复习(湘教版)
综上，p≤q.
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(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__e_π·_π_e_＜__e_e·_π_π_. 解析 eeπe··πππe＝πeππ－－ee＝πeπ－e， 又 0＜πe＜1，0＜π－e＜1， 所以πe π－e＜1， 即eeπe··πππe＜1， 即 eπ·πe＜ee·ππ.
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感悟提升
因为 a＞b＞0＞c，所以 b－a＜0，a－c＞0，所以ba－ －cc＞ab，正确；
对于 C，因为 c＜0，所以 y＝xc 单调递减，又 a＞b，所以 ac＜bc，错误；
对于 D，a－c＝a＋(－c)≥2 －ac＞2 －bc，正确.
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感悟提升
解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用 指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法 a－b>0⇔a > b，
(1)作差法a－b＝0⇔a = b， a－b<0⇔a < b. ba>1（a∈R，b>0）⇔a > b（a∈R，b>0），
(2)作商法ab＝1⇔a = b（a，b≠0）， ba<1（a∈R，b>0）⇔a < b（a∈R，b>0）.
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2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac_＞___bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞ 0⇒ac__＞__bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an_＞___bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N，n≥2).
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学(人教B版 全国专用)一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何(二)
易失分点清零(十二) 解析几何(二)1. 已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则P 点的轨迹是( )．A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析 由已知，得(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|5，即动点P (x ，y )到定点(1,2)和定直线3x ＋4y －11＝0的距离相等，而定点(1,2)在直线3x ＋4y －11＝0上，所以P 点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x ＋4y －11＝0垂直的直线． 答案 A2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 要使mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y21n ＝1是焦点在y 轴上的椭圆须有⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n⇔m >n >0，故互为充要条件．答案 C3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )．A.52B.32C.352D.23解析 双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，整理得b 2＝54a 2，所以有c 2－a 2＝54a 2，c 2＝94a 2，即c ＝32a ，离心率e ＝32，选B.答案 B4．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1解析 设AP 中点为(x ，y )，则P (2x,2y ＋1)在2x 2－y ＝0上，即2(2x )2－(2y ＋1)＝0，∴2y ＝8x 2－1.答案 C5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )．A ．28B ．32C ．20D ．40解析 双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．所以|AB |＝2p sin 2α＝2×8⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32(α为直线AB 的倾斜角)．答案 B6．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP→＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y ·y ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．答案 B7．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4,4)时，故选B. 答案 B8．设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝15，则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )．A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析 由条件知sin θ·cos θ＝－1225，且θ∈(0，π)，从而sin θ>0，cos θ<0，故选C. 答案 C9．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为9.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D10．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且|PF 1|＝e |PF 2|，则e 的值为( )．A.22B ．2－ 3C.33D ．2－ 2解析 设椭圆的中心在原点，焦距为2c ，则由题意，知抛物线的准线为x ＝－3c ，由|PF 1|＝e |PF 2|，得|PF 1|PF 2＝e ，由于P 为椭圆与抛物线的一个公共点，设点P 到抛物线的准线的距离为d ，则由抛物线的定义，知|PF 1|d ＝e .又点P 是椭圆上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线，所以a 2c ＝3c ，解得e ＝33. 答案 C11．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1(m >0)的离心率等于32，则m ＝________.解析 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，则由方程，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1. 则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案 1或1612．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，且原点到直线l 的距离为34c (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为________．解析 因为直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，所以其方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.又原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b2＝34c .又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab ＝3c 2，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4.