线性方程组在对交通流量分析的简单应用

定理 1.3[3] n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解的充分必要条件是其系数 矩阵 A 的秩等于增 广矩阵 A = A b 的秩. 定理 1.4[1] 对于 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有如下结论： (1) 当 r ( A ) = r A 时，方程组有解.这时，
四、
问题的分析
现有一段交通网络如图，该路段的实际情况为一系列单行线，该图已经抽象 为模型，下面对该模型进行假设与研究。 考虑利用各个路口进入的车辆数 等于各个路口流出车辆数，对每个路 口列出流量平衡方程；又每个方程都 由个条路的流量为变量，相邻路口的 方程将有相同变量，则形成的方程组 是可解的，由解的特征来探寻交通平 衡的条件。
( ) 若 r= ( A ) r= ( A) n ，则方程组有唯一解 若 r= ( A ) r ( A ) < n ，则方程组有无限多个解，且其通解式中带有
n − r ( A ) 个任意参数.
(2) 当 r ( A ) < r A 时，方程组无解.
( )
三、
问题的提出
汽车在道路上连续行驶形成的车流，我们称之为交通流.广义上还包括其他 车辆的车流和人流. 在某段时间内，在不受横向交叉影响的路段上，交通流呈连 续流状态；在遇到路口信号灯管制时，呈断续流状态. 城市道路网中每条路、每 个交叉路口的车流量调查是分析、评价及改善城市交通状况的基础. 根据实际 车流量的信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间 堵车。 某市将耗资对城市交通做规划，许多市内单行车道面临整改，市民出行将更 加便捷， 以下是该市某路段简易单行线如图(1)所示， 箭头方向表示车流的方向， 适当收集一些数据后我们是否可以得出关于这个交通网的一些结论。 通过这些结 论将交通流量问题抽象为一些简单的模型，并予以讨论，同时对一般性的交通流 量问题的解决提出一些猜想。
0 0 0 0 1 1
1 0 0
0 −1 0
1 0 −1
828 1860 36 888 1884
rref(B) ans = 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
-1 0 -1 0 0
0 1 Βιβλιοθήκη Baidu1 1 0
-36 2712 -1860 828 0
表2 路口 时间 9:10~9:15 9:15~9:20 9:20~9:25 9:25~9:30 9:30~9:35 9:35~9:40 总计（辆） 平均（辆）
b1 ~ b3 出口交通流量
b2 路口
78 65 59 70 81 90 443 74
b1 路口
159 167 156 163 155 132 932 155
4. 求解
从交通流量平衡条件， 对于每一个道路交叉点我们都可以写出一个流量平衡 方程： A 路口： a1 + a2 =j + r B 路口： j + k = b1 + n C 路口： a4 + l = b3 + k D 路口： m + n =l + b2
m E 路口： a3 + r =
j r 432 + 396 =+ j += k 1860 + n l 804 + k 840 + = m + n =l + 888 m 1884 + r = 828 j+r = j+k −n = 1860 36 k − l = m + n − l = 888 1884 m − r =
0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 −1
O3 I3 O1 O4 − I1 I 4 − O3 O2 − I 3 I 2 − O1 I1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
写成矩阵形式为： 1 0 0 1 1 0 增广矩阵 A = 0 1 −1 0 0 −1 0 0 0 利用 Matlab 计算：
B=[0 0 0 1 0 1 828; 0 0 -1 0 1 1 1860; -1 0 0 0 1 0 36; -1 1 1 0 0 0 888; 0 1 0 -1 0 0 1884]
n r r − 36 可以解得通解： 2712 − n n + r − 1860 828 − n j= n ≥ 0 k= r ≥ 0 l= r − 36 ≥ 0 注意到车流量不为负数，有： = 2712 − n ≥ 0 m n = n + r − 1860 ≥ 0 r= 828 − n ≥ 0
2. 数据收集
对进出口交通量（即 a1 ~ a4 和 b1 ~ b3 ）进行实时统计，统计图表如下： 表 1 a1 ~ a4 进口交通流量 路口 时间 9:10~9:15 9:15~9:20 9:20~9:25 9:25~9:30 9:30~9:35 9:35~9:40 总计（辆） 平均（辆）
a1 路口
[键入公司名称]
线性方程组在对交通流量分析的简单应用 [键入文档副标题]
应用数学系 齐宇明 2012133132 2012/12/20
【摘要】通过交通网络案例，利用线性方程组分析交通流量特征，讨论交通网络 的平衡条件；抽象为简单模型，予以讨论，并提出有关猜想；期间利用 Matlab 进行计算。
线性方程组在对交通流量分析的简单应用 i
I1 O3 I3 O1 O4 I4 O2 I2
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0
1. 模型扩展
