二项式定理经典例题总结

二项式定理

一、二项式定理的推导

()n b a +展开式如何？

()()__________

______________________________32=+=+b a b a ()?10=+b a 例析()?4

=+b a

归纳()=+n

b a ____________________________________________________ 二、二项式定理的有关概念

1、二项展开式

2、项数

3、二项式系数

4、二项展开式的通项

5、二项式()n

b a +展开式的特点 ①

②

③

注意：①二项式()n b a +的第1+r 项是_________和二项式()n

a b +展开式的第1+r 项是__________，所以______________________

②二项式系数即__________与二项展开式中对应项的系数___________,所以___________. 例如：()5

21x +第3项的二项式系数与第3项的系数 ③()n

b a -的展开式？ ④当1,1==b a 时，()n n 2_____________________________11==+即___________________________________________________

典型例题：二项式定理的应用

例1、展开6

12⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 例2、求()721x +的展开式的第4项的二项式系数和系数.

例3、求15

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛+a a 展开式中含9a 项的系数. 三、杨辉三角 ()n b a +展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以单独列成下表：

___________________________称为“杨辉三角”.

四、二项式系数的性质

1、每一行的两端都是____，其余每个数都等于它“_____”两个数的和..

即____________________________

2、对称性（等距性）：每一行中，与首末两端“等距离“的两个数________.

即___________________________

3、增减性与最大值：

①若二项式的幂指数n 是偶数，那么二项展开式中间一项，即________________二项式系数最大.

②若二项式的幂指数n 是奇数，那么二项展开式中间两项，即_________________二项式系数最大.

4、二项式系数和为_____.即____________________________________________________

典型例题（一）：二项式定理通项的直接应用

例1、（12天津）在5

212⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为______ 例2、(12重庆) 821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中常数项为_______ 例3、（10陕西）)(5

R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 为_____ 例4、（10安徽）6

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式中，3x 的系数为_______ 例5、（06山东）已知n x i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-2展开式中第三项与第五项系数之比为143-，则展开式中的常数项为______

例6、已知,)cos (sin 0dx x x a +⎰=π则61⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x a 二项式展开式中含2x 项的系数为_____

例7、（10湖北）在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_____项.

例8、（06江苏）1031⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 展开式中含x 的正整数指数幂的项数为______ 例9、（12全国）若n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+1展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的2

1x 系数为___ 典型例题（二）：多项式问题 例1、（12安徽）()5

22112⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项是______ 例2、（10辽宁）()6

211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为_____ 例3、（08辽宁）已知()n

x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++3211展开式中的没有常数项，82,≤≤∈*n N n ，则_____=n

例4、（08浙江）在()()()()()54321-----x x x x x 展开式中，含4x 的项的系数为___ 例5、（10全国）()()533121x x

-+展开式中的x 系数为_____ 例6、（08江西）()1010111⎪⎭⎫ ⎝

⎛++x x 展开式中常数项为_____ 例7、（08全国）()()4

611x x +-展开式中的x 系数为_____

典型例题（三）：二项式系数与展开式系数性质的应用

例1、若()015566777

13a x a x a x a x a x +++++=-Λ ⑴7654321a a a a a a a ++++++=________

⑵7531a a a a +++=__________

⑶6420a a a a +++=___________

例2、（08福建）若()012233445552a x a x a x a x a x a x +++++=-，则______54321=++++a a a a a

例3、若012233444)1()1()1()1(a x a x a x a x a x ++++++++=，则______123=+-a a a

例4、()0166778883

)1()1()1()1()2(1a x a x a x a x a x x +-++-+-+-=-++Λ，则______6=a

例5、已知()01223344555

)1()1()1()1()1(1a x a x a x a x a x a x +-+-+-+-+-=+，则______531=++a a a

例6、（12浙江）

5)(x x f = 0122334455)1()1()1()1()1()(a x a x a x a x a x a x f ++++++++++=，则______3=a

例7、（10江西）()82x -

展开式中不含4x 项的系数的和为______ 例8、在102)1(x

x -的展开式中系数最大的项是第_______项. 例9、设展开式n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-15的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240=-N M ，则展开式中x 的系数为_____

例10、已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+2的展开式中第5项的系数与第3项的系数比3:56，则该展开式中2

x 的系数为_____

例11、在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-312展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_____ 例12、若)(6271327*++∈=N n C C n n ,n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-32展开式中的常数项为____ 例13、（11课标全国）512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x x x a x 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_____