所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a >0，e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2>a 2＋a 2a 2＝2.所以e 2＝4，故e ＝2.答案 213．已知F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.当点P在y 轴上运动时，N 点的轨迹C 的方程为________．解析 ∵MN →＝2 MP →，故P 为MN 中点．又∵PM →⊥PF →，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负半轴上，设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，又∵PM →⊥PF →，∴PM →·PF →＝0，即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程． 答案 y 2＝4x (x >0)14．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，则F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2.当y ≠0时，则kF 1P ＝cy b 2＋2c 2，kQF 2＝cy b 2－2c2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝(b 2＋2c 2)(2c 2－b 2)c 2，y 2>0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1；当y ＝0时，此时F 2为PF 1的中点，由a 2c －c ＝2c ，得e ＝33.综上，得33≤e <1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，115.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝0. (1)解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝18，b 2＝2.所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1.(2)解 ∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ， ∴直线l 的方程为y ＝13x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋m ，x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0.∵直线l 交椭圆于A ，B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2×(9m 2－18)>0⇒－2<m <2， 所以m 的取值范围是(－2,0)∪(0,2)． (3)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则k 1＝y 1－1x 1－3，k 2＝y 2－1x 2－3.由2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0，得 x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝92m 2－9. 又y 1＝13x 1＋m ，y 2＝13x 2＋m ，代入k 1＋k 2＝(y 1－1)(x 2－3)＋(y 2－1)(x 1－3)(x 1－3)(x 2－3)，整理得k 1＋k 2＝23x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＋6－6m(x 1－3)(x 2－3)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫92m 2－9＋(m －2)(－3m )＋6－6m (x 1－3)(x 2－3)＝0，∴k1＋k2＝0.。
高考数学浙江专版(理)一轮复习：易失分点清零8.pdf
易失分点清零(八) 立体几何 1．(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )． 解析 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C. 答案 C 2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： 若mn，nα，则mα； 若mn，mα，nα，则nα； 若αβ，mα，nβ，则mn； 若m，n是异面直线，mα，nβ，mβ，则nα. 其中正确的命题有( )． A． B． C． D． 解析 对于，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于，过直线n作垂直于m的平面β，由mα，nα可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有mn；对于，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知选B. 答案 B 3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )． A．9π B．10π C．11π D．12π 解析 这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，高是3，球的半径是1，故其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π. 答案 D 4．如图是一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为( )． A.＋ B．2C.＋D.＋ 解析 直观图中左侧半圆柱的半径为，长方体的长为2－＝，此几何体的高为1，所以这个几何体的体积为×π×2×1＋×1×1＝＋. 答案 A 5.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析 第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条． 答案 D 6.(2013·洛阳统考)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )． A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π 解析 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2，故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×π＝20＋3π. 答案 A 7．在空间中，有如下命题： 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； 若平面α内任意一条直线m平面β，则平面α平面β； 若平面α与平面β的交线为m，平面β内的直线n直线m，则直线n平面α； 若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心． 其中正确命题的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 命题不正确，互相平行的两条直线在同一平面内的射影还可以是一条直线或者是两个点；命题正确，在α内取两条相交直线，则为面面平行的判定定理，要注意若把“任意”改为“无数”，则命题不正确，因为这无数条线可以是平行直线；命题不正确，这两个平面可以相交但不垂直，若要结论成立，需αβ；命题正确，设P到三个顶点距离PA＝PB＝PC，P点射影为O，则OA＝OB＝OC，故为ABC的外心．故正确命题为，答案为B. 答案 B 8．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是( )． A．点H是A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45° 解析 对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1、B、D的距离相等，即点H是A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面A1BD平面CB1D1，而AH平面A1BD，从而AH平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即A1AC1，而tan A1AC1＝＝，因此命题D是假命题． 