应力状态分析强度理论

x 2yx 2yc2 o s xs y2 in
得到 max 和 min (主应力）
m m a in xx 2y( x 2y)2x 2y
极值正应力就是主应力！
下面还必须进一步判断0是 x 轴与哪一个主应力间的夹角!
进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角!
tg20
2xy x y
1、求单元体上任一 截面上的应力
从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 CE.
圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。
y n
e
x
yx x
o
x
E
D
2
B
20
CF A
xy
f a
y
D′
x
第11章 应力状态 强度理论
11.2 平面应力状态分析 主应力
证明： O O F C C O F C c C 2 E o 0 2 ) s (
三个主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来 排列, 即：
123
四、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力
2 3
1
、2
、3
中只有一个不等于零
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
§13-2 平面应力状态分析 主应力
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应 力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.
2、最大切应力
将
tan21
x y 2xy
代入公式：
x
y
2
sin2xyco2s
得到 max和min
m ma i nx(x 2y)2x 2y
比较
tan20
2xy x y
和
tan21
x y 2xy
(xdAcos )sin(yxdAsin)sin
(ydAsin)cos 0
考虑切应力互等和三角变换化简以上两个平衡方程最后得：
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
不难看出
90 xy
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
max[]
max[]
3、但是以上强度条件并非万能，对于构件内既有正应力又有 切应力的点，不能用以上两个强度条件，需综合考虑正应力与
切应力的影响。（不是所有的应力状态上述强度条件都能解决）
5
4、对于既有正应力又有切应力的点，需
4
要研究通过该点，各不同方位截面上应力
3
的变化规律，从而确定该点处的最大正应
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
n
40604060cos(60)(50)sin(60)
2
2
58.3MPa
300
x
y
2
sin2xycos2
4060sin(60 )(50)cos(60) 18.3MPa
2
(2) 求主应力和主单元体的方位
ta2n 0x 2 xy y 2 4( 0 5 6)0 0 1
x y
2
(2)该圆半径为
o
B
C
A
y
D′
R (x 2y)2x2y
x
O O C 1 ( O B O A ) 1 B ( O O A ) B x y
2
2
2
C D C2 A A2 D (x 2y)2x 2y
第11章 应力状态 强度理论 三、应力圆的应用
11.2 平面应力状态分析 主应力
y
y
yx xy x
x
y yx
x xy
z
在微单元体的六个侧面上，仅在四个侧面作用有应力，而且 这些应力的作用线均平行于微单元体不受力表面，这种应力状 态称为平面应力状态。
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、任意斜截面上的应力
1、截面法
假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元
yx
x xy
f
n
e
x
xy
α
α n
α
α
x
ayx
f
y
设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得:
Fn 0 dA(xydAcos)sin
(xdAcos )cos (yxdAsin)cos (ydAsin)sin0
Ft 0 dA(xydAcos )cos
第11章 应力状态 强度理论 二、应力圆作法
y
y yx
11.2 平面应力状态分析 主应力
x
x
x
xy
o
y
1、步骤 (1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺
第11章 应力状态 强度理论
y
yx
11.2 平面应力状态分析 主应力
x
x
x
D
xy
(2) 量取 OA= x AD = xy 得 D 点
o
B
C
A
y
D′
x
(3) 量取 OB= y BD′= yx 得 D′ 点
(4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点
(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆
第11章 应力状态 强度理论 证明：
11.2 平面应力状态分析 主应力
(1)该圆的圆心 C 点到 坐标
D
原点的 距离为
三、应力状态的表示方法
1、单元体：构件内点的代表物，是围绕被 研究点的无限小的正六面体。 2、单元体特征 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 任意一对平行平面上的应力相等，且代表通过 所研究的点并与上述平面平行的面上的应力
单元体6个面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直 截面上的应力
画出下列图中A、B、C点的已知单元体.
y
1
3
xy
x
22.5°
例题13-2 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力
和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主
平面的方位.并讨论其他点的应力状态。
m
m a
l
A
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x7,0y0, xy50
A
tan20
2 xy x y
2 50 1.429
1、最大正应力的方位
令 d d 2 [x 2ys2 in xc y2 o ] s 0
tg20
2xy x y
00 90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应
力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
2、最大正应力
利用
tg20
2xy x y
求出
sin2a0 和
cos2a0 带入下列公式:
解 （1）求主平面方位
ta2n0x2xyy
2 0
90 90
0
45 45
3 xy
45°
1
因为 x = 0＝y ，且 xy > 0， 所以0= -45°与 max 对应。
（2）求主应力
铸铁抗拉强度
wenku.baidu.com
m m a in x x 2y(x 2y)2x 2 y
1 = ， 2 = 0 ， 3 = -
画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S截面
4
3
l/2
2
l/2 1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
3
3
3
同一截面上，不同点上的应力不同
3、主平面：单元体中切应力为零的平面
4、主应力：主平面上的正应力 5、主单元体：一般情况下构件内每一点都可以 找到相互垂直的主平面和与之对应的主应力，这 个单元体称为主单元体
(3)当x=y 时 ，0 =45°，主应力的方向可由单元体上
切应力情况直观判断出来.
