离散数学第三章 谓词演算基础 自由变元和约束变元
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离散数学第三章 谓词演算基础函数与量词.ppt
例3 If a program can not be told a fact，then it can not learn that fact.
解：设 P(e)表示e为program; F(e)表示e为fact; T(e1，e2)表示e1 can be told e2; L(e1，e2)表示e1 can learn e2;
则原句译为： x(A(x) y(B(y) C(x，y)) )
例2 金子闪光，但闪光的并非全是金子。
解：设 G(e)表示e为金子； S(e)表示e闪光。
则原句译为：
x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
或 x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
试译：计算机学院的有些老师是青年教师。
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(e)限定x取值范围。
例1 某些人对某些食物过敏。
解：设 A(e)表示e为人； B(e)表示e为食物； C(e1，e2)表示e1对e2过敏。
例5 任何人均会犯错误。
解：设 P(e)表示e为人； M(e)表示e为错误； D(e1，e2)表示e1犯e2。
则原句译为：
x( P(x) y(M(y)D(x，y)) )
例6 己所不欲勿施于人。
解：设 P(e)表示e为人； T(e)表示e为东西； W(e1，e2)表示e1要e2； S(e1，e2，e3)表示e1施e2给e3。
x(N(xN)(x):x是y自(然N数(。y)
∧G(y,x))
则命题可以表示为：
也可以理解为x“(B(下x)∧句N(x)话) 是不对的‘存在一
《应用离散数学》谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
离散数学第三章 谓词演算基础-唯一性量词与摹状词
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。摹状词 (指导 Nhomakorabea元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
摹状词 xy(x)
对于不满足存在性和唯一性的语句，如“地球的创造”其不 满足存在性、“计算机的发明者”其不满足唯一性等，我们 引入下面的表示方法： x 当！x(x)成立时是指使得(x) 成立的那个惟一的个体x y 否则
xy(x)=
由摹状词的定义可知，下列等式成立。
(xy(x)) =(！x(x)t((t)(t)))(！x(x)(y))
例1 (p57) 他是唯一没有去过北京的人。
解：设 A(e)表示“e为人”；
B(e1，e2)表示e1去过e2；
a表示“他”；
b表示“北京”。
则语句可译为：
！x(A(x) B(x，b) x=a)
例2 (p57) 地球是唯一有人的星球
解： 设 A(e)表示“e为星球”； B(e)表示“e为人”； C(e1，e2)表示e1上有e2； a表示“地球”； 则原句译为： ！xy(A(x) B(y) C(x，y)x=a)
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
2015离散数学谓词量词、变元的约束、翻译
(1)
2 是无理数 .
(2) x是有理数. (3) 小王与小李同岁. (4) x 与y具有同学关系.
(1) 凡人都呼吸 . (2) 所有的人都长着黑头发. (3) 兔子比乌龟跑得快. (4) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ美国留学的学生未必都是亚洲人.
Universal Quantifier
The universal quantification of P(x) is the statement
定义1：约束变元 谓词公式中 ， ，后面所跟的 x ，称为相应 量词的指导变元或作用变元或约束变元。 定义2：量词作用域（量词辖域）
给 定 谓 词 公 式 中 ， 形 式 为 (x)P(x) ， (x) P(x)中的P(x)称为相应量词的作用域（辖域）。
定义3：自由变元 在谓词公式中，除去约束变元以外所出现的 变元，称作自由变元。
with a certain property. Such statements are expressed using existential quantification. With existential quantification, we form a proposition that is true if and only if P(x) is true for at least one value of x in the domain.
Truth value?
We read ∀xP(x) as “for all xP(x)” or “for every xP(x).”An
element for which P(x) is false is called a counterexample of ∀xP(x).
