离散数学(Ch13穿程问题)

欧拉圈一般不是圈:
简单链 (边不同) 无向图: 边序列称为链 基本链 (顶点不同) 基本闭合链---圈
K5 (欧拉图)
(非欧拉图)
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定理13.1 G是欧拉图 连通无向图G的每一顶点为 偶顶点.
⑴ 欧拉图有欧拉圈, 该闭合链每经过一个顶点,则 该顶点的度数即加2, 故各顶点的度数为偶数.
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定理13.4 在一个有向完全图中, 必存在一条哈密顿 通路. 任意两个顶点之间存在一条弧.
在图中找一个包含p个顶点的基本通路(u1,u2,…,up) ，对于不在通路 上的任一顶点ux，如果有弧< ux, u1 >，则将弧附加到基本通路上， 扩展成包含p+1个顶点的基本通路，否则一定有弧< u1, ux >。考察 ux, u2之间的弧，若有< ux, u2 >，则可用< u1, ux >和< ux, u2 >代替原 来通路中< u1, u2 >的，于是通路也扩展成包含p+1个顶点的基本通 路，否则应有弧< u2, ux >，再继续考察ux, u3之间的弧。 多次重复，最后出现两种情况：或者找到某个k ，1≤ k ≤p-1 ，存 在< uk, ux >和< ux, uk+1 >,则用这两条弧代替通路中的< uk, uk+1 >,可 将通路扩展成包含p+1个顶点的基本通路；或者找不到这样的k ， 1≤ k ≤p-1,那么在此情况下，一定有< up, ux >，那么把这个弧附加 到原通路上，仍然可使原来的通路扩展成包含p+1个顶点的基本通 路。对不在通路上的顶点重复上述过程，最后得到哈密顿通路。
第十三章 穿程问题
§13.1 欧拉图
欧拉在解决“哥尼斯堡七桥”问题的过程中, 奠定了图论的基础.
四块陆地(两岸+两岛)由七座桥相连, 游人从四 块陆地中任一块出发, 怎样才能做到每座桥穿行一 次且仅穿行一次, 最后返回到出发点? 1
定义13.1 无向图G中的一条闭合链, 它穿过G中的每 条边一次且仅一次, 则称这样的闭合链为 欧拉圈, 具有欧拉圈的图称为欧拉图.
如果每一对顶点的度数之和≥n, 则必有哈密顿圈.
首先一定存在哈密顿链设为(u1,u2,…,un)，如果u1与un相 邻，则必有哈密顿圈，如果u1与un不相邻，设u1与哈密顿 链上k个顶点邻接(2≤ k ≤n-2).这时根据定理的条件，在这 k个顶点中一定至少有这么一个顶点uj (3≤j ≤n-1) ,它在链 上的前一个顶点uj-1与un邻接 。如若不然， un顶多与(n1)-k个顶点邻接，即d(un) ≤ n-1-k，而d(u1)=k，于是 d(un) +d(u1) ≤k+(n-1-k)=n-1与条件矛盾，则可以得到一个 包含u1,u2,…,un的圈（ u1,u2,…,uj-1 ,un,un-1,…,uj , u1 ）显然 是哈密顿圈。
000 00 001 010 100 01 101 110 011 11 10
图中共有8条边标明了可能输出的8种不同 状态, 要遍历全部8种状态, 即只需找出其 欧拉圈: 000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100. 基于此, 安排扇面的导电涂层为00010111.
G’ = G + (ui,uj) G’欧拉图,有欧拉圈 一笔画的判断
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应用---设计旋转鼓
安排鼓的8个扇面的导电涂层, 随着鼓的旋转, abc三端的输出 信息分别为8种不同的值.
如图: 101, 011, 111, 110, 100, 000, 001, 010
a b c
由于abc三端的当前状态是由上格旋转得来, 三位中有两位 是相同的. 故以4个顶点记不同的bc状态, 通过引出2条边(下 一扇区取0或1)来描述鼓的旋转所产生的状态输出.
仍未找到判断哈密顿图的简洁的充分必要条件.
定理13.3 设G是具有n个顶点的连通无向图, 若G中 每一对顶点的次数之和≥n-1, 则G中必存 在一条哈密顿链.
设已找到一条含p个顶点的基本链(u1,u2,…,up) p<n
u1 u2 u3 uj-1 uj uj+1 up-1 up
⑴ u1或up有一个不在链上的邻接点 扩到p+1个顶点 ⑵ u1和up只与链上的顶点邻接 先证有含u1,u2,…,up的圈 u1和up邻接 u1和up不邻接
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⑵ 如果G是平凡图(单个弧立顶点). 符合. 否则, 因G连通且各顶点的度数为≥2的偶数, 所以一定有圈(每个顶点能进就能出):
基于这一系列的圈, 就能找到欧拉圈.
3
=
K5=四次正则图 =
+
+
北岸(3)
+
哥尼斯堡七桥问题:
西岛(5) 南岸(3)
东岛(3)
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定义13.2 若无向图G中存在两个端点ui和uj, 有一条 连接ui和uj的非闭合链, 它穿过G中的每条 边一次且仅一次, 则称这样的链为欧拉链. 同样地, 欧拉链一般也不是基本链. 定理13.2 在连通无向图G中, 当且仅当只有ui和uj是 奇顶点时, 才存在连接ui和uj的欧拉链.
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§13.2 哈密顿图
定义13.3 无向图G中穿过每个顶点一次且仅一次的 圈称为哈密顿圈, 具有哈密顿圈的图称为 哈密顿图. 哈密顿图必定是连通的.
(欧拉图) (哈密顿图)
(哈密顿图)
(欧拉图)
定义13.4 无向图G中穿过每个顶点一次且仅一次 的 非闭合链称为哈密顿链, 有向图D中穿过 每个顶点一次且仅一次的通路称为哈密 7
有圈, G连通, 必有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在圈上的顶点ux与ui邻接, 去两边再加一边, 即得新的p+1个顶点的基本链.
u1 u2 u3 ux uj-1 uj uj+1 up-1 up
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G中每一对顶点的次数之和大于或等于n－1蕴涵 着G一定连通。（若两个连通分支， n1,n2 ，若都是完全图，
则两点之间度数之和＝（ n1－1）＋（ n2 －1）＝n-2 <n-1