答案 D 9．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3，则a＝ ________. 解析 ×2×a×3＝3，解得a＝. 答案 10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)． 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体． 解析 如图四边形BB1D1D为矩形；四面体A1AB1D1满足选项；四面体B1ACD1满足选项；四面体ABD1D满足选项. 答案 11．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________． 解析 因为(2R)2＝12＋22＋32＝14，所以S球＝4πR2＝14π. 答案 14π 12.已知一个正三棱锥PABC的正视图如图所示，若AC＝BC＝，PC＝，则此正三棱锥的表面积为________． 解析 依题意，知这个正三棱锥的底面边长是3、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是××3＝，故这个正三棱锥的侧棱长是＝3，所以这个正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其表面积是4××32＝9. 答案 9 13．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点． (1)求证：EF平面ABC1D1； (2)求证：EFB1C. 证明 (1)连接BD1，如图所示，在DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则EFD1B， D1B?平面ABC1D1， EF?平面ABC1D1， EF∥平面ABC1D1. (2)∵B1C⊥AB，B1CBC1，AB∩BC1＝B， B1C⊥平面ABC1D1， 又BD1平面ABC1D1， B1C⊥BD1， 又EFBD1，EF⊥B1C. 14．如图(a)所示，已知等边ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC的中点，沿DE将ADE折起，使ADDB，连接AB，AC，得到如图(b)所示的四棱锥ABCED. (1)求证：AC平面ABD； (2)求四棱锥ABCED的体积． (1)证明 连接DC，在等边ABC中，有BDCD， 而BDAD，AD∩DC＝D，所以BD平面ADC. 又AC平面ADC，所以BDAC. 在ADB中，AD＝DB＝1，ADB＝90°，则AB＝. 由对称性，知AC＝. 在ABC中，AB＝， AC＝，BC＝2，则ABAC. 又BD∩AB＝B，所以AC平面ABD. (2)解 在梯形BCED中，易知 S△CDE∶S△BCD＝12， 所以VABCD＝2VADCE.所以VABCED＝VABCD. 又VABCD＝VCADB＝×·AD·DB·AC ＝××＝， 所以VABCED＝×＝.。
《创新设计 高考总复习》高考数学一轮复习：易失分点清零基本初等函数及函数的应用
∴f(x)＝x＋a22.又由 f(x)<c，得x＋a22<c，
∴c>0 且－a2－ c<x<－a2＋ c，
－a2＋
c－－a2－
c＝6，
∴2 c＝6，∴c＝9.
答案 9
警示 （1）不能正确地配方或记错抛物线的顶点坐标是导 致失误的原因之一.（2）解不等式的过程是等价转化过程， 且注意隐含条件，否则易错，因此要深刻理解三个“二次” 之间的关系，运用函数与方程的思想方法，将它们进行相 互转化.
易失分点2 比较大小时，对指数函数、对数函数和
幂函数的性质记忆模糊导致失误
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
易失分点清零（三） 基本初等函数及函数的应用
易失分点1 不能实现二次函数、一元二次方程 和一元二次不等式的相互转化
【示例1】► (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a， b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解 集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质增分特色训练 理 湘教版
易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质1.下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 对于A ，f (x )是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以A 符合题意；对于B ，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故不符合题意；对于C ，可知其是指数函数，且底数e>1，故其在(0，＋∞)上是增函数；对于D ，可知其是底数大于1的对数函数，其在(－1，＋∞)上递增． 答案 A2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －－f x －，x >0，则f (3)的值为( )． A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析 f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 答案 D3．f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎪⎨⎪⎧f，f 得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0中，Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a <1，f或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a >3，f，得a ∈[－5，＋∞)．综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C. 答案 C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是 ( )．解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的图象，如图所示．由于此函数在x ∈[－1,1]上函数值恒为非负值，所以|f (x )|的图象不发生改变，故D 选项错误． 答案 D5．(2013·哈尔滨月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1B ．(1,2)C ．(1,2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由题意得a >0，所以内函数u ＝2－ax 2在(0,1)上为减函数，而函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y ＝log a u 必是增函数(复合函数单调性是同增异减)，所以a >1.同时u >0在(0,1)上恒成立，故2－a ×1≥0即a ≤2.综上有a ∈(1,2]． 答案 C6．已知函数f (x )的定义域为[1,9]，且当1≤x ≤9时，f (x )＝x ＋2，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为( )．A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]解析∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9，解得1≤x≤3.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．∵当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，∴当1≤x≤3时，也有f(x)＝x＋2，即y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当x＝1时，y取得最小值，y min＝12，当x＝3时，y取得最大值，y max＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故选C.