离散数学第三章 谓词演算基础-谓词与个体
WRITE(x，y)
其中x,y为变量符号项。
此式表示x和y的关系是WRITE，即作者x写了书y。 此时x可在个体域I (表示作者的集合)上变化； y可在个体域J (表示书名的集合)上变化。
谓词变元
一般地，考察
A(x，y)
其中x,y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
可用变元来代替空位。因此，上述谓词可以表 示为： M(x)，D(x)，B(x,y)，ADD(x, y, z)
谓词填式
——谓词的空位上填入个体后所产生的语句。 例如： M（苏格拉底）表示“苏格拉底是人”。 D（苏格拉底）表示“苏格拉底是要死的”。 B（张三，北京）表示“张三生于北京”。 ADD（3，2，5）表示“3+2=5”。
单个体的二元谓词有2个。
个体域{a，b}上的二元谓词
两个个体的二元谓词A(e1，e2)如下图所示:
e1 e2 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
a a b b
a b a b
T T T T
F T T T
T F T T
T T F T
当谓词填式中所填个体都是常元时，它是一 个命题，因而有确定的真值。 例如： M（苏格拉底）为真， M（孔子）为真， M（孙悟空）为假， M（北京）为假。
一元谓词的数目与个体域的大小有关。
谓词：从个体域到真值集的映射
例如： D（苏格拉底）为真，
D（孙悟空）为假，
B（苏格拉底，希腊）为真 B（苏格拉底，中国）为假， ADD（1，1，2）为真， ADD（3，2，5）为真， ADD（3，2，6）为假。
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
离散第13讲 谓词演算基本概念
F(x): x怕死
当x的个体域是人类时
x ┐F(x)
当x的个体域是所有对象(全总域)时
H(x)：x是人（限定谓词,特性谓词） x(H(x)∧┐F(x))
x(H(x)→┐F(x)) ×
第13讲 谓词演算基本概念
-19-
存在量词(existential quantifier)
如果x的个体域是整数，P(x)表示“x=x+1”， 求xP(x)的真值 如果x的个体域是实数集合，求x(x2<0)的真 值；
词公式成为关于个体域的一个命题，可判定其真值 存在量词： ；指导变元：x，作用域：S(x) ，其中x为约束变元 对确定的个体域和谓词S， xS(x)是一个命题：个体域中有一个 对象，具有谓词S定义的性质 S(x1) ∨S(x2) ∨ … ∨ S(xn)
第13讲 谓词演算基本概念
对T(x) ：x没有任何量词约束，且x是个体变元，称为自由变元
如果个体域是复数集合，求x(x2<0)的真值
第13讲 谓词演算基本概念
-20-
谓词公式（predicate formula）
定义：以下条款规定的符号串称谓词公式，简称公式
(1)谓词填充式是公式，命题常元是公式(看作零元谓词)；
(2)如果A，B是公式，x为任一变元，那么(┐A)，(A→B)， (xA)，(x A)
否定
每个同学都学过高等数学 P(x)：x学过高等数学；xP(x) 不是每个同学都学过高等数学 ┐xP(x) 有的同学学过法语 P(x)：x学过法语； xP(x) 并没有同学学过法语 ┐ xP(x)
有的同学没有学过高等数学
x ┐P(x)
语句 xP(x) 等价语句 ┐ x ┐P(x)
所有的人都是要死的 D(x): x是要死的 当x的个体域是人类时
当x的个体域是人类时
x ┐F(x)
当x的个体域是所有对象(全总域)时
H(x)：x是人（限定谓词,特性谓词） x(H(x)∧┐F(x))
x(H(x)→┐F(x)) ×
第13讲 谓词演算基本概念
-19-
存在量词(existential quantifier)
如果x的个体域是整数，P(x)表示“x=x+1”， 求xP(x)的真值 如果x的个体域是实数集合，求x(x2<0)的真 值；
词公式成为关于个体域的一个命题，可判定其真值 存在量词： ；指导变元：x，作用域：S(x) ，其中x为约束变元 对确定的个体域和谓词S， xS(x)是一个命题：个体域中有一个 对象，具有谓词S定义的性质 S(x1) ∨S(x2) ∨ … ∨ S(xn)
第13讲 谓词演算基本概念
对T(x) ：x没有任何量词约束，且x是个体变元，称为自由变元
如果个体域是复数集合，求x(x2<0)的真值
第13讲 谓词演算基本概念
-20-
谓词公式（predicate formula）
定义：以下条款规定的符号串称谓词公式，简称公式
(1)谓词填充式是公式，命题常元是公式(看作零元谓词)；
(2)如果A，B是公式，x为任一变元，那么(┐A)，(A→B)， (xA)，(x A)
否定
每个同学都学过高等数学 P(x)：x学过高等数学；xP(x) 不是每个同学都学过高等数学 ┐xP(x) 有的同学学过法语 P(x)：x学过法语； xP(x) 并没有同学学过法语 ┐ xP(x)
有的同学没有学过高等数学
x ┐P(x)
语句 xP(x) 等价语句 ┐ x ┐P(x)
所有的人都是要死的 D(x): x是要死的 当x的个体域是人类时
离散数学ch2[1]谓词演算
![离散数学ch2[1]谓词演算](https://img.taocdn.com/s3/m/9d4a2826f46527d3240ce0ff.png)
2-1 谓词演算
• 谓词 • 谓词演算中的量词 • 谓词公式 • 自由变元与约束变元
2-1.1 谓词和量词:谓词
小陈是大学生 P 小林是大学生 Q
P和Q没有任何逻辑联系
两句话的共同特征: “是大学生” 主语+谓语
P: “是大学生” 某某人
P称为谓词
P(小陈) ;P(小林)
小陈、x是客体
P(x): x是大学生
2-1.2 谓词公式
• 例:以下命题公式均是谓词公式
A(B C) xR(x) ┐( xR(x) ) (xR(x)→ xS(x) ) ┐( xR(x) xS(x) )
x(M(x) →F(x))
2-1.1 谓词和量词:量词
– 全称量词的否定 所有的人都是要死的 x(M(x) →F(x))
x(┐(M(x) →F(x))) 所有的人都不会死? ┐x (M(x) →F(x)) 不是所有的人都是要死的
有的人不会死
┐x(┐(M(x) →F(x))) 不是所有的人都不会死?
1)谓词演算的原子公式是谓词演算的合式公式 2)若A， B是谓词演算的合式公式，则 (┐A)是谓词演算的合式公式 (AB)，(AB)，(A→B)，(AB)是谓词演算的合式公式 (x)A和(x)A是谓词演算的合式公式 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓 词演算的合式公式
谓词演算的合式公式简称谓词公式 注：由定义知，命题公式也是谓词公式
2-1.1 谓词和量词:谓词
3>2 x>y 李明坐在张华和张洪之间
两个客体 两个客体 三个客体
张华和张洪打败了李明和李良 四个客体
2-1.1 谓词和量词:谓词
• 一元谓词:谓词联系着一个客体名称 • 二元谓词:若有两个客体名称与谓词相联
离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
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3.1.1.2 斯柯林(Skolem)标准范式
定义 3.1.2 从前束范式中消去全部存在量词所得到的公式即为 Skolem 标准范式。 例如，如果用 Skolem 函数 f(x)代替前束形范式 x (y)(z)( P( x) F ( y, z) Q( y, z)) 中 的 y 即得到 Skolem 标准范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z)) Skolem 标准型的一般形式是
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
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将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
15
例 3.2.1 求子句集 S＝{T(x)∨Q(z),R(f(y))}的 H 域。 解 此例中没有个体常量，任意指定一个常量 a 作为个体常量；只有一个函数 f(y)，有： H0={a} H1={a,f(a)} H2={a,(a),f(f(a))} …… H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…}
离散数学谓词公式与解释
公式类型举例
西 判断下列公式的类型：
华
大 学
1)
x
F(x)
(x
yG(x,y)
x
F(x)
)
2) x F(x) x F(x)
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
1) x F(x) (x yG(x,y) x F(x) )
西 华
解：显然该公式是：P (Q P ) 的
大 学
2. 若 f (x1, x2 ,, xn ) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f (t1, t2 ,, tn ) 是项； 3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f (x1, x2 ,, xn ) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f (t1, t2 ,, tn ) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
岗位职责三工作总结项目运维项目实施银青高速视频监控东毛隧道停车场项目全面实施ip设置贵州独平高速项目全面实施监控室机柜布线四心得体会在这段时间的学习过程中我对部门很多产品从零学起刚到公司的时候感觉压力很大经过这些时间的认真学习和实际操作调整心态现已完全能融入公司的各项岗位职责和管理制度中
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
离散数学第三章 谓词演算基础-永真性和可满足性
解：
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
I={2,3} I={2,4} T F
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
x((x)) =x( ∨ (x) = ∨ x (x) = x (x) 所以两公式等价。
例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价
x(x) 和 x((x))
解： x(x) = (x(x)) = (x(x)) = x((x) ) = x((x) ) x((x)) 所以两公式不等价。
含有量词的谓词演算公式
设个体域I中所有实体变元为a1，a2，…，an，则有： x(x)=(a1)(a2)…(an)
x(x)=(a1)(a2)…(an)
含有量词的谓词演算公式的真假性
x(x)为真
个体域I中的每一个个体均使得取为真
x(x)为真
个体域I中有一个个体使得取为真
I={2,3} I={2,4} T F
F(x): x为偶数 F(x): x为奇数
F F
F(x): x<5
F(x):x是质数
T
T
T
F
考察
xF(x) xF(x)
I={2,3} I={2,4} TT=T FT=T
F(x): x为偶数
F(x): x为奇数
F(x): x<5 F(x):x是质数
FT=T
解：原式= ( x L(x,2)) ( x L(x,3)) = (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3)) = (1 0) (0 1) =00 =0
例(p31)已知xy((X(x，y)Y(z))Z(x，y))
试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2)) =({1，2，3，4}；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。
考察新公式 x y(xyxy)
=(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) =TTTT=T
