数学分析数列极限分析解析

第二章 数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。

教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。

教学内容： 一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，
日取其半，万古不竭。

”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32
1，……，n 21
，…… 或简记作数列：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21
分析：1°、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；
2
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n
a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。

例如：⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1， a=0；
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2
n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n
)1(-， a 不存在，数列不收敛；
2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n )1(()3以3
为极限，对ε=10
1
3)1(3--+
=-n
a a n
n =10
11
n
只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设{}n
a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在
某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有
a
a n -＜ε
则称数列{}n
a 收敛于a ，a 为它的极限。

记作
a a n n =∞
→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明
（1）若数列{}n
a 没有极限，则称该数列为发散数列。

（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞
→lim ⇔
ε
∀＞0，∃N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a
a
n
-＜ε，可用a
n
-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．
的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
个N
（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞
→lim ： 0ε∃＞0，
∀N ，∃n 。

尽管n 。

＞N ，但a
a
n
-（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}n
a 发散：
R
a ∈∀ ，)(a O O
εε
=∃＞0，∀N ，∃n o,尽管
n o ＞N ，但a
a
n -≥εo 。

（7）a a n n =∞
→lim
即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。

.的例题 例1.证明01
lim =∞
→k
n n （K 为正实数）
证：由于
k
k n n 1
01=- 所以∀ε＞0，取N=⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣⎡k 11ε,当n ＞N 时,便有
ε〈-01
k n
注：或写作：∀ε＞0，取
N=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡k 1
1ε
，当n ＞N 时，有
ε〈=-K
K n n 101，∴01
lim
=∞
→k
n n
例2. 证明34
3lim
22
=-∞
→n n n 分析，要使ε〈≤-=--n n n n 12
41234322
2（为简化，限定n 3≥ 只要n ε
12
〉
证.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=〉∀3,12max ,0εεN 取,当n N 〉,有
ε〈≤-=--n
n n n 12
41234322
2
由定义34
3lim 22=-∞
→n n n 适当予先限定n ＞n 。

是允许的！但最后取N 时要保证n ＞n 。

例3．证明n
n q ∞
→lim =0，这里q ＜1
证.若q=0,结果显然成立
若0＜q ＜1，令q =h h (11
+＞0)
由于由贝努利不等式n
n
n h q q )1(1+=
=≤nh +11＜nh
1
所以，ε∀＞0，取N=n h 当,1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε＞N ，有0-n q ＜ε
注：1°特别地写当q=
2
1
时，此即为上述实例中的0)
21(lim =∞
→n
n
２°贝努利不等式（１＋h ）n ≥1+nh.
3°由例2、例3看出，在由a a n -＜ε中求N 时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。

而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。

如：用已知不等式，用限定“n ＞n 。

”等方法。

例4．证明1lim
=∞
→n
n a ，其中a ＞1
证.令a n
1-1=α，则α＞0
由贝努利不等式 α=（1+α）n ≥1+n α=1+n （11-n
a
）或11
-n a ≤
n
a 1
-
ε
∀ ＞0，取N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-ε1a ，当n ＞N 有1
1-n
a
＜ε
四、等价定义与无穷小数列
定义1' 任给ε＞0，若在U （a;ε）之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，
则称数列{}n a 收敛于极限a 。

由定义1' 可知，若存在某ε0＞0，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在U(a ；
ε0)
之外，则{}n a 一定不以a 为极限。

例5 证明{}2n 和{}n )1(-都是发散数列。

分析 利用定义1' 证
例6 设a y x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，作数列﹛z n ﹜如下：
﹛z n ﹜：x 1，y 1，x 2，y 2，…，x n ，y n ，…。

证明 a z n n =∞
→lim 。

分析 利用定义1' 证
例7 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。

证明：数列{}n b 与{}n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

分析 利用定义1'
证 设{}n a 为收敛数列，且n n a ∞
→lim =a 。

按定义1'，……。

现设{}n a 发散，倘若{}n b 收敛，则因{}n a 可看成是对{}n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{}n a 收敛，矛盾。

