矩阵理论试题

矩阵理论2007年考试

一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）

1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，

如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( )

2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )

3、设n n C

A ⨯∈可逆，n n C

B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.

( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( )

5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( )

6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )

7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( )

8、0010140110620

118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( )

10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )

二、计算与证明（60分）

1. (10分)设矩阵n n A C

⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n

C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1

1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v

y L x A A L y =-==⋅. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==,

1

1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,

结论成立.

2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,

(1) 求矩阵A 的最大秩分解;

(2) 求A +

;

(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?

(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解) 解: (1)10110101011011A BD ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

, (2)12111()1213T T B B B B +--⎛⎫== ⎪-⎝⎭, 121121()13521T T D D DD +--⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, 541033157215541A D B +++-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

, (3) 314AA b b +⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

, 方程组Ax b =有解;

(4) 最小范数解:()01101T

x A b +==. 3. (10分) 设矩阵n n A C

⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n n H C ⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.

证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)H H H H x HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,

R λ∈.

(必要性) A 为单纯矩阵, 所以11, (,,), n i A P DP D diag R λλλ-==∈,

令H H P P =, 则1H H HA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵.

4. (10分) 设矩阵n n A C ⨯∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:

(1) 矩阵A 为可逆矩阵;

(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部.

5. (10分)

(1) 设矩阵()m n A C m n ⨯∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H

A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.

证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵H A A 的特征值为1(m 个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵H A A 酉相似于对角矩阵000m

n n

I D ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2) 设矩阵m n n A C ⨯∈, 证明: 2||||1AA +=.

证明: 令2B AA B B +=⇒=. 设B 的特征值为λ, 则2λλ=, 即0,1λ=.设

,00n x C x Ax ∈≠⇒≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==⋅, 即1是矩阵B 的特征值, 故()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ⇒===.

6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则

,||||max ||a ij i j

A n a =⋅ 是矩阵范数.

(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .