定积分及其应用(高数)

(a b)
b
b
（2） a f ( x)dx a f ( x)dx
(a b)
性质6: 估值性质
设 M 及 m 分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]上
的最大值及最小值,
则
m(b a)
b
f ( x)dx M (b a)
(a b).
a
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
性质7（定积分中值定理） 如果函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续, 则在
dx a
补充 如果 f (t )连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例 1 已知 (x) x et2dt, 求 (x). 0
4.牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x)是连续函 数 f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
牛顿—莱布尼茨公式
5.定积分的计算
（1）直接积分法 （2）凑微分法（第一类换元法） （3）变量替换法（第二类换元法） （4）分部积分法
b.若f (x)在a,b上有界且只有有限个间断点， 则f (x)在a,b上可积。
(2)定积分的几何意义
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负值
它是介于 x 轴、函数 f (x) 的图形及两条直线
x a, x b 之间的各部分面积的代数和.在 x 轴上
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
例 4 计算下列定积分.
(1)
1 1
1
ex e
x
dx;
(2) 4cos2 xdx. 6
解
(1)
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 1
1
1 e
x
d(1
e
x
)
ln(1 e x ) 1 ln(1 e) ln1 1 1;
积
分
表
变
达 式
量
注意：
(1). 定积分表示一个数，它只与被积函数及积
分区间有关，而与积分变量的记法无关，即
b
b
a f (x)dx a f (t)dt
（2）
a f (x)dx 0，
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
(3)可积的必要条件：
a.若f (x)在a,b上连续，则f (x)在a,b上可积。
第五章 定积分及其应用
定积分的应用
存在定理的概念 定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
计 算 法
定 积 分 的
1.定积分的概念
(1)定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
例 2
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解
f
(
x)
3
1 sin 3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
பைடு நூலகம்
1dx, 03
例
2 sin7 xdx
2
cos7
xdx
6
4
2
1
0
0
753
2 cos10 xdx
2 sin10 xdx
9 75 3 1
0
0
10 8 6 4 2 2
周期函数的定积分公式
如果T是连续函数f ( x)的周期,则
aT
T
f ( x)dx f ( x)dx
a为任何常数.
a
0
这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的
0
dx
例 7 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F
(
x)
0
x
0
tf f
(t )dt (t )dt
在(0,)内为单调增
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt 0,
F ( x) 0 ( x 0).
1
e
(2)
4cos2
6
xdx
1 2
4(1 cos 2x)dx
6
1 2
4dx
6
1 4
4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
例5 2 sin3 xdx 0
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x 0
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 当f ( x)在[a, a]上连续, 且有
(1) f (x)为偶函数, 则
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数, 则
a
f ( x)dx 0
a
例 x4 sin xdx 0
5 5
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
1 f (x) f (x)dx 0 1
三角函数的定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
1
n 1
n n n
3 2 3
31
422 4 2,
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
说明：变上限的定积分函数对积分上限x的一阶
导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为
积分上限x所得到的函数，而与积分下限a无关。
一般地, d
g(x)
f (t)dt f [g(x)] g(x)
1
0 [1
f (t)]dt
0,
由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点
x0,使得f (x0 ) 0. 即F(x) 0在（0，1）内至少有一个根。
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F( x)在[0,1]上为单调增加函数.
所以F ( x) 0即原方程在（0，1）内有且只有一个实数根.
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
2 x(x2 1) dx
0
解 2 x(x2 1) dx 1 x(x2 1)dx 2 x(x2 1)dx
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
例3.证明：2e
1 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：令 f (x) ex2x , x [0, 2]
则 f (x) ex2x 2x 1
令 f (x) 0,即ex2x 2x 1 0
得驻点为： x 1 2
因为
f