所以当{}n a 发散时{}n b 也发散。

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若0lim =∞
→n n a ，则称{}n a 为无穷小数列。

前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。

由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：
定理2. 1 数列{}n a 收敛于α的充要条件是：{}α-n a 为无穷小数列。

五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例
题学习也是为了巩固
极限概念。

为此，同学们要注意：
°极限概念的“ε-N ”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N 的双重性。

°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜
a n -a ｜＜ε求N ，其中的若干技巧在于化简不等式。

特别注意不等式的
“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N 的表达式一定仅依赖于ε，当然N 是否是自然数，倒是无关紧要的。

3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。

关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。

复习思考题、作业题：
数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？
1（1），2，3，4，6
§§2 收敛数列的性质
教学目的与要求：
掌握收敛数列的性质如唯一性，有界性，四则运算等及应用。

教学重点，难点：
收敛数列的性质应用，数列子列的定义及数列子列收敛与数列收敛之间的关系。

教学内容：
收敛数列主要有唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算性、子列性等重要性质，通过这些性质的学习，可使学生掌握数列极限的定义与应用定义证明有关命题。

1、唯一性
定理2.2 若数列{}n a收敛，则它只有一个极限。

分析使用几何定义——定义1'
证
注1：本性质证明使用几何定义。

为让学生学会取特殊的ε，可讲解反证法
ε”定义。

证明。

这样更可体现极限的“N
-
注2：一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数。

体现了无限与有限之间的转化关系，这样由这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小，以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实。

2、有界性
定理2.3 若数列{}n a收敛，则{}n a为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有
≤。

a
M
n
分析
证
注1：ε的取法
注2：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，例如数列{}n)1(-
有界，但它并不收敛（见§1例6）。

3、保号性
定理2.4若0lim a ＞a n n =∞
→或＜0，则对任何∈'a （0，a ）(或)0,('a a ∈)，存
在正数N ，使得当n ＞N 时有a n ＞'a （或a n ＜'a ）。

分析 证
注1：ε的取法
注2： 在应用保号性时，经常取2
'a
a =。

4、保序性
定理2.5 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列，若存在正数N 0，使得当n ＞N 0时有a n ≤b n ，则n n n n b a ∞
→∞
→≤lim lim 。

分析 定义与第一章§1例2 证
注1：N 的取法
思考：如果把定理2.5中的条件a n ≤b n ，换成严格不等式a n ＜b n ，那么能否把结论换成n n n n b ＜a ∞
→∞
→lim lim ？
例1 设an ≥0（n=1，2，…）。

证明：若a a n n =∞
→lim ，则a a n n =∞
→lim 。

分析 定理2.5、定义与分类讨论 证
4、迫敛性
定理2.6 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N 0，当n ＞N 0时有
n n n b c a ≤≤ （4） 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞
→lim 。

例2 求数列
{}n
n 的极限。

分析
解
5、四则运算法则
定理2.7 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，{}n n b a -，{}n n b a ⋅也都是收敛数列，且有
,lim lim )(lim n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→±=±
n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→⋅=⋅lim lim )(lim 。

特别当b n ，为常数c 时有
n n n n n n n n a c ca c a c a ∞
→∞
→∞
→∞
→=+=+lim lim ,lim )(lim 。

若再假设b n ≠0及0lim ≠∞
→n n b ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有
n n n n n
n
n b a b a ∞
→∞→∞→=lim /lim lim。

分析 只须用定义证明关于和、积与倒数运算的结论 证 例3 求
1110
111lim
b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ , 其中m ≤k ，a m ≠0，b k ≠0。

分析 四则运算法则
例4 求1
lim +∞→n n
n a a ，其中1-≠a 。

分析 分类讨论与四则运算法则 解
例5 求)1(lim n n n n -+∞
→。

6、子列定理
定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N+的无限子集，且n 1＜n 2＜…＜n k
＜…，则数列
,,,,21k n n n a a a
称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k
n
a 。