答案 C7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是 ( )．解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．答案 A8．(2013·山西四校联考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是 ( )．A．(3,7) B．(9,25) C．(13,49) D．(9,49)解析函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)<f(－y2＋8y)恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2<4恒成立，故以(x，y)为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x＝3右边的部分，而x2＋y2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C.答案 C9．(2013·衡阳六校联考)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有定义，故f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0得0<1＋x 1－x <1，即x∈(－1,0)． 答案 A10．(2013·九江质检)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B11．(2013·东北五校联考)函数y ＝log 0.5x －的定义域是________．解析 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1，34<x ≤1.因此，函数y ＝log 0.5x －的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 12．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )＝________.解析 由题意，知x >0，设t ＝2x ＋|x |＝1x .则x ＝1t. 故log 2x |x |＝12log 2x 2＝log 2x ＝log 21t ＝－log 2t ，所以f (t )＝－log 2t ，即f (x )＝－log 2x (x >0)． 答案 －log 2x (x >0)13．(2013·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④. 答案 ①②④14．已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________． 解析 复合函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)可以分解为外函数y ＝lg u 和内函数u ＝－x 2＋8x －7.外函数是增函数，故内函数在(m ，m ＋1)上必是增函数．故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3. 答案 [1,3]15．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④。
【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 北师大版(理)易失分点清零(十三) 计数原理
共有 20＋45＝65(种)． 然后把分好的 4 组分给 4 人， 所以不 同的分法共有 65×A4 4＝1 560(种)．故填 1 560.
答案 1560
警示
涉及“分组问题”， 这是组合中一种重要的题型，
它有三种情况：不均匀分组，均匀分组，部分均匀分 组，以“将 6 本不同的书分成 3 组”为例，一是分为 1、
解析
(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信
箱也有4种投法；第3封信投到信箱也有4种投法．只要把 这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得 共有43种方法，故选C. (2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船
的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类
计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．故填7. 答案 (1)C (2)7
易失分点2 排列与组合问题错位或出现“重复”“遗漏”致误
【示例2】 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同 学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不
同的选法共有
A．30种
解析 法一
(
B．35种 C．42种 D．48种
)．
可分两种互斥情况：A 类选 1 门，B 类选 2
2 2 1 门或 A 类选 2 门，B 类选 1 门，共有 C1 C ＋ C 3 4 3C4＝18＋
易失分点清零（十三） 计数原理
易失分点1
两个原理不清而致错
【示例1】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种
)．
(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在 这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的 走法可有________种．
《创新设计 高考总复习》高考数学（人教B版 全国专用）一轮复习：易失分点清零(十) 立体几何(二)
易失分点清零(十)立体几何(二)1．将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()．A．①②B．③④C．①④D．②③答案 C2．已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1,2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是()．A. 6B.342C．3D.17 2解析点B在xOy平面内的直线x＋y＝1上，设点B为(x，－x＋1,0)，所以AB ＝(x ＋1)2＋(－x ＋2)2＋(0－2)2＝2x 2－2x ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋172，所以当x ＝12时，AB 取得最小值342，此时点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.答案 B3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A.12B.22C ．－12D ．0解析 因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉又因为〈OA →，OC →〉＝〈OA →，OB →〉＝π3，|OB →|＝|OC →|，所以OA →·BC →＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 D4．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 因为AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. 所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12.所以AB 与CD 所成的角为60°，即异面直线a 与b 所成的角为60°. 答案 C5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( )． A ．0B.37070C ．－37070D.7070解析 分别以直线DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,3)，AC →＝(－1,2,0)，BD →1＝(－1，－2,3)，cos 〈AC →，BD 1→〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－1×(－1)＋2×(－2)＋0×3(－1)2＋22＋02×(－1)2＋(－2)2＋32＝－37070，故AC 与BD 1所成角的余弦值为37070. 