第7章 图论 -3-4图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图

k 等于k的路的条数。 bij 是G中长度小于等于k的路的总条数。 i 1 j 1 k bii 是G中长度小于等于k的回路数。 i 1
n n
n
[注]：这里的矩阵乘法和矩阵加法都是按照正常的矩阵乘法和加法运算 法则来计算。注意和第4章二元关系中的逻辑加区分开来。
第9章 图论
【例7.3.1】 设G=V,E为简单有向图，其图形如右下图所示，
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
简单图的邻接矩阵具有以下性质：
①简单图的邻接矩阵中元素全是0或1。这样的矩阵叫布 尔矩阵。简单图的邻接矩阵是布尔矩阵。 ②无向简单图的邻接矩阵是对称阵，有向简单图的邻接 矩阵不一定是对称阵。 ③简单图邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如上 页图 (a)的邻接矩阵是A(G)，若将图 (a)中的接点v1和v2的标 定次序调换，得到图 (b)，图 (b)的邻接矩阵是A′(G)。
写出G的邻接矩阵A，算出A2，A3，A4且确定v1到v2有多少条 长度为3的路? v1到v3有多少条长度为2的路? v2到自身长度为
3和长度为4的回路各多少条?
解：图G的邻接矩阵A如下：
0 1 A 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
第9章 图论
定理7.3.1 设A(G)是图G的邻接矩阵，A(G)k=A(G).A(G)k-1，
k A(G)k的第i行，第j列元素aij 等于从vi到vj长度为k的通路的条数。
k 其中 aii 为vi到自身长度为k的回路数。
推论 设G=V,E是n阶简单有向图，A是有向图G的邻接矩阵，
k k Bk=A＋A2＋…＋Ak，Bk=( bij )n×n，则 bij 是G中由vi到vj长度小于
1 0 1 0 0 0 2 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0 2 0 0
1 0 1 0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0
0 1 A3 A A2 0 0 0 0 1 A4 A A3 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 A(G ) 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
考察A(G)和A′(G)发现，先将A(G)的第一行与第二行对 调，再将第一列与第二列对调可得到A′(G)。称A′(G)与A(G) 是置换等价的。 一般地说，把n阶方阵A的某些行对调，再把相应的列 做同样的对调，得到一个新的n阶方阵A′，则称A′与A是置 换等价的。可以证明置换等价是n阶布尔方阵集合上的等价 关系。 虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而 得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。 今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表 示该图。 ④对有向简单图来说，其邻接矩阵A(G)的第i行1的个 数是vi的出度， 第j列1的个数是vj的入度。 ⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过 来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。
1 1 1 2）则按上述方法规则可得，P= 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
第9章 图论
方法二 计算简单有向图G的可达性矩阵P，还可以用下述方法： (k ) 设A是G的邻接矩阵，令A=(aij)n×n，A(k) =( aij )n×n，A0为 n阶单位阵。 ( 2) A(2)=A∘A，其中 aij =(ai1∧a1j)∨(ai2∧a2j)∨…∨(ain∧anj) i,j=1,…,n。 (3) ( 2) (3) (2) ( 2) ) a A =A∘A ，其中 ij (ai1∧a1 j )∨… ∨(ain∧ anj i,j=1,…,n。 …… P= A0∨A∨A(2)∨A(3)∨…∨A(n–1)。 其中，运算∨是矩阵 对应元素的析取。 [注]：这里运算中，注意加法是采用逻辑加。
2 a13 =1，所以v1到v3长度为2的路有1条：v1v2v3。 3 =0，v2到自身无长度为3的回路。 a22 4 =4，v2到自身有4条长度为4的回路，它们分别是： a22
v2v1v2v1v2、v2v3v2v3v2、v2v3v2v1v2和v2v1v2v3v2。 由A4 还可得出判断： G中长为4的通路共有14条（即 A4的全 部元素的累加和等于14）,其中回路有10条（即 A4的主对角线 上所有元素的累加和等于10 ） 类似地，由A3 还可得出判断： G中长为3的通路共有10条（即 A3的全部元素的累加和等于10）,其中回路有0条（即 A3的主 对角线上所有元素的累加和等于0）
第9章 图论
方法一： 设G=V,E是n阶简单有向图，V=v1,v2,…,vn，由 可达性矩阵的定义知，当i≠j时，如果vi到vj有通路，则pij=1； 如果vi到vj无通路，则pij=0；又由定理7.2.1知，如果vi到vj有 通路，则必存在长度小于等于 n–1 的初级通路。依据定理 7.3.1的推论，如下计算图G的可达性矩阵P： 1）先计算Bn–1=A＋A2＋…＋An–1， n 1 n 1 n 1 2）设Bn–1=( bij )n×n。若 bij ≠0，则令pij=1，若 bij =0， 则令pij =0，i, j=1,…,n。再令pii=1，i=1,…,n。就得到了图G 的可达性矩阵P。 令A0为n阶单位阵，则上述算法也可以改进为： 1）计算Cn–1= A0＋Bn–1=A0＋A＋A2＋…＋An-1， n 1 n 1 c 2）设Cn–1=( cij )n×n。若 ij ≠0，则令pij=1， n 1 c 若 ij =0，则令pij=0，i,j=1,…,n。
a1n a2 n

ann
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
第9章 图论
例如，下边(a)、(b)两个有向简单图的邻接矩阵分别为：
0 0 A(G ) 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 A(G ) 1 0
第9章 图论
7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph)
• 7.3.1 简单图的邻接矩阵(Adjacency Matrices) – 有向图中的通路数与回路数
• 7.3.2 图的可达矩阵(有向图)(Reachability Matrices )
• 7.3.3 无环无向图的完全关联矩阵
定义7.3.3 设G=V,E是简单无向图，V=v1,v2,…,vn
n阶方阵 P(G)=( pij) n×n称为G的连通矩阵。简记为P。 p11 p12 其中： vi 与v j 连通 1 pij p21 p22
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
A(3)
1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
A(4)
0 1 1 1
2 0 2 0 0 0 4 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0 2 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
第9章 图论
3 =2，所以v1到v2长度为3的路有2条，它们分别是： a12
v1v2v1v2和v1v2v3v2。
vi 到v j 有边 1 aij 其中： 0 vi 到v j 无边或i j
i , j=1,…,n 例如，右边无向简 单图的邻接矩阵为： 0 1 A(G ) 0 1
a11 a 即：A(G) = 21 an1
a12 a22 an 2
(Complete Incidence Matrices)
• 7.3.4 简单有向图的完全关联矩阵
(Complete Incidence Matrices)
第9章 图论
7.3 图的矩阵表示
7.3.1简单图的邻接矩阵（无向图、有向图）
定义7.3.1 设 G=V,E是一个简单图，V=v1,v2,…,vn n阶方阵A(G)=(aij) n×n称为图G的邻接矩阵。简记为A。
请大家自我阅读教材P292-293页例题2，了解并熟悉该方法。
第9章 图论
【例7.3.2】利用方法二求右图的可达性矩阵P 。 解: 该图的邻接矩阵为
0 0 A 1 1
(2)
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0
A
0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1
第9章 图论
利用矩阵的幂次定义，计算可得A2，A3，A4如下：
0 1 A2 A A 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1 1 1 0 故有： P A(1) A(2) A(3) A(4) 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Fra Baidu bibliotek
0 0 0 0
第9章 图论
简单无向图的连通矩阵
可达性矩阵用来描述有向图的一个结点到另一个结点是否有路， 即是否可达。无向图也可以用矩阵描述一个结点到另一个结点是否 有路。在无向图中，如果结点之间有路，称这两个结点连通，不叫 可达。所以把描述一个结点到另一个结点是否有路的矩阵叫连通矩 阵，而不叫可达性矩阵。
可达矩阵的两种计算方法：
第9章 图论
例如：使用上述方法，计算【例7.3.1】中图G（如右下图所 示）的可达性矩阵P。 解：1）计算 C4= A0＋A＋A2＋A3＋A4
4 3 得， C4= 3 0 0 3 7 3 0 0 3 3 4 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 3
[说明]: 在这里, 通路和回路数是定义7.3.1意义下的。有些教材中邻 接矩阵有其他的定义方式。
第9章 图论
7.3.2 简单有向图的可达矩阵
定义7.3.2 设G=V,E是简单有向图，V=v1,v2,…,vn n阶方阵P(G)=(pij)n×n称为图G的可达性矩阵。简记为P。 p1n p11 p12 vi到v j 可达 1 其中：pij = p p p v 到 v 不可达 21 22 2n i j 0 即：P(G) = i, j=1,…,n pnn pn1 pn 2 [注]：1） 在定义7.2.12中，规定了有向图的任何结点自己和自 己可达。故简单有向图可达矩阵P(G)的主对角线元素全为1。 2）有向图G强连通当且仅当P(G)的元素全为1. 3）除了由该定义直接写出图G的可达矩阵之外，还可 以采用下页所述方法计算图G可达矩阵：