初联难度几何题100道(上)解答

B
C
第十题：
已知：正方形 ABCD 中， E 、 F 为 AD 、 DC 的中点，连接 BE 、 AF ，相交于点 P ，连
接 PC 。求证： PC BC
简证：易知△ABE≌△DAF
BE⊥AF，∴B、C、F、P 四点共圆
∠BPC＝∠BFC ∠PBC＝∠BEA
A
E
D
而∠BEA＝∠BFC
∴∠BPC＝∠PBC
证明：过 C 作 CG⊥PO 于 G，
则由∠AEC＝∠PGC＝90°得
A
E、B、G、C 四点共圆
同理 F、D、G、C 四点共圆
PC 是⊙O 切线，PC 2 PE PF
P
BG O
D
在 RT△PCO 中，PC 2 PG PO
E
∴PE PF PG PO ，
F
∴E、G、O、F 四点共圆。∴∠OGF
＝∠OEF，∠BGE＝∠OEF，∴∠
E
简证：以 AD 为边作正三角形 ADE（如图）
易知△ABC≌△CAE
D
∴AD＝AE＝BC。
B
C
第四题：
已知： ABC 中， D 为 AC 边的中点， A 3C ， ADB 45 。求证： AB BC
简证：过 D 作 DE⊥AC 交 BC 于 E
由已知得 AE＝EC，∠EAD＝∠C
B
又∠A＝3∠C，∴∠BAE＝∠BEA
C
OGF＝∠BGE
又 CG⊥PO 得∠EGC＝∠FGC，∠EGF＝∠EOF＝2∠EAF，∴∠EGC＝∠FGC＝∠EAF
又∠EGC＝∠EBC，∠FGC＝∠FDC，∴∠EBC＝∠FDC＝∠EAF
∴AF∥BC，AE∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形。
第八题：
已知：在 ABC 中， AB AC ， A 80 ， OBC 10 ， OCA 20。
2
2
2
2
∵ E B x y (y x )i 2F
∴F 是 EB 中点，∴△CDF 是等腰直角三角形，∠CFD＝90°。
第十二题：
已知：ABC 中，CBA 2CAB ，CBA 的角平分线 BD 与 CAB 的角平分线 AD 相
P
∴PC＝BC。
F
B
C
第十一题：
如图，ACB 与 ADE 都是等腰直角三角形，ADE ACB 90 ，CDF 45 ，DF 交 BE 于 F ，求证： CFD 90
A
证明：只要证明△CDF 是等腰直角三角形时，E、F、B 共线即可。
设C 0 ，B 1， A i ， D x yi(x,y ) ，则
初中教师转正必做 100 题
第一题：
已知： ABC 外接于⊙ O ，BAC 60 ， AE BC ，CF AB ， AE 、CF 相交
于点 H ，点 D 为弧 BC 的中点，连接 HD 、 AD 。求证： AHD 为等腰三角形
简证：易证∠BHC＝120°，∠BOC＝120°，∴B、H、
O、C 四点共圆。
H
D
E
BH＝AB＝BC，∴∠BHC＝80°，∴∠CHG ＝40°
C G
∴∠HGC＝40°，∴HC＝GC，∴△HCD≌
△80°。
第六题：
已知， ABC 30 ， ADC 60 ， AD DC 。求证： AB2 BC2 BD2
简证：以 AB 为边向外作正三角形 ABE E
D
A D D A x (y 1)i ，
E
∴
F
AE
i
2A D e 4
2[x (y 1)i]
2
(1
i
)
x
y
1
C
(y
x
1)i
B
2
∴ E A A E i x y 1 (y x 1)i x y 1 (y x )i
∴ DF
2
DC
i
e 4
，
2
∴ F D DF x yi 2 (x yi) 2 (1 i) 1 (x y ) 1 (y x )i
简证：作点 E 关于 AD 对称点 G，则 DE⊥DG
△CDG≌△ADE，△ACG 是等边三角形。
∠GAC＝60°，∠DAF＝15°，∠CEF＝30°，
∠DEF＝30°，∠CFE＝30°，
∴△CEF 是等腰三角形。CE＝CF。
B
G D
F E
C
第三题：
A
已知：ABC 中，AB AC ，BAC 20 ，BDC 30 。 求证： AD BC
解：设 AD、BC 交于点 F，过 D 作 DG∥AB
交 BF 于点 G，AG 交 BD 于 H。则
A
△ABF 是等腰三角形，A、B、G、D 四点共
圆。
∠DAG＝∠DBG＝20°，∴∠BAG＝60°
∠BDG＝∠BAG＝60°，∠AGD＝∠ABD ＝60°∴△GHD 是等边三角形。△ABH 是 B 等边三角形
则 BC⊥BE， BE 2 BC 2 CE 2
易证△DAB≌△CAE，BD＝CE
于是 A B 2 BC 2 BD2 。
A
D
B
C
第七题：
如图， PC 切⊙ O 于 C ， AC 为圆的直径， PEF 为⊙ O 的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相
交于 B 、 D 。求证：四边形 ABCD 为平行四边形
求证： AB OB
简证：延长 CO 交 AB 于 D，以 OC 为边作正三角
形 OCE（如图）
A
易知 AC＝DC，BD＝OD，OC＝AD
△ACE≌△CAD，△ACO≌△AEO，
D
∠CAO＝ 1 ∠CAE＝10°
2
∴∠BAO＝70°，∠ABO＝40°
O
∴∠BOA＝70°，∴AB＝OB。
B
C
E
第九题：
BA＝BE，由∠ADB＝45°得∠EDB＝45°
E
∴A、D、E、B 四点共圆，∠ABE＝∠ADE＝
90°
即 AB⊥BC。
A
D
C
第五题：
如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 交于点 E ， BAC 50 ， ABD 60 ，
CBD 20 ， CAD 30 ， ADB 40 。求 ACD 。
已知：正方形 ABCD 中， OAD ODA 15 ，求证： OBC 为正三角形。
简证：以 BC 为边作正三角形 BCO＇（如图），
则 AB＝O＇B，∠ABO＇＝30°，
A
∴∠BAO＇＝75°，∠DAO＇＝15°
D O
同理∠ADO＇＝15°
O'
于是△ADO＇≌△ADO
∴O 与 O＇重合
∴△OBC 是正三角形。
A
DB＝DO＝DC，∴DH＝DO＝OA，又 AH∥OD，∴
AHDO 是菱形
∴AH＝HD，△AHD 为等腰三角形。
FH
O
B
E
C
D
第二题：
A
如图，F 为正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AC 、
AF ，延长 AF 交 AC 的平行线 DE 于点 E ，连接
CE ,且 AC=AE。求证： CE CF