傅里叶级数的快速算法详解

~ j 2 / N nk X ( k )e
n 0
N 1
~ j 2 / N kn ~ ~ X (k ) DFS[ x (n)] x (n)e
n 0
N 1
习惯上：记
WN e
j 2 / N
则DFS变换对可写为 N 1
n 0
~ kn X (k ) ~ x (n)WN DFS~ x ( n) ~ ~ kn X (k )WN IDFS X (k )
利用正弦序列的周期性可求解系数
将上式两边乘以
求和
e
j ( 2 / N ) rn
，并对一个周期
~ x (n)e
n 0
N 1
j
2 rn N
1 ~ X (k )e N n 0 k 0
N 1
N 1 N 1
j
2 ( k r ) n N
1 ~ X ( k ) e N k 0 n 0
第二章 离散傅里叶变换 及其快速算法
Fourier
• 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加 权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。 • Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的 Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿。Fourier对数学 产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界 论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在 巴黎的数学界出名。 • 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的 数学家和科学家，Fourier就是其中的一位， • 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官， 就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他 证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式， 其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。
N 1
N 1 m i m
ki km ~ x ( i ) w N wN
mk wN
N 1 m i m
ki ~ x ( i ) w N
w
mk N
ki mk ~ ~ x (i ) wN wN X (k ) i 0
N 1
~ ~ x ( n ) 由于 与 X ( k ) 对称的特点，同样可证明
则


或

m0
~ ~ y ( m ) x ( n m)
N 1
~
x (n)
周 期 卷 积
n 周 期 为 5
~
h(n)
n
~
x ( k)
~
h(0-k)
周 期 卷 积
k
~ y(0)
n
~
x ( k)
~
h(1-k)
周 期 卷 积
k
~ y(1)
n
~
x ( k)
~
h(ຫໍສະໝຸດ Baidu-k)
周 期 卷 积
k
~
y(2)
DFS的几个主要特性：
假设 都是周期为 N 的两个周期序 列，各自的离散傅里叶级数为：
~ x (n)、~ y (n)
~ X ( k ) DFS ~ x ( n ) ~ ~ Y ( k ) DFS y ( n )
1）线性
~ ~ ~ ~ DFSax (n) by (n) aX (k ) bY (k )
周期序列的主值区间与主值序列： ~ 对于周期序列 x ( n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为 ~ x (n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x (n) 的关系可描述为： x(n)与 ~
x (n)是x(n)的周期延拓 ~ ~ x ( n ) 是 x (n)的"主值序列 "
~ nl ~ IDFS X (k l ) wN x (n)


3）共轭对称性
x n 其共轭序列 对于复序列 ~
~* * ~ DFS x n X k
证:
nk DFS ~ x * n ~ x * (n)WN n 0


~ x * n
满足


N 1
~* nk * ~ ( x (n)WN ) X k
n 11 1 8 3 ((11))8 3 n 2 (1) 8 6 ((2))8 6
~ x (11) x(3), ~ x (2) x(6)
因此
频域上的主值区间与主值序列：
~ ~ kn X ( k ) Y ( k ) w N
k 0
N 1
1 N
N 1
mk ~ nk ~ x (m)wN Y (k )wN k 0 m0
N 1 ~ ( n m ) k ~ ~ Y ( k ) w x ( m ) y ( n m) N k 0 m0 N 1
k=r ,N=8
k≠r ,N=8
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为 零,所以有 2
j rn ~ ~ N X (r ) x ( n )e n 0 N 1
或写为
~ X (k ) ~ x (n)e
n 0
N 1
2 j kn N
因此
ek N (n) ek (n)
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
1 ~ x ( n) N
K 0
~ j 2 / N kn X ( k ) e
~ X (k )
N 1
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e
K次谐波序列为：
j 2 / N n
ek (n) e
j 2 / N kn
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处， 即
e
j 2 / N ( k N ) n
e
j 2 / N kn
共轭奇对称分量
1 ~ ~ ~* ~ DFS j Imx n X o k [ X (k ) X ( N k )] 2
4）周期卷积
若
~ ~ ~ F (k ) X (k )Y (k )
N 1 ~ ~ f (n) IDFS F (k ) ~ x (m) ~ y (n m) m 0
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义， 相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是， 直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的 处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得 以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被 广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近 年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方 法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里 叶变换及其快速算法。
0 k N 1
1) 可求 N 次谐波的系数
~ X (k )
~ 2） X (k ) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅里
叶级数
~ X 3） (k ) 为周期序列，周期为N。
N 1 ~ X (k m N) ~ x (n)e j 2 / N ( k mN ) n n 0
n
~
x ( k)
~
h(3-k)
周 期 卷 积
k
~
y(3)
n
~
x ( k)
~
h(4-k)
周 期 卷 积
k
~
y(4)
n
先计算主值区间，再周期延拓，求得 最终的周期卷积的结果，如下图所示。
周 期 卷 积
~ y(n)
n
证： ~
1 ~ ~ f (n) IDFS X (k )Y (k ) N


§2.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数（DFS）表示。 §2.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即
~ x (n) ~ x (n kN )
， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都 周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是， 正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序 列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N 的正弦序列来表示。
a,b为任意常数
2）序列移位 mk ~ ~ DFSx (n m) wN X (k ) ~ nl ~ IDFS X (k l ) wN x (n)


证:因为 所以有
kn ~ x ( n ) 及 wN 都是以 N 为周期的函数，
kn DFS~ x (n m) ~ x (n m) wN n 0
~ j 2 / N kn ~ x ( n )e X (k )
n 0
N 1
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
~ X (k ) ~ x (n) 是 一 个 周 期 序 列 的 离 散 傅 里 叶 级 数
(DFS)变换对，这种对称关系可表为
1 ~ ~ x (n) IDFS[ X (k )] N
由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘 积，存在着频域的周期卷积公式， 若
~ f ( n) ~ x ( n) ~ y ( n)
则
~ 1 ~ F ( k ) DFS[ f ( n)] N 1 ~ ~ X ( l ) Y ( k l ) N l 0
N 1
~ ~ X ( k l ) Y (l )
l 0
N 1
§2.1.2 离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n) 0 n N 1 x(n) 0 其余 n
x ( n ) ，它 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ~ 由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系： ~ x ( n ) x ( n rN ) r ~ x (n) 0 n N 1 x(n) 其它n 0
k 0 N 1
1 ~ x ( n) N


DFS[· ] ——离散傅里叶级数变换 IDFS[· ]——离散傅里叶级数反变换。 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期 内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所 以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有 用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
n 0
N 1
同理:
~* * ~ DFS x n X k


进一步可得
1 DFSRe{~ x n } DFS[ ~ x n ~ x * n ] 2 1 ~ ~* [ X (k ) X ( N k )] 2
共轭偶对称分量
1 ~ ~ ~* ~ DFSRex n X e k [ X (k ) X ( N k )] 2
j 2 ( k r )
N 1
N 1
j
2 ( k r ) n N
1 1 e ~ X (k )[ ] j 2 ( k r ) / N N 1 e k 0
1 e N n 0
N 1
2 j ( )( k r ) n N
1 k r sN kr 0
数学表示：
~ x (n) x((n))N ~ x ( n ) x (n) RN (n) x((n))N RN (n)
RN(n)为矩形序列。
符号((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。
x ( n)
~ x ( n)
x ( n) 例：~ 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。
N 1 N 1
1 ~ x ( m) m0 N
这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差 别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0~N-1），称为周期卷积。
~ y (n) ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 例： x (n) 、 ~ 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N =7。