答案 B6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( )． A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝12×2＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝60°. 答案 B7.二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )． A ．2a B.5a C ．aD.3a解析 ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴〈AC →，BD →〉＝60°，且AC →·BA →＝0，AB →·BD →＝0， ∴CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos 120°＝2a .答案 A8．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →||n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°. 答案 A9．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )．A ．10B ．3C.83D.103解析 P A →＝(1,2，－4)，∴P 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|1×(－2)＋2×(－2)＋(－4)×1|4＋4＋1＝|－2－4－4|3＝103.答案 D10.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )． A.36 B.34 C.33D.23 3解析 如图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． 所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝23 3. 答案 D11．(·兰州模拟)已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析 因为AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案 012．已知A (2,5，－6)，在xOy 平面上存在点B ，使得|AB →|＝35，则点B 到原点的最短距离为________． 解析 设B (x ，y,0)，由|AB →|＝(x －2)2＋(y －5)2＋62＝35，得(x －2)2＋(y －5)2＝9，所以点B 在xOy 平面内以C (2,5)为圆心，以3为半径的圆上，到原点的最短距离是|OC |－3＝29－3. 答案29－313．(·泰安模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点．AD 与GF 所成角的余弦值为________．解析 以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，AD →＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2，1)，|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →·GF →＝－2，cos 〈AD →，GF →〉＝AD →·GF →|AD →||GF →|＝－36.故AD 与GF 所成角的余弦值为36. 答案 3614．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点．AE 等于________时二面角P －EC －D 的平面角为π4.解析 以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (0,2,0)，PC →＝(0,2，－1)．设E (1，y 0,0)，则EC →＝(－1，2－y 0,0)，设平面PEC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·PC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，令y ＝1，得n 1＝(2－y 0,1,2)， 而平面ECD 的法向量n 2＝(0,0,1)， 设二面角P －EC －D 的平面角为θ， ∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22×1＝22⇒y 0＝2－3，即AE ＝2－ 3.答案 2－ 315．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， 所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0. 因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22.所以SN 与平面CMN 所成角为45°.。
《创新设计_高考一轮总复习》数学人教A(理)易失分点清零(十四)统计与概率
易夬分点请零（十01»失分警示找准易失分点率易失分点1混淆频率与组距致误示例1】》某棉纺厂了100根棉花纤维的重要指标），所得方图如图所示，则纤维的长度小于20 mm.析由频率分布直方频率为(0.01 + 0.01 + 0.04 )x520 mm 的频数为100x 0.3 =30(答案30警亦考生误认为频率分布率,这是错误的,而是〃不是矩形的高,而是失分点2分布列的性【示例2】某射手有5发子弹，射击一次果命中就停止射击，否则一直到子弹用数F 的分布列.解P(f= l)=0. 9,P(f= 2)=0 .1X0 .9=0 .09,0.1X 0.1X 0.9= 0.00 9,0.1 X 0.1 X 0.1 X 0.9= 0.00 0 9.当§=5时，只要前四次子弹可能射中也可能AP(f =5)= 0.15 +0.1 4X0. 9=0. 14,・•・耗用子弹数芒1234P0.90.090.0090.000 9示片5时应包含的两好第5发命中,概率为I|标 z 概率为0.15 ,所以P (: !]P(g =5)= l-(0.9 +0.0 9+0. 009 +0.0 009) =0.0&0. 15或P (戸5 )=0.1 4x0. 9等错误.取值情况漏解或考I会应用分布列中概失分点3混淆独立事【示例3]甲射击命中目标的概,乙射击命中目标1-3是率rru射击命中目标的概的:n吃击同一目标，求目设4、B 、C分别表不甲P(A B C) =P(A ) P( B ) P( C ) = [1 -f 1) 1 (( 1\ 1一P(B) ] [1—P(C) ]= 1—X 1—^ X 1—t =万2 丿八f 3丿4丿4———1 3被命中的概率为：P=1I警示对于概率问题1间的相互关系是I公式•而对事件I究,可以简化解题III失分点4求分布列错示例4】下午第三节位同学有5次投篮机达标.为了节约时间标，则停止投篮；2止投篮.已知李俊同互不影响，设X 为测析X 的可能取值为345.(2、。
《创新设计 高考总复习》高考数学一轮复习：易失分点清零(十) 立体几何
易失分点5 解折叠问题时没有理顺折叠前后图形中的不变量和 改变量致误
【示例5】 (2012·湖北)如图(1)，∠ACB＝45°，BC＝3，过 动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接 AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图(2))．
(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大； (2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱 BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得 EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小． 解 (1)在题图(1)所示的△ABC中， 设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x. 由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角 形，所以AD＝CD＝3－x. 由折起前AD⊥BC知，折起后(如题图(2))，AD⊥DC， AD⊥BD，且BD∩DC＝D， 所以AD⊥平面BCD.