第二章_谓词逻辑_第三节(约束变元与自由变元)
换名规则与代替规则的共同点都是不能改变约束关系， 而不同点是： ① 施行的对象不同。换名是对约束变元施行，代替是对 自由变元施行。 ② 施行的范围不同。换名可以只对公式中一个量词及其 辖域内施行，即只对公式的一个子公式施行； 而代替必须对整个公式同一个自由变元的所有自由出现同时施 行，即必须对整个公式施行。 ③ 施行后的结果不同。换名后，公式含义不变，因为约束变元 只换名为另一个个体变元，约束关系不改变。约束变元不能改 名为个体常元； 代替，不仅可用另一个个体变元进行代入，并且也可用个体常 元去代替，从而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常元有 Page 7 意义，即公式的含义改变了。
代替不仅可用另一个个体变元进行代入并且也可用个体常元去代替从而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常元有意义即公式的含义改变了
Free Powerpoint Templates 【2.3 约束变元与自由变元】
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定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形如 (x)B(x) 或 (x)B(x)， 称x 和x中的x为量词的指导变元(指导变项), 称B(x)为相应量词的作用域或辖域。 在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个体变元的出现称为自由出现， 这些个体变元称自由变元。
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(2)xy ( R ( x, y ) L( y, z )) xH ( x, y ). 又是自由出现的。
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今后常用语言符号A(x)表示x是其中的一个个体变元 自由出现的任意公式，如A(x)可为P(x)Q(x)， P(x)(y)Q(x, y)等。一旦在A(x)前加上量词(x)或 (x)，即得公式(x)A(x),或(x)A(x)。这时，x即是约 束出现了。类似地，用A(x,y)表示x和y是自由出现的 公式。
离散数学课件-第九讲 变元的约束
解释
定义 所谓解释就是抽象符号与个体域上的 具体性质、关系、运算间的映射，常用I表 示一种解释。
解释包括： 定义个体域 说明谓词符号和运算符号的具体含义 注：同样的谓词公式在不同的解释下，所具
有的意义是不同的。
赋值
定义 在给定谓词公式的一种解释后，对公 式中的个体变元用其个体域中确定的个体 代入，命题变元用确定的命题代入，就称 为对谓词公式的赋值。
公式在解释I下为真
定义 给定谓词公式A的解释I，x1, x2, …, xn 是A中出现的个体变元，如果x1, x2, …, xn赋 值t1, t2, …, tn为时A为真，则称A在t1, t2, …, tn处真；当x1, x2, …, xn在解释I中的每个赋 值下，A均为真，则称A在解释I下为真。
编号
蕴涵式
I22 ∀x∀y A(x, y) ∃y∀x A(x, y)
I23 ∀y∀x A(x, y) ∃x∀y A(x, y)
I24 ∃y∀x A(x, y) ∀x∃y A(x, y)
I25 ∃x∀y A(x, y) ∀y∃x A(x, y)
I26 ∀x∃y A(x, y) ∃y∃x A(x, y)
谓词演算定律：蕴涵式
编号
蕴涵式
I18 ∀xA(x)∨∀xB(x) ∀x(A(x)∨B(x))
I19 ∃x(A(x)∧B(x)) ∃xA(x)∧∃xB(x)
I20 ∀x(A(x)→B(x)) ∀xA(x)→∀xB(x)
I21 ∃xA(x)→∀xB(x) ∀x(A(x)→B(x))
谓词演算定律：蕴涵式
约束变元换名
对一个谓词公式中的约束变元更改名称符号， 并遵循一定的规则，称为约束变元换名，规 则如下：
(1)对于约束变元的换名，其换名范围是量词辖 域中的某个约束出现的个体变元及相应的指 导变元，谓词公式的其他部分不变。
离散数学 第三章 一阶逻辑
16
在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
8
例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
15
在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
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例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
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在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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离散数学第三章 谓词演算基础 自由变元和约束变元
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释
(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式； (5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则
xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式
子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设 xA(x)，xA(x)为公式的子公式， 此时紧跟在、之后的x称为量词的指导变元 或作用变元， A(x)称为相应量词的作用域或辖域， 在作用域中x 的一切出现均称为约束出现， 在中除了约束出现外的一切出现x均称为自由 出现。
