浙江省高等数学竞赛试题(2002

浙江省高等数学竞赛试题（2002.12.7）

一． 计算题(每小题5分，共30分)

1

．求极限lim x →。 2．求积分|1|D

xy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y

x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)

x

x

xe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。 5．设211arctan

2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞

。 6．求积分1

2121(1)x x x e dx x +

+

-⎰。 二． （15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22

149

x y +=内的面积。 三．

（20

分）证明：20)0x dx >。 四． （20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续的偏导数，且(0,1)(1,0)

f f =。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0y

f x y x f x y x y ∂∂-=∂∂。 五． （15分）设{},{}n n a b 为满足1,1n n a b n e

a e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛。证明：1n n

n b a ∞=∑也收敛。