可得
sin
θ＝cos(90°－θ)＝|nn|·|EE→→NN|－612×－212＝
3， 2
即 θ＝60°.
故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.
警示 未搞清折前折后的“不变量”导致错解是常见的错 误解法.搞清不变量是解决折叠问题的关键，要注意折前平 面图形和折后立体图形中各元素大小关系哪些变，哪些不 变，解题前可以先将这些关系一一指出以备后用.
∴A→E·D→1F＝0＋4－1＝3，|A→E|＝ 02＋22＋12＝ 5，
|D→1F|＝ 02＋22＋－12＝ 5，
→→
∴cos〈A→E，D→1F〉＝
AE·D1F →→
＝35.
|AE||D1F|
答案：35
警示 异面直线所成角的求法一般有两种：一是利用平
移法将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角；
【创新设计】高三数学一轮复习 6
【例1】解不等式：
<x.
思维点拨：将分式不等式转化为整式不等式．
解：移项，整理原不等式化为
>0.
∵ x 2+ x +1>0恒成立，∴原不等式等价于
>0.
即(x +1)(x -2)(x -3)>0，其解集如图所示的阴影部分．
原不等式的解集为{x|-1<x<2，或x>3}．
变式1：不等式
＜0的解集为( )
答案：A
解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式，可先 求出使每一个绝对值符号内的代数式等于零的未知数的值(称为零点)，将这 些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，使之转化为不 含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏 解．
【例2】解不等式|2x＋1|－|x－4|>2. 思维点拨：找零点分区间讨论法． 解：解法一：①当x≤－ 时，原不等式可化为：－2x－1＋x－4>2，∴x<－7. ②当－ <x≤4时，原不等式可化为：2x＋1＋x－4>2，∴x>，∴<x≤4. ③当x>4时，原不等式可化为：2x＋1－x＋4>2，∴x>－3，∴x>4. ∴原不等式的解集为(－∞，－7)∪
思维点拨：欲证|f(2)|≤8，要充分利用“|x|≤1时，总有|f(x)|≤1”这个条件， 即对[－1,1]上的每一个值均有|f(x)|≤1，故可采用特殊值f(0)，f(1)，f(－1)， 将这些特殊值通过字母系数a，b，c与f(2)联系起来，以达到证题目的．
证明：证法一：∵当|x|≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，即|c|≤1. 又|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，∴|a＋b＋c|≤1，|a－b＋c|≤1. 又∵|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≥|a＋b＋c＋a－b＋c－2c|＝|2a|， 且|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≤4，∴|a|≤2. ∵|2b|＝|a＋b＋c－(a－b＋c)|≤|a＋b＋c|＋|a－b＋c|≤2，∴|b|≤1， ∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|f(1)＋3a＋b|≤|f(1)|＋3|a|＋|b|≤1＋6＋1＝8， 即|f(2)|≤8.