，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握
节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元
3.3.1 自由出现和约束出现 3.3.2 改名和代入 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词
11 醉翁亭记
离散数学 谓词演算(思维导图)
谓词演算I.1个体概念 : 出现在空位出的量或变元叫个体(或客体)i.2个体域 : 讨论对象--个体的全体叫个体域 常用D表示ii.全总域 : 当讨论对象遍及一切个体是, 个体与特成为全总域, 用U表示iii.个体项 : 个体域上个体常元/变元运算, 如a+b f(x)II.3谓词 : 刻画个体的性质/个体间的关系模式, 由谓语和空位组成 常用变元代替空位, 如L(x,y)--这些式子叫谓词命名式, 简称谓词III.量词全称量词 : 个体域中任一个体常元x,都使P(x)为真,记为 --任意xP(x) 任意--全称量词, x--指导变元, P(x)中x--约束变元存在量词 : 个体域中至少一个个体常元x,使P(x)为真, 记为--存在xP(x) 存在--存在量词, x--指导变元, P(x)中x--约束变元IV.简单谓词的自然语句形式化例子设个体域是人类→有人勇敢, 但不是所有人都勇敢B(x) : x是勇敢的存在x(B(x)∧¬任意xB(x))V.谓词的自然语句形式化i.涉及全总个体域的某个局部的所有个体或某些个体时, 要使用限定谓词限定该局部ii.限定谓词与其他谓词间应使用适当联结词当限定谓词用于限定全称量词时,作为蕴涵词的前件当限定谓词用于限定存在量词时,作为合取词的合取项VI.4谓词公式谓词填充式是公式, 命题常元是公式若A,B是公式, x为任一变元, 那么(¬A), (A→B),(任意xA),(存在xA) 当使用五个联结词都是公式备注：1. () + () = ()不确定的个体叫个体变元, 如x/y/z确定的叫个体常元, 如2,3,李四2. 任何D都至少含有一个成员3. 一个空位--一元谓词两个空位--二元谓词4. 以下两条款规定的符号串--谓词公式--公式。
离散数学 谓词逻辑 三段论 逻辑推理 例题 证明
(3)(F(x，y)R(x，y))∧R(x，y)。
(4)xyF(x，y)xyF(x，y)。
2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式
2.5.1 等价式 2.5.2 蕴涵式
2.5.1 等价式
定义2.13 设A和B是谓词公式，若AB为 逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。
下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。
2.4.2 谓词公式的分类
定义2.11 设A是一谓词公式， 如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或 逻辑有效式； 如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式； 若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足 式。
例2 判断下列公式的类型(永真式、矛盾式、可满足式)：
(1)xF(x)xF(x)。
(2)xF(x)(xyG(x，y)xF(x))。
定理2.8 任何谓词公式的前束范式都存在。
例1 求下列公式的前束范式： (1)xF(x)∧xG(x)。 (2)xF(x)yG(x，y)。 (3)xF(x)xG(x)。 (4)xF(x)xG(x)。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)。
1、全称量词消去规则(US)
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
例4 证明x(P(x)∨Q(x))，xP(x) ├ xQ(x)。
例5 (1)只要今天天气不好，就一定有考生不能提 前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试 才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气 就好。
(4)xyF(x，y)xyF(x，y)。
2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式
2.5.1 等价式 2.5.2 蕴涵式
2.5.1 等价式
定义2.13 设A和B是谓词公式，若AB为 逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。
下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。
2.4.2 谓词公式的分类
定义2.11 设A是一谓词公式， 如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或 逻辑有效式； 如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式； 若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足 式。
例2 判断下列公式的类型(永真式、矛盾式、可满足式)：
(1)xF(x)xF(x)。
(2)xF(x)(xyG(x，y)xF(x))。
定理2.8 任何谓词公式的前束范式都存在。
例1 求下列公式的前束范式： (1)xF(x)∧xG(x)。 (2)xF(x)yG(x，y)。 (3)xF(x)xG(x)。 (4)xF(x)xG(x)。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)。