注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在
{}n a 中的先后次序。

{}k
n
a 中的第k 项是{}n
a 中的第n k
项，故总有k n
k
≥。

实际上
{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列。

例 数列{}n a 的子列{}k a 2、{}12-k a 、{}n a 。

注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列。

例如{}n a 的非平凡子列{}k a 2和{}12-k a 。

性质 由上节例8，数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

定理2.8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛。

分析 必要性由定义，充分性利用必要性与上节例7 证
注：定理2.8的你否命题是判断数列发散的有力工具：若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散。

应用举例：数列{}n )1(-，其偶数项组成的子列{}n 2)1(-收敛于1，而奇数项组
成的子列{}12)1(--k 收敛于-1，从而{}n )1(-发散，再加数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项
组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sin k 即为{}1)1(--k ，由于这个子列发散，故数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧2sin πn 发散。

复习思考题、作业题： 1（2）（4）（6），4，5，6. 难题解答
§3 数列极限存在的条件
教学目的与要求：
掌握数列极限存在性的判断准则：单调有界性定理，Cauchy 准则及应用 教学重点，难点：
单调有界性定理， Cauchy 准则的证明及应用 教学内容：
极限理论的两个基本问题：一、数列是否有极限(极限的存在性问题)；二、若极限存在，如何计算此极限（及限值的计算问题）。

困难：依定义需将每个实数用定义一一验证，不可能。

解决方法：直接从数列本身的特征来做出判断。

本节介绍的两个定理非常重要，他们不仅是判断数列是否存在极限的充分条件和充要条件，而且也与实数完备性定理等价。

一、单调有界定理
定义 若数列{}n a 的各项满足关系式
1+≤n n a a （a n ≥a n+1）
则称{}n a 为递增（递减）数列，递增数列和递减数列统称为单调数列，如⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1为
递减数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 与{}2
n 为递增数列，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1(则不是单调数列。

定理2.9在实数系中，有界的单调数列必有极限。

分析 找到极限即可，用确界原理 证
注：通过证明可知，单增有上界数列有极限且其极限为其上确界，单减有下界数列有极限且其极限为其下确界。

例1 设
a n =1+
,2,1,13121=+++n n
a a a ， 其中实数a ≥2。

证明数列{}n a 收敛。

分析
证
例2 证明数列
,222,,22,2++++
n 个根号
收敛，并求其极限。

分析 证
例3 设S 为有界数集。

证明：若supS=a S ∈，则存在严格递增数列{}n x ⊂S ，使得
a x n n =∞
→lim 。

分析 构造性证明方法，常用 证
例4 证明n n n
)1
1(lim +∞→存在。

分析
证 先建立一个不等式。

设b ＞a ＞0，对任一正整数n 有
11++-n n a b ＜（n+1）b n (b-a)。

即
1+n a ＞b n
[(n+1)a-nb]。

（1） 以a=1+n b n 11,11+=+代入（1）式证明⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+n n )11(为递增数列。

再以a=1，b=n 211+
代入（1）式得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n )11(有上界。

由单调有界定理推知数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+n n )11(是收敛的。

通常无理数（待证）e 的定义为e n
n n =+∞→)11(lim ，以e 为底的对数称为自然对数，通常记x x e log ln =。

注：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，但却与下面数列收敛的充分必要条件等价。

二、柯西（Cauchy ）收敛准则
定理2.10 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的ε＞0，存在正整数N ，使得当n ，m ＞N 时有
m n a a -＜ε。

注：应再给出两种等价形式。

注：这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出。

柯西收敛准则的条件称为柯西条件。

其直观意义：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分到后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。

优点：柯西收敛准则把ε—N 定义中a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系，其
好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。

例5 证明：任一无限十进小数a=0.b 1b 2…b n …的n 位不足近似（n=1，2，…）
所组成的数列 ,101010,,1010,102212211n
n b b b b b b ++++ （2）
满足柯西条件（从而必收敛），其中bk 为0，1，2…，9中的一个数，k=1，2，…。

分析
证
复习思考题、作业题：
1，2，3，6，7。