第十一章 压杆稳定解析

n=1 注意：
Fcr
2 EI
l2
——欧拉公式
1、此公式是两端铰支理想细长压杆的临界轴力计算公式；
2、当压杆端部各个方向的约束相同时，I取为压杆横截面的 最小形心主惯性矩，即I＝Imin 3、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为一半波正弦曲线
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、理想压杆的稳定性
理想压杆：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压 力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模 型，简称为理想压杆。
FFF F
FFF F
FFF<F<<F较FFcrc<cr小rFcr FFF>>>FFFcFrc>cr较rFc大r
使理想压杆直线形式 的平衡开始由稳定转 变为不稳定的轴向压 力值称为压杆的临界 轴力，记为 Fcr 。
2k δ B
弹性系统在某位置的平衡性质不但
与外荷载的大小有关，而且与系统
A
A
的自身构成特性有关。
(a)
(b)
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、理想压杆的稳定性
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。
钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能
承受的轴向压力为
平衡是稳定的。
2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不
能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作 用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。
一、弹性系统平衡的稳定性
1、若 F 2k l ，即F 2kl ，则在干扰解除后，杆将自
动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的 平衡是稳定的。
k 2 n2 2
l2
n 0,1,2,, n
mm y x
B
F y cr
§ 11—2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力
一、公式推导
F cr 2 k EI
k2
n2 2
l2
n 0,1,2,, n
所以
Fcr
k 2 EI
n2 2 EI
l2
n 0,1,2,, n
n=0时Fcr＝0，矛盾，所以n取使Fcr不为零的最小值，即
F
F FF<Fcr F>Fcr
不稳定 不稳定
稳定 稳定
B' B' B B AA
y0
F cr F cr
yy OO0 0
(b)
(a) (c()a)
(d)
FD F crF D FFJcr FJ
FF
GJK曲线特点：无 直线段，下降的曲
线JK 反映实际压
D D C C 杆的崩溃现象——
E E 压杆急剧弯曲而它
F
FF<Fcr F>Fcr
F
A：分叉点
不稳定
B' B A
y0
稳定
D C OAC 曲线所描述
E 的失稳现象也称
A
为分叉点失稳
JK
FD F cr FJ
F cr
y
O
0
(b)
(c()a)
(d)
G
OO
y 0
(b)
§ 11—1 压杆稳定的概念 三、分叉点失稳和极值点失稳
2、极值点失稳 与理想压杆相比，实际压杆总是有缺陷的， 如初始弯曲、残余应力、荷载偏心等。
m
y x
B
x
B
F y cr
F cr
y
§ 11—2 两端铰支理想细长压杆的临界轴y 力
一、公式推导 压杆任一 x 截面沿 y 方向
的位移为 y = y (x) 该截面的弯矩为
F M (x) y cr
F cr
F M (x) y cr
m
m
x
B
F cr
y
杆的挠曲线近似微分方程为
F EIy" M (x) y cr
[FN] = FNmax = A[] = 3.92 KN
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。当钢尺 被明显压弯时，就不能再承担更大的压力。由此可见，钢 尺的承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而取决于 钢尺受压时能否保持直线形态的平衡。
理想压杆：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压 力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模 型，简称为理想压杆。
§ 11—2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力
一、公式推导
y Asin kx B cos kx
边界条件： x = 0，y = 0 x = l ，y = 0
x
F cr
代入方程得：
B=0
A
0 Asin kl
因为A不等于零（否则与微弯状态 相矛盾）
l
sin kl 0
kl n n 0,1,2,, n
F
一、弹性系统平衡的稳定性
B
AB为刚性直杆，该杆A 端为铰支，B端用弹簧常数为 k的两根弹簧支持。
l
外力F对A点的力矩：F
弹簧反力2k 对A点的力矩：2k l
A
Fδ 2k δ
B
A
(a)
(b)
1、若 F 2k l ，即F 2kl ，则在干扰解除后，杆将自
动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的
§ 11—2 两端铰支理想细长压杆的临界轴y 力
一、公式推导
F EIy" M (x) y cr
F 令
cr 2
k EI
则有二阶常系数线性微分方程
F cr
F M (x) y cr
m
m
x
B
F cr
y
y" k2 y 0
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B为待定常数，由该挠曲线的边界条件确定。
第十一章
压杆稳定
内容提要
§ 11-1 压杆稳定的概念 § 11-2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力 § 11-3 不同杆端约束下细长压杆的临界轴力的 欧拉公式 § 11-4 欧拉公式适用范围 临界应力总图 § 11-5 压杆的稳定计算 § 11-6 提高压杆稳定性的措施
§ 11—1 压杆稳定的概念
当轴向压力达到或超 过理想压杆的临界轴 力Fcr时，压杆即产生 失稳或屈曲现象。
((a()aa)) (a)
((b(b)b)) (b) ((c()cc)) (c) ((d(d)d)) (d)
§ 11—1 压杆稳定的概念 三、分叉点失稳和极值点失稳
1、分叉点失稳
曲线AC表示F > Fcr而失稳时理 想压杆不能在微弯状态平衡。
AA
能承担的外力F不
பைடு நூலகம்
J KJ K 断降低。
GG OO O
(b) (b)
FJ ：极值点荷载
GJK 曲线所描述
y 0
y 0
的失稳现象称为
极值点失稳
§ 11—2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力
一、公式推导
两端球形绞支，长为 l 的等截面理想细长压杆处于微弯平 衡状态时
x
F cr
y
A
F cr
l
mm
m
F M (x) y cr
2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不
能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作
用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。
F
Fδ
3、若F 2k l ，即 F 2kl，
则杆既可在竖直位置保持平衡，
B
也可在微小偏斜状态保持平衡，
说明在该荷载作用下，杆处于临
l
界平衡状态或称为随遇平衡状态。