1、全称量词消去规则(US)
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
例4 证明x(P(x)∨Q(x))，xP(x) ├ xQ(x)。
例5 (1)只要今天天气不好，就一定有考生不能提 前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试 才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气 就好。
离散数学课件变元的约束
2-4 变元的约束
定义4：自由变元 定义 ：自由变元(free variable)： ： 在谓词公式中， 在谓词公式中 ， 除去约束变元以外所出 现的变元，称作自由变元。 现的变元，称作自由变元。 自由变元可以在作用域外出现， 自由变元可以在作用域外出现 ， 也可以 在作用域中出现， 在作用域中出现，但它不受相应量词中的指 导变元的约束， 导变元的约束，故我们可把自由变元看作是 公式中的参数。 公式中的参数。 例如: ∀ 例如 (∀y) (G(y)→H(x, y)) → 举例说明：P63 例1
(∀x)A(x)∧B(x) ⇔ (∀x)A(x)∧B(y) ∀ ∧ ∀ ∧ H(x,y)∨(∃x)F(x)∨(∀y)(G(y)→H(x,y)) ∨∃ ∨∀ → ⇔ H(s,t)∨(∃x)F(x)∨(∀y)(G(y)→H(s,y)) ∨∃ ∨∀ →
Байду номын сангаас
2-4.4 消去量词
需要指出，量词作用域中的约束变元， 需要指出，量词作用域中的约束变元， 当论域的元素是有限时， 当论域的元素是有限时 ， 客体变元的所有 可能的取代是可枚举的。 可能的取代是可枚举的。 设论域元素为a 设论域元素为 1 ， a2 ， … ， an 。 为有 限个体域。 限个体域。 则 (∀x)A(x) ⇔ A(a1)∧A(a2 ) ∧ … ∧ A(an) ∀ ∧ (∃x)A(x) ⇔ A(a1)∨A(a2 ) ∨ … ∨ A(an) ∃ ∨
2-4.5量词的次序：
命题中的多个量词，约定从左到右的次序读出。 命题中的多个量词 ， 约定从左到右的次序读出 。 量词对变元的约束，量词的次序不能更改，否则与原 量词对变元的约束，量词的次序不能更改， 命题意义不符。 命题意义不符。 比如：对任意的x， 存在y， 使得x+y=5。 取个体 比如 ： 对任意的 ， 存在 ， 使得 。 域为实数集。 域为实数集。 设：H(x,y)：x+y=5 ： 则有： ∀ 则有：(∀x) (∃y)H(x,y)。这是一个真命题。 ∃ 。这是一个真命题。 但是如果将量词顺序颠倒， 但是如果将量词顺序颠倒，得 (∃y) (∀x) H(x,y) ∃ ∀ 此式的含义为“存在着y，对于任意的x，都有 此式的含义为“ 存在着 ， 对于任意的 ， x+y =5”，这就成了假命题。 ，这就成了假命题。
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WRITE(Shakespeare，y)
WRITE(son(Shakespeare)，Hamlet)
函数！
变量符号
谓词演算公式的原子公式
——谓词填式A(x1，x2，…，xn) 其中x1，…，xn是项(实体、变量符号、函数)。
原子公式是公式的最小单位，是最小的句子单位。 项不是公式。 函数f(t1,...，tm)不是句子，仅是词，因而不是公式
仅是项。项的结果仍是个体名称集合中的名词，而 公式的结果(真值)是成立或不成立(是1或0)。
合式公式的定义
定义1：谓词演算的合式公式(简称公式)是由 ◆ 原子命题、 ◆ 谓词填式（原子公式）、 ◆ 或由它们利用联结词和量词
构成的式子。
合式公式的形式定义
(1) 原子命题P是合式公式； (2) 谓词填式A(x1，x2，x3，…，xn)是合式公式； (3) 若A是公式，则A是合式公式； (4) 若A和B是合式公式，则
(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式； (5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则
xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式
子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设 xA(x)，xA(x)为公式的子公式， 此时紧跟在、之后的x称为量词的指导变元 或作用变元， A(x)称为相应量词的作用域或辖域， 在作用域中x 的一切出现均称为约束出现， 在中除了约束出现外的一切出现x均称为自由 出现。
变元名称。
例： x(A(x，y)y(B(x，y))) 解： 可把公式改名为：
x(A(x，y)z(B(x，z)))
例 对下面公式实施改名
(1) x(A(x，y)y(B(x，y)C(z))) (2) xF(x，y)∧xG(x，y)
解：(1) 可把公式改名为： x(A(x，y)u(B(x，u)C(z)))
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释
自由变元和约束变元
定义3：一个变元x 若在公式中有自由出现，则 称此变元为自由变元；
若有约束出现，则称为约束变元。
例 x(A(x，y)) x为约束变元， y为自由变元，不受全称量词约束，可以 看作为公式中的参数。
例 x(p(x)yQ(x,y))
指出公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。
u(F(u,y) P(u)) ∨ v(Q(x,v) ∧R(x))
二、代入
——谓词演算公式中的自由变元可以更改， 称为代入。
代入是对自由变元而言， 约束变元不能代入。
代入后的式子是原式的特例
代入规则
(1) 代入必须处处进行，即代入时必须对公 式中出现的所有同名的自由变元进行。
(2) 代入后不能改变原式和代入式的约束关 系。
对约束变元进行改名，使得 同一个变元要么为约束出现，要么为自由出现， 同时使不同的量词所约束的变元不同名.