三、最大切应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
1、最大切应力的方位
令
d d 2 [x 2 yc2 o sxs y2 i n ] 0
tan21
x y 2xy
11 90
力和最大切应力及其所在截面的方位。
2
（即研究一点的应力状态）
1
复杂应力状态：应力的组合有无限多的可能性，不可能用直接试验 的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。
故如果我们再用实验测得的极限应力比上安全因子得到许用应力 显然不合适。
5、对于复杂应力状态，需探求材料破坏的规律，确定材料破坏的 共同因素，则可通过较简单的应力状态下的试验结果，来确定该共 同因素的极限值，从而建立相应强度条件。（即需要研究强度理论）
第13章 应力状态分析 强度理论
本章主要内容
1 平面应力状态分析
2 极值应力与主应力
3 复杂应力状态的最大应力 4 广义胡克定律
13.1 一点的应力状态概念
一、问题的提出：为什么要研究一点的应力状态和强度理论？
1、轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的强度条件：
max[]
max[]
许用应力由测得的极限应力比上大于1的安全因子得到的。
不同的材料在相同的受力情况下，失效的原因是不一样的
(a)低碳钢
低碳钢和铸 铁的扭转实 验
(b)铸铁
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 左图及右图所示，脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开!
相同材料在不同的受力情况下，失效的原因是不一样的 二、应力状态的概念
一点的应力状态：通过构件内一点不同方位截面上的应力情况，称 为这点的应力状态。
较低，因此沿 第一主应力方 向拉断？
四、应力圆-图解法 一、莫尔圆
将斜截面应力计算公式改写为：
x 2y x 2yco2 sxysi2n x 2ysi2nxyco2 s
把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去2，得
第11章 应力状态 强度理论
11.2 平面应力状态分析 主应力
(x 2y )2 2 (x 2y )2 x 2y
eaf
作为研究对象
y
n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2、符号的确定
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正 （2)正应力仍规定拉应力为正 （3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正
y
e
x
3、任意斜截面上的应力a
通过同一点所取截面方位不同，应力的大小也不同
为什么可以建立强度条件呢？
对于轴向拉压及平面弯曲中的正应力，由于杆件危险点横 截面上的正应力是通过该点所有方位截面上正应力的最大值， 而且是单向应力状态，所以可将其与材料在单向拉伸(压缩）时 的许用应力比较建立强度条件。
max[]
max[]
两个特殊应力状态的强度条件：
x = -40MPa y =60 MPa
2 0
45 135
0
22.5 67.5
x = -50MPa =-30°
因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应
m m ian x x 2y(x 2y)2x 2 8 6 .7 0 M .7 0 MP Pa
18.7 0MP2 a0 36.7 0MPa
2、同一截面上不同点的应力是不相同的；通过同一点的不同方 位的截面上应力不同。
轴向拉伸时斜截面上的应力
k
斜截面α方向上的应力：
F
F
p co s co s2
psin2sin2
k
(1) = 00 时， ma x
(2) (3)
= 450 时， = -450 时，
m mianx22
pα
(4) = 900 时， 0, 0
因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为
变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力
， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 .
1、圆心的坐标
C(x y ,0)
2
2、圆的半径
R (x 2y)2x2y
此圆习惯上称为 应力圆 或称为莫尔圆（由德国工程师 Otto Mothr引入）
1
(70) 0
0
27.5 62.5
3
3
0
A
x
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
m m a in x x 2y(x 2y)2x 2 y 2 9 M M 6 6 P Pa a
12M 6 ,Pa20, 39M 6 Pa
例题13-3 讨论园轴扭转时的应力状态（求平面纯剪切应力状态 的主应力及主平面方位）.并分析铸铁试件破坏现象。
x 2yx 2yc2 o s xs y2 in
m m a in xx 2y( x 2y)2x 2y
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下:
(1)当x> y 时 ， 0 是x与max之间的夹角
(2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角
O C c C 2 0 D o c 2 o s C s s 2 i 0 D s n 2 i n
x 2yx 2yc2 o s xs y2 in
F E CsE i2 n o (2 )
可见
tan20
1
tan21
21202, 104
即极值切应力所在平面与主平面之间的夹角互呈45度.
例题13-1 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，
xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的
方位.
y
(1) 求 ef 截面上的应力
e xy x
f
30°
30