平面向量基本定理教案

§2.3.1 平面向量基本定理教学设计

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握

应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教学过程： 一、 复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a

|；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0 2．运算定律

结合律：λ(μa )=(λμ)a

；

分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa

+λb

3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa

.

二、讲解新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量，

1e

2e

a

C

OA =1e ，OM =λ12e ； OB =2e ，ON =λ22e

OC =a =OM +ON =λ11e +λ22e ，

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e . 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量 3、两个非零向量的夹角：

如图所示，已知两个非零向量,a b ，在平面上任取一点O ，作,OA a OB b ==， 则AOB θ∠=()0θπ≤≤叫做向量a 与b 的夹角，

【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一

个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的[]0,π范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。 （2）只有非零向量之间才存在夹角；

（3）如果∠AOB =0°a 与b 同向；

（4）如果∠AOB =90°，我们就说向量a 与b 垂直，记作：a b ⊥；

（5）如果∠AOB =180°a 与b 反向。

三、讲解范例：

例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .

作法：见教材 四、课堂练习：

1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行

1

e 2

e θb

a O

B A θb

b

B

B.e

、e2的模相等

1

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)

2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y 的值等于( )

A.3

B.-3

C.0

D.2

五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

六、课后作业：课本：101页1,2

板书设计：略