改名的规则
(1) 改名是对约束变元而言，自由变元不能改名 ，改名时应对量词的指导变元及其作用域中 所出现的约束变元处处进行；
(2) 改名前后不能改变变元的约束关系； (3) 改名用的新名应是该作用域中没有使用过的
例 x(A(x，y))
例(29) x(A(x，y)y(B(x，y)C(z)))
指出合式公式的作用域、约束出现和自由出现。
解：x的作用域为： A(x，y)y(B(x，y)C(z))；
y的作用域为： B(x，y)C(z)；
公式中的x为约束出现， 第一个y和z是自由出现， B(x，y)C(z)中家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有
于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导
学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受
到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊
例 x(x=yx2+x<5x<z)x=5y2
指出公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。
解： x=y，x2+x<5，x<z，x=5y2这是四个原 子公式, 用逻辑词，，来联结起来 的。 x是指导变元、x的辖域是()内的这部分 x=yx2+x<5x<z 。 因此，x第一、二、三、四次出现是约束 出现，x第五次出现是自由出现。 而y，z的出现均是自由出现。
琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳
修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．
最后代入得： u(A(u，x2+2)v(B(u，v)C(z)))
验证公式可知，没有改变变元的约束关系， 所以这种代入符合代入规则。
例 x(A(x，y)y(B(x，y)C(z)))
试把公式中的谓词变元A(e1，e2)代以 yD(e1，e2，y，x)。
解: 现在先对原式改名，x改为u，y改为 v得： u(A(u，y)v(B(u，v)C(z)))， 再对代入式改名，y改为t得： tD(e1，e2，t，x)， 最后代入，得： u(tD(u，y，t，x)v(B(u，v)C(z)))
初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智
仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什
(3) 代入也可以对谓词填式而言，但也要遵 循上面两条规则；
(4) 命题变元也可以实施代入。
例 x(A(x，y)y(B(x，y)C(z)))
试把公式中的自由变元y 代以式子x2+2。
解：先对原式改名，x改为u，y改为v，
改名后得： u(A(u，y)v(B(u，v)C(z)))
(2) x是约束变元,y是自由变元。而x的两次 出现尽管均是约束的,但分别在不同的辖 域。含义是互相无关的。可以将一处换 名,但不能与y同名。可以改名为： xF(x，y)∧uG(u，y)
例 x(F(x,y) P(x)) ∨ y(Q(x,y) ∧R(x))
解： x前两次出现是约束的,后两次出现 是自由的。y第一次出现是自由的,第 二次是约束的,准备将约束变元x改为 u,约束变元y改为v,成为
强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本
文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。
明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”
季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁
茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加
解：由x后的()，x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子 p(x)yQ(x,y) ，
y是指导变元，辖域仅Q(x，y)此部分。
x两次出现均是约束出现，y的一次出现是 约束出现，故x，y是约束变元，而不是自 由变元。
例 xF(x)G(x,y)
指出公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第 一次出现是约束出现，第二次出现是自由 出现，y的出现是自由出现。 所以第一个x是约束变元，第二个x是自由 变元，本质上这两个x的含义是不同的；而 y仅是自由变元。
第三章 谓词演算基础