3.1 常微分方程 课后答案
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习题
1 求方程dx
dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ϕ 20020012
1)()(x xdx dx y x y x x
x ==++=⎰⎰ϕ 522200210220
121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20
121([)(252003+++=⎰ϕ = 118524400
1160120121x x x x +++
2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ϕ
则 20020012
1)()(x xdx dx y x y x x
x ==-+=⎰⎰ϕ 522200210220
121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20
121([)(252003--+=⎰ϕ =118524400
1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；
解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4
1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4
1 令 )(0X ψ=0 ;
)(1x ψ=y 0+⎰-x
x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132⎰-+-x
x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y
y x f ∂∂),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32
2
)12(*h L M +=2411
4 题 讨论方程：31
23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解；
解：因为y
y x f ∂∂),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312
3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23
又 因为y(0)=0 所以：y =x 2
3
另外 y=0也是方程的解；
故 方程的解为：y =⎪⎩⎪⎨⎧≥00023πx x x
或 y=0;
6题 证明格朗瓦耳不等式：
设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
且满足不等式：
f(t)≤k+⎰t
ds s g s f α
)()(,βα≤≤t
则有：f(t)≤kexp(⎰t
ds s g α
)(),βα≤≤t
证明：令R （t ）=⎰t
ds s g s f α
)()(,则R '(T)=f(t)g(t)
R '(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) ≤kg(t)R '(T)- R(t)g(t)≤kg(t);
两边同乘以exp(-⎰t
ds s g α
)() 则有：
R '(T) exp(-⎰t
ds s g α)()-R(t)g(t) exp(-⎰t ds s g α
)()
≤ kg(t) exp(-⎰t
ds s g α
)()
两边从α到t 积分：
R(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤-⎰t ds s kg α)(exp(-⎰t
dr r g α
)()ds
即 R(t) ≤⎰t ds s kg α)( exp(-⎰t
s
dr r g )()ds
又 f(t) ≤1≤k+R(t) ≤k+k ⎰t s g α)(exp(-⎰t
s
dr r g )()ds
≤k(1-1+ exp(-⎰t s dr r g )()=k exp(⎰s
t
dr r g )()
即 f(t) ≤k ⎰t
dr r g α
)(;
7题 假设函数f(x,y)于（x 0,y 0）的领域内是y 的 不增函数，试证方程
dx
dy = f(x,y)满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧有两个ψ(x),ϕ(x)
则满足：
ϕ(x)= y 0+⎰x
x x x f 0
))(,(ϕdx
ψ(x)= y 0+⎰x
x x x f 0
))(,(ψdx
不妨假设ϕ(x)φψ(x)，则ϕ(x)- ψ(x)≥0
而ϕ(x)- ψ(x)=
⎰x x x x f 0))(,(ϕdx-⎰x
x x x f 0
))(,(ψdx =⎰-x x x x f x x f 0
))(,())(,([ψϕdx 又因为 f(x,y)在（x 0,y 0）的领域内是y 的 增函数，则： f(x, ϕ(x))-f(x, ψ(x))≤0
则ϕ(x)- ψ(x)=
⎰-x
x x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx ≤0
则ϕ(x)- ψ(x)≤0
所以 ϕ(x)- ψ(x)=0， 即 ϕ(x)= ψ(x) 则原命题方程满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多 只有一个解；