1、顶点在原点,关于坐标轴对称,且过点(2,-3)的抛物线方程是

第34讲 抛物线的标准方程及其几何性质

知识回顾：

1、抛物线ax y =2

的准线方程是2=x ．，则=a ．

（变式）抛物线()042

≠=a ax y 的焦点坐标是 ，准线方程是 ．

2、抛物线C 过点P(-6,-3)，则此抛物线的标准方程是 ．

（变式）抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，在抛物线上的点A(4,m)到准线的距离是6，则=m ．

3、斜率为2的直线经过抛物线x y 42

=的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则｜AB ｜= ． 4、一抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，则水面下降1米后，水面宽 米． 5、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________． 6、已知圆C 的圆心与抛物线x y 42

=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . 例题解析：

例1 （1）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2

:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C

的焦点，若||2||FA FB =，则k = ．

（2）已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．

（3）已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C

上且

AK AF =，则AFK ∆的面积为 ．

例2 已知抛物线2

y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>，过

点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、． （1）证明E F N 、、三点共线；

（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．

例3 已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

例4（备用）如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p

）时，AB = （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2

2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

作业：

1、顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点(2,-3)的抛物线方程是 ．

2、圆心在抛物线x y 22

=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 ．

3、抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线的方程是 ．

4、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知镜的直径是60cm ，镜深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是 ．

5、若抛物线x y 42

=上的点M 到直线x y =的距离等于24，则点M 的坐标是 ．

6、抛物线x y 22

=上的两点A ，B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ． 7、动圆的圆心在抛物线y 2

=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则动圆必过定点 ．

8、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上的横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5

；⑤由原点向过焦点

的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这抛物线方程为x y 102

=的条件是 （要求填写合适条件的序号）． 9、、抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A (-1,0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点． （1）求抛物线的方程；

（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程．

10、如图，已知抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D

四个点．

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标．

作业参考答案：

1、x y 292

=

或y x 3

4

2-=（提示：注意已知点所在象限对标准方程的影响）

． 2、04

122

2=+±-+y x y x （提示：由题意，不妨设圆心P 到准线和到x 轴的垂线段分

别是｜PP ’｜和｜PA ｜，则｜PP ’｜=｜PA ｜，结合抛物线的定义可得A 点为抛物线的焦点，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21

A ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛±1,21P ，即得圆的方程）．

3、x y 242

±=（提示：抛物线的通径长是2P ）．

4、5.625cm （提示：设抛物线的方程是()022

>=p px y ，则点(40,30)在该抛物线上，∴

900=80p ，∴445=

p ，即625.58

452==p ）． 5、(4,-4)或(16,8)（提示：设()b a M ,，则a b 42

=，

242

||=-b a ，联立可得解）．

6、2（提示：设A 、B 、P 在抛物线l 上的射影分别是111,,P B A ，则由抛物线的定义知：

,5||||||||11=+=+BF AF BB AA ()2

5||||21

||111=+=

∴BB AA PP ，∴P 到y 轴的距离22

1

25=-=

d ）

．