置信区间

的图形沿x轴平行
移动，不改变其形状，因此正态曲线的位置完全
由参数μ所确定， μ称为位置参数。
0

x
一、 知识预备：正态分布
4、σ的意义 σ表示总体的平均数，反映了总体随机变量的集中与分散的程度。 当μ固定，改变σ的值，由于
p( x)的最大值为：
p
1 2
可知，σ越小，正态曲线越陡，因而X落在μ附近 的概率越大；
2
n
则对给定的α，令：
t (n 1)} 1
2
n
查t 分布表，可得t (n 1) 的值。
2
P{ X
S S t 2 (n 1) X t 2 (n 1)} 1 n n
则μ的置信度为1－ α的置信区间为:
[X
S S t 2 (n 1), X t 2 (n 1)] n n
1 为置信度， 为显著水平。 置信下限和置信上限，
4、置信区间的意义 反复抽取容量为n的样本,都可得一个区间，此区间不一定包含未知参数 的真值，而 该区间包含真值的概率为1 。 若测得 一组样本值，算得 x 1.86 ，则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877)，它可 能包含也可能不包含 的真值，反复抽样得到的区间中有95%包含 的真值。
反之，σ越大，正态曲线越平坦，X取值越分散。 σ决定了图形的陡峭程度，称为形状参数。
一、 知识预备：正态分布
5、标准化变换 标准正态分布是正态分布的一种，具有正态分布的所有特征。标准正态分布是期望等于0，
y 方差等于1的分布，即满足：
X ~ N (0,1)
σ
标准化变换就是让非标准正态分布转换为。
μ 标准正态分布，从而方便查表计算。 标准化变换 对于一个正态分布：
T
X S
2
~ t (n 1)
根据所求， 95%的均值的置信区间为[49.23， 50.49。即我们认为所有六月份产品的电阻均 值有95%的可能性落在[49.23Ω，50.49 Ω]的 范围之内。因为这个范围内包含了目标值50 Ω ，所以我们有95%的把握相信六月份的产 品质量与目标还是很接近的。
常数 随机变量
不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的 样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求. 如引例中，要找一个区间，使其包含 的真值的概率为0.95。
二、 置信区间的概念
2、置信区间 设
X ~ N ( , 2 )
则， X
[X
S t 2 (n 1)] n
四、 置信区间的应用
1、应用实例1 置信区间是用样本信息来估算表示总体参 数（如平均值）的不确定程度的。
假定您在一个生产同轴电缆的公司负责质量管理工作，有一种主要产品的规格是： 目标值=50Ω，标准差=2 Ω 。从上月（六月份）生产的所有产品中随机抽取了 40个电缆并测量其阻值，发现此样本的平均值=49.86Ω，标准差=1.96Ω。请问： （1）如果以总体均值作为衡量质量的指标，六月份产品的总体均值可能是多少？ 总体质量水平又大致如何？ 解：选取统计量为
x
时， p ( x) 取到最大值:
0
p
1 2
h
h
x
这表明，x离μ越远，p ( x) 的值就 越小，即随机变量X落在该区间中的概率就越小。
一、 知识预备：正态分布
3、μ的意义 μ表示总体的标准差，反映了总体随机变量的平均水平。
p( x)
当σ固定，改变μ的值，则
p( x)
~ N ( ,
2
n
)
对 X 做标准化变换，则随机变量：
Z
X
2
~ N (0,1)
n
,查标准正态分布表表得 z / 2 1.96
2
z
2
2
z
2
取
0.05
P{
X
这说明：
2
z } 1
2
n
即 P{ X

n
n [ X z , X z 2 ] 为未知参数μ的置信度为0.95的置信区间。 称随机区间 2 n n
X ~ N ( , )
x
通过如下的Z分数公式便可转换成标准正态分布：
Z X
σ=1

z
二、 置信区间的概念
1、区间估计 引子：由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的指标服从正态分布，因此，我们 重点研究一个正态总体情形下的区间估计。 已知 X ~ N ( ,1)，则
的无偏、有效点估计为 X
三、 置信区间的计算
1、已知σ2时，μ 的置信区间 设 对
X ~ N ( , 2 )
则， X
~ N ( ,
2
n
)
X 做标准化变换，则随机变量：
Z X
2
~ N (0,1)
n
2
z
2
2
2
z
2
令： P{
X

2
z } 1
n
即 P{ X

n
z 2 X
n
由公式知μ的置信区间为
S [X t 2 (n 1)] n
查表 t 0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227
2
则所求μ的置信区间为[49.23，50.49]
谢谢 Thanks

n
z 2 } 1 0.95
则μ的置信度为1－ α的置信区间为:
[X

n
z 2 , X

n
z 2 ]
三、 置信区间的计算
2、未知σ2时，μ 的置信区间 当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ2 代替σ2 。 已知： T
X S
2
~ t (n 1)
P{ X S
三份规范探讨
置信区间
一、知识预备：正态分布 二、置信区间的概念 三、置信区间的计算 四、置信区间的应用
一、 知识预备：正态分布
1、正态分布 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似 服从正态分布的。 如果连续型随机变量X的密度函数为：
p( x)
1 2
(x ) 2 2 e
百度文库z 2 X

z 2 } 1 0.95
二、 置信区间的概念
3、置信区间的定义 设 θ 是总体X的一个未知参数，若存在随机区间 [1 , 2 ] ，对于给定的 0 1 ， 若满足 P{ } 1 1 2 则称区间 [1 , 2 ] 是 的置信水平（置信度）为 1 的置信区间。1 和 2 分别称为
2、正态曲线的图形性质 对于正态分布的密度函数
p( x)
1 2
(x ) e 2 2
2
x
p (x)
由高等数学知识有： （1）曲线关于直线
x
对称，这表明，对于任意的h>0，有：
P h X P X h
（2）当
2
x
（其中-∞<μ<+∞,σ>0为参数，μ、σ分别表示总体的平均数与标准差） 则随机变量X服从参数为μ , σ 的正态分布，记为：
x ~ N ( , )
2
( EX , DX )
p( x)
p ( x) 所确定的曲线叫作正态(高斯）曲线。
0

x
一、 知识预备：正态分布