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易失分点1
忽视变形转化的等价性
【示例1】► 设0<b<1＋a.若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解 集中的整数恰有3个，则 A．－1<a<0 C．1<a<3 B．0<a<1 D．3<a<6 ( )．
解析Biblioteka 据题意可得 (x － b)2>(ax)2⇔ (1 － a2)x2 － 2bx ＋ b2>0⇔
易失分点3
不等式解集的表述形式错误
3 1 【示例 3】► 不等式 2x－ ＋1≤ 的解集为________． x 2 3 1 3 －1 解析 由 2x － ＋ 1≤ ＝ 2 可得 x － ＋ 1≤ － 1 ， 即 x 2 x x2＋2x－3 x－1x＋3 ≤0，∴ ≤0，解之得原不等式的解 x x 集为(－∞，－3]∪(0,1]．
答案
警示
(－∞，－3]∪(0,1]
在解出不等式后，最后在答题卡上填上“x≤-3或
0<x≤1”，没有写成集合或区间的形式，从而导致不得分.
易失分点4
恒成立问题错误
【示例4】► 若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实 数a的取值范围是 A．a<－1 解析 B．|a|≤1 C．|a|<1 ( D．a≥1 )．
1 1 1－ x · － 1＝ 1，即 y≤－ 1，当且仅当 1－ x＝ ，即 1－ x 1－ x x＝ 0 时等号成立．
综上可知，原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
警示 本题易出现的错误有两个： 一是不会“凑”， 不能根 据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值； 二是利 用基本不等式求解最值时， 忽视式子的取值范围，直接套用 1 基本不等式求最值．如本题易出现：由 y＝x＋ ＝x－1 x－1 1 1 ＋ ＋1≥2 x－1 · ＋1＝3，得出 y∈[3，＋∞)这 x－1 x－1 一错误结果．
[(1－ a)x－ b]· [(1＋ a)x－ b]>0.由已知 0<b<1＋ a， 且不等式解 集 中 整 数 只 有 3 个 可 得 ： 1 － a<0. 故 不 等 式的 解 集 为 b b b <1，故若不等式解集中整数只有 1－ a，1＋ a .由于 0< 1＋ a b≤ 3a－ 3， b 3 个， 只能有－ 3≤ <－ 2⇒b>2a－ 2， 1－ a 0<b<1＋ a. 在坐标系内作
警示 点是定点O（0，0），另一个是可行域内的动点A（x,y）， 因此本题即求OA两点间连线的斜率最值.
出满足条件的点 (a， b)对应的平面区域． 观察平面区域内点 的横坐标，易得 1<a<3.排除 A，B， D，选 C.
答案
C
警示
在进行不等式的化简变形过程中，容易扩大或
缩小不等式的范围，这也是解不等式时最容易犯的错 误，因此，在变形转化过程中，一定要注意等价变换.
易失分点2
忽视基本不等式应用条件
1 【示例 2】► 函数 y＝x＋ (x≠1)的值域是________． x－1
解析 当 x>1 时 ， y ＝ x ＋ 1 1 ＝x－ 1＋ ＋ 1≥ 2 x－ 1 x－ 1
1 1 x－ 1 · ＋ 1＝ 3，当且仅当 x－ 1＝ ，即 x＝ 2 时等 x－ 1 x－ 1 号成立； 当 x<1 时 ， － y ＝ － x ＋ 1 1 ＝1－x＋ － 1≥ 2 1－ x 1－ x
令y1＝|x|，y2＝ax，画出草图可知，|a|≤1.
答案
警示
B
（1）不能区分恒成立问题与解不等式问题的区
别而造成解题错误.（2）不能应用数形结合法来解题.
易失分点5
目标函数理解错误
y 则 的最 x
x－y－2≤0， 【示例 5】► 设实数 x，y 满足x＋2y－4≥0， 2y－3≤0 大值是________．
解析 根据线性约束条件，画出可行域(如图)，由图可以观察 3 得到当点 A 为直线 2y－3＝0 与 x＋2y－4＝0 的交点1， 时， 2 3 OA 两点间连线的斜率最大，最大值为 . 2
3 答案 2
y 不能正确理解“ ”的含义是本题的易错原因之一， x y-0 y 本题求 的最大值是多少，可以将其转化为求k= 的最 x-0 x 大值是多少，上式其实可以看成是两点连线的斜率，一个