上述案例，利用线性方程组讨论了交通网络平衡的条件；对于这个方法，在 理论上，可以对整个城市的交通网络建立模型讨论，但由于对于一个非单行的网 络，每两个相邻路口间就需要设出两个流量变量，考虑一个“＃”形的一般交通网 络，至少需要 4 × 2=8 个变量，而一个 50 × 50 的交通网则需要 49 × 49 × 2 × 2=9604 个变量，既需要解的方程组的系数矩阵规模为 96042 =92236816，这使得直接对 大型交通网络做分析将十分复杂， 同时考虑到时间因素以及其余的特殊因素将在 很大程度上影响分析的结果， 所以直接利用这样的方法分析大型交通网络的意义 并不大，但对于一个局部而言，这个方法的是一个很好的研究思路。 下面以一个基本的“＃”形交通网为例分析；尝试得到一些结论。 假设条件与上相 同，设每条路的的流量 X1、X2、X3、X4、X5、 X6、 X7、 X8 如图， 记 1、 2、3、4 号路口的进入 车辆数和输出车辆数 O1、 I2、 O2、 分别为 I1、 I3、O3、I4、O4.；根据 各个路口进入的车辆 数等于各个路口流出 车辆数，对每个路口列 出流量平衡方程。
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0
b3 路口
65 54 79 67 72 9 346 58
总计 302 286 294 296 308 238 1724 290
3. 数据分析
从表 1 和表 2 中可以看出， 在观察的时间段内各个进口的交通流量之和与各 个出口的交通流量之和大致相同，即 a1 + a2 + a3 + a4 ≈ b1 + b2 + b3 ，为了便于分析 我们把进出口的交通流量按平均值折算为每小时的车流量，并补足缺损。 进口交通流量： a1 = 36 ×12 = 432 （辆/小时） a2 = 33 ×12 = 396 （辆/小时）
考虑齐平衡方程 组的增广矩阵：
1 0 0 0 A= 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
二、
相关理论知识介绍
本节主要介绍线性方程组的一些基本概念与结论，以便后文使用。 数矩阵的秩 r ( A ) < n 且其通解式中带有 n − r ( A) 个任意参数; 只有零解的充分必 要条件是 r ( A ) = n 。 定理 1.2[3] n × n 齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 A = 0 ； 它只有零解的充分必要条件是 A ≠ 0 。 定理 1.1[3] n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解的充分必要条件是其系
姓名：齐宇明 院系：应用数学系 学号：2012133132 论文完成时间：2012 年 12 月 20 日
【摘要】通过交通网络案例，利用线性方程组分析交通流量特征，讨论交通 网络的平衡条件；抽象为简单模型，予以讨论，并提出有关猜想；期间利用 Matlab 进行计算。 【关键词】线性方程组；交通网络；平衡；模型。
图（1）
五、
模型建立与求解
1. 假设
为了便于接下来的分析，我们对车流图做如图(2)处理:
a1 a2
A
b1 j
B
b3 k a4
C
r m
n
E
D
l
a3
b2
图（2） 其中 a1 ~ a4 表示各相交道路的进口交通量，b1 ~ b3 表示各相交道路的出口交 通量， j、k、l、m、n、r 表示通过图示各交通干道的车辆数。 1) 网络中车辆速度均匀； 2) 网络中并不会出现特殊情况，如：车辆事故等； 3) 在一段时间内，进入和离开网络的车辆不变化； 4) 网络中路口和路口间的距离相等，即车辆从一个路口到相邻的路口时间相等。 由上假设，可以在流量为单一变量的情况下讨论。
一、
引
言
在行车道上经常会出现塞车的现象，在城市的车流高峰期尤为常见. 以单行 道为例，在得知交通网络的车辆流向的前提下，经过对交通网络各个路口的交通 流量的实际交通调查，统计出主要进出口的车辆总数大致相同的情况下，可以得 出交通网络的平衡方程组，通过对线性方程组的解得分析，得出该交通网络的交 通网络在某一段时间的车况受哪些车道路况影响，本文在以上条件下，提供了一 种利用线性方程组来研究单行道路况的方法， 也就是在列出交通网络的平衡方程 通时，基于 Matlab 计算工具分析网络平衡方程的解，在得出问题车道后，提出 了在拥堵的车道设计可控制的变向车道，以求缓解交通拥挤的状况。 在已有的实例基础上，抽象出基本的交通网状模型，并在理论上给予简单的 讨论。鉴于知识的欠缺，不能给出通用模型和解决方案，但依然在交通模型的问 题上提出有关通用模型和解决方案的猜想，虽然只是假设，但就有一定的参考价 值。
a3 = 157 ×12 = 1884 （辆/小时） a4 = 70 ×12 = 840 （辆/小时） 3552 进入网络的车的总量(辆/小时)： 432 + 396 + 1884 + 840 = 出口交通流量： b1 = 155 ×12 = 1860 （辆/小时） b2 = 74 ×12 = 888 （辆/小时） b3 = 67 ×12 = 804 （辆/小时） 3552 离开交通网络的车总量（辆/小时）： 1860 + 888 + 804 =
32 29 45 35 40 35 216 36
a2 路口
48 35 20 42 36 28 209 33
a3 路口
186 128 178 127 155 172 946 157
a4 路口
52 74 78 88 44 85 421 70
总计 318 266 321 292 275 320 1792 299
r ≥ 36 0 ≤ n ≤ 828 n + r ≥ 1860
即有该交通网络中，若每小时通过 CB 段的车辆不超过 36 辆、通过 AB 与 CB 段的车辆总数之和不超过 1860 辆、 通过 AB 段的车辆多于 828 辆三种情况中 出现一种整个网络平衡就会被破坏。
六、